共通テスト数学ⅠA｜２次関数の基本問題18問【PDF・解説つき】

31 数学ⅠA【解答】

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\({\small (1)}~\)\( \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~0\right) \)
\({\small (2)}~\)\( \sqrt{\,5\,} \)
\({\small (3)}~\)\( m \lt 4 \) のとき \( 2 \) 個、\( m=4 \) のとき \( 1 \) 個、\( m \gt 4 \) のとき \( 0 \) 個

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【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)2次関数 \(y=4x^2-4x+1\) と \(x\) 軸との共有点の \(x\) 座標は、2次方程式 \(4x^2-4x+1=0\) の解より、

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左辺を因数分解すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~4x^2-4x+1&=&0
\\[3pt]~~~(2x-1)^2&=&0
\\[3pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、
　共有点の座標は、\(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~0\right)\) となる

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\({\small (2)}~\)放物線 \(y=x^2-3x+1\) と \(x\) 軸との交点の \(x\) 座標は、2次方程式 \(x^2-3x+1=0\) の解より、

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解の公式を用いると、

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\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,-(-3)\pm\sqrt{\,(-3)^2-4 \cdot 1 \cdot 1\,}\,}{\,2 \cdot 1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\pm\sqrt{\,9-4\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\pm\sqrt{\,5\,}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

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よって、2次関数と \(x\) 軸との共有点の座標は、

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　\(\left(\displaystyle \frac{\,3+\sqrt{\,5\,}\,}{\,2\,}~,~0\right)~,~\left(\displaystyle \frac{\,3-\sqrt{\,5\,}\,}{\,2\,}~,~0\right)\)

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これより、放物線が \(x\) 軸から切り取る線分の長さ \(l\) は、

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\(\begin{eqnarray}~~~l&=&\displaystyle \frac{\,3+\sqrt{\,5\,}\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,3-\sqrt{\,5\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(3+\sqrt{\,5\,})-(3-\sqrt{\,5\,})\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3+\sqrt{\,5\,}-3+\sqrt{\,5\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\sqrt{\,5\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,5\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、\(\sqrt{\,5\,}\) となる

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\({\small (3)}~\)2次関数 \(y=x^2-4x+m\) と \(x\) 軸との共有点の個数は、2次方程式 \(x^2-4x+m=0\) の解の個数の条件と一致するので、

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\(x^2+2 \cdot (-2)x+m=0\) の判別式 \(\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}\) を用いると、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}&=&(-2)^2-1 \cdot m
\\[5pt]~~~&=&4-m\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}\)　\(D \gt 0\) のとき、共有点 \(2\) 個

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}=4-m &\gt& 0
\\[5pt]~~~-m &\gt& -4
\\[5pt]~~~m &\lt& 4\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,2\,]}\)　\(D=0\) のとき、共有点 \(1\) 個

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}=4-m&=&0
\\[5pt]~~~-m&=&-4
\\[5pt]~~~m&=&4\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,3\,]}\)　\(D \lt 0\) のとき、共有点 \(0\) 個

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}=4-m &\lt& 0
\\[5pt]~~~-m &\lt& -4
\\[5pt]~~~m &\gt& 4\end{eqnarray}\)

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したがって、\(x\) 軸との共有点の個数は、

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　\(m \lt 4\) のとき、\(2\) 個

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　\(m=4\) のとき、\(1\) 個

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　\(m \gt 4\) のとき、\(0\) 個