数学Ⅰ｜２次関数｜問題一覧 ＞ 問題解説 30
30｜2次方程式の実数解の個数
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\(m\) を定数とする。
\({\small (1)}~\)2次方程式 \( x^2-4x+m=0 \) が異なる2つの実数解をもつとき、\( m \lt \fbox{ア} \) である。
\({\small (2)}~\)2次方程式 \( x^2+mx+m+3=0 \) が重解をもつとき、定数 \( m \) の値とそのときの重解は、
\( m=\fbox{イウ} \) のとき \( x=\fbox{エ} \)、
\( m=\fbox{オ} \) のとき \( x=\fbox{カキ} \) である。
\(m\) を定数とする。
\({\small (1)}~\)2次方程式 \( x^2-4x+m=0 \) が異なる2つの実数解をもつとき、\( m \lt \fbox{ア} \) である。
\({\small (2)}~\)2次方程式 \( x^2+mx+m+3=0 \) が重解をもつとき、定数 \( m \) の値とそのときの重解は、
\( m=\fbox{イウ} \) のとき \( x=\fbox{エ} \)、
\( m=\fbox{オ} \) のとき \( x=\fbox{カキ} \) である。
共通テスト数学ⅠA｜２次関数
30 数学ⅠA【解答】
\({\small (1)}~\)\( m \lt 4 \)
\({\small (2)}~\)\( m=-2 \) のとき \( x=1 \) 、\( m=6 \) のとき \( x=-3 \)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)2次方程式 \(x^2-4x+m=0\) が異なる2つの実数解をもつ条件は、判別式 \(D \gt 0\) であるので、
\(x^2+2 \cdot (-2)x+m=0\) の判別式 \(\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}\) を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}=(-2)^2-1 \cdot m &\gt& 0
\\[5pt]~~~4-m &\gt& 0
\\[5pt]~~~-m &\gt& -4
\\[5pt]~~~m &\lt& 4\end{eqnarray}\)
したがって、\(m \lt 4\) となる
\({\small (2)}~\)2次方程式 \(x^2+mx+m+3=0\) が重解をもつ条件は、判別式 \(D=0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~D=m^2-4 \cdot 1 \cdot (m+3)&=&0
\\[3pt]~~~m^2-4m-12&=&0
\\[3pt]~~~(m-6)(m+2)&=&0
\\[3pt]~~~m&=&-2~,~6\end{eqnarray}\)
\(m=-2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2-2x-2+3&=&0
\\[3pt]~~~x^2-2x+1&=&0
\\[3pt]~~~(x-1)^2&=&0
\\[3pt]~~~x&=&1\end{eqnarray}\)
\(m=6\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+6x+6+3&=&0
\\[3pt]~~~x^2+6x+9&=&0
\\[3pt]~~~(x+3)^2&=&0
\\[3pt]~~~x&=&-3\end{eqnarray}\)
したがって、
\(m=-2\) のとき、重解 \(x=1\)
\(m=6\) のとき、重解 \(x=-3\)
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