数学Ⅰ｜２次関数｜問題一覧 ＞ 問題解説 23
23｜2次関数の決定
23
次の条件を満たす放物線をグラフにもつ2次関数を求めよ。
\({\small (1)}~\)頂点が点 \( (3~,~-1) \) で、点 \( (2~,~1) \) を通るとき、
\( y=\fbox{ア}\,(x-\fbox{イ})^2-\fbox{ウ} \)
すなわち
\( y=\fbox{エ}\,x^2-\fbox{オカ}\,x+\fbox{キク} \) である。
\({\small (2)}~\)グラフが3点 \( (1~,~0)~,~\)\( (2~,~-5)~,~\)\( (-1~,~4) \) を通るとき、
\( y=\fbox{ケ}\,x^2-\fbox{コ}\,x+\fbox{サ} \) である。
\({\small (3)}~\)\( x \) 軸と2点 \( (1~,~0)~,~\)\( (-2~,~0) \) で交わり、点 \( (-1~,~-4) \) を通るとき、
\( y=\fbox{シ}\,x^2+\fbox{ス}\,x-\fbox{セ} \) である。
次の条件を満たす放物線をグラフにもつ2次関数を求めよ。
\({\small (1)}~\)頂点が点 \( (3~,~-1) \) で、点 \( (2~,~1) \) を通るとき、
\( y=\fbox{ア}\,(x-\fbox{イ})^2-\fbox{ウ} \)
すなわち
\( y=\fbox{エ}\,x^2-\fbox{オカ}\,x+\fbox{キク} \) である。
\({\small (2)}~\)グラフが3点 \( (1~,~0)~,~\)\( (2~,~-5)~,~\)\( (-1~,~4) \) を通るとき、
\( y=\fbox{ケ}\,x^2-\fbox{コ}\,x+\fbox{サ} \) である。
\({\small (3)}~\)\( x \) 軸と2点 \( (1~,~0)~,~\)\( (-2~,~0) \) で交わり、点 \( (-1~,~-4) \) を通るとき、
\( y=\fbox{シ}\,x^2+\fbox{ス}\,x-\fbox{セ} \) である。
共通テスト数学ⅠA｜２次関数
23 数学ⅠA【解答】
\({\small (1)}~\)\( y=2(x-3)^2-1 \)、\( y=2x^2-12x+17 \)
\({\small (2)}~\)\( y=-x^2-2x+3 \)
\({\small (3)}~\)\( y=2x^2+2x-4 \)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)頂点 \((3~,~-1)\) であるので、この2次関数は、
\(y=a(x-3)^2-1\)
このグラフが点 \((2~,~1)\) を通るので、
\(\begin{eqnarray}~~~1&=&a(2-3)^2-1\\[3pt]~~~1&=&a \cdot (-1)^2-1\\[3pt]~~~1&=&a-1\\[3pt]~~~-a&=&-2\\[3pt]~~~a&=&2\end{eqnarray}\)
したがって、求める2次関数は、
\(y=2(x-3)^2-1\)
さらに展開すると、
\(y=2x^2-12x+17\)
\({\small (2)}~\)この2次関数を \(y=ax^2+bx+c\) とおくと、
点 \((1~,~0)\) を通るので、
\(\begin{eqnarray}~~~0&=&a \cdot 1^2+b \cdot 1+c\\[3pt]~~~0&=&a+b+c\\[3pt]~~~a+b+c&=&0~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
点 \((2~,~-5)\) を通るので、
\(\begin{eqnarray}~~~-5&=&a \cdot 2^2+b \cdot 2+c\\[3pt]~~~-5&=&4a+2b+c\\[3pt]~~~4a+2b+c&=&-5~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
点 \((-1~,~4)\) を通るので、
\(\begin{eqnarray}~~~4&=&a \cdot (-1)^2+b \cdot (-1)+c\\[3pt]~~~4&=&a-b+c\\[3pt]~~~a-b+c&=&4~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}-{\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~4a+2b+c&=&-5\\~~-\big{)}~~~a+b+c&=&0\\\hline 3a+b&=&-5~~~\cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}-{\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~a+b+c&=&0\\~~-\big{)}~~~a-b+c&=&4\\\hline 2b&=&-4\\[3pt]~~~b&=&-2\end{eqnarray}\)
\(b=-2\) を \({\small [\,4\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~3a+(-2)&=&-5\\[3pt]~~~3a&=&-5+2\\[3pt]~~~3a&=&-3\\[3pt]~~~a&=&-1\end{eqnarray}\)
\(a=-1~,~b=-2\) を \({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~-1+(-2)+c&=&0\\[3pt]~~~c&=&0+1+2\\[3pt]~~~c&=&3\end{eqnarray}\)
したがって、求める2次関数は、
\(y=-x^2-2x+3\)
\({\small (3)}~\)\(x\) 軸と \(2\) 点 \((1~,~0)~,~(-2~,~0)\) で交わるので、この2次関数は、
\(y=a(x-1)(x+2)\)
とおくことができる
\(x=1~,~-2\) を解にもつ2次方程式は \(a(x-1)(x+2)=0\) となることを用いる。
また、点 \((-1~,~-4)\) を通ることより、
\(\begin{eqnarray}~~~-4&=&a(-1-1) \cdot (-1+2)
\\[3pt]~~~-4&=&a \cdot (-2) \cdot 1
\\[3pt]~~~-4&=&-2a
\\[3pt]~~~-2a&=&-4
\\[3pt]~~~a&=&2\end{eqnarray}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&2(x-1)(x+2)
\\[3pt]~~~&=&2(x^2+x-2)
\\[3pt]~~~&=&2x^2+2x-4\end{eqnarray}\)
したがって、求める2次関数は、\(y=2x^2+2x-4\) となる
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