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26｜2次関数の最小値の最大値
26
\(x\) の2次関数 \( y=x^2+2ax-4a+1 \) について、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)この関数の最小値を \( m \) とすると、
\( m=\fbox{ア}\,a^2-\fbox{イ}\,a+\fbox{ウ} \) となる。
\({\small (2)}~\)\( m \) は \( a=\fbox{エオ} \) で最大値 \( \fbox{カ} \) をとる。
\(x\) の2次関数 \( y=x^2+2ax-4a+1 \) について、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)この関数の最小値を \( m \) とすると、
\( m=\fbox{ア}\,a^2-\fbox{イ}\,a+\fbox{ウ} \) となる。
\({\small (2)}~\)\( m \) は \( a=\fbox{エオ} \) で最大値 \( \fbox{カ} \) をとる。
共通テスト数学ⅠA｜２次関数
26 数学ⅠA【解答】
\({\small (1)}~\)\( m=-a^2-4a+1 \)
\({\small (2)}~\)\( a=-2 \) で最大値 \( 5 \)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)この関数を \(x\) について、平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&x^2+2ax-4a+1\\[3pt]~~~&=&(x^2+2ax+a^2-a^2)-4a+1\\[3pt]~~~&=&(x^2+2ax+a^2)-a^2-4a+1\\[3pt]~~~&=&(x+a)^2-a^2-4a+1\end{eqnarray}\)
頂点 \((-a~,~-a^2-4a+1)\) で下に凸のグラフとなる
したがって、\(x=-a\) のとき
最小値 \(m=-a^2-4a+1\) となる
\({\small (2)}~\)\(m\) を \(a\) の関数として平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~m&=&-a^2-4a+1\\[3pt]~~~&=&-(a^2+4a)+1\\[3pt]~~~&=&-(a^2+4a+4-4)+1\\[3pt]~~~&=&-(a^2+4a+4)-1{\, \small \times \,}(-4)+1\\[3pt]~~~&=&-(a+2)^2+4+1\\[3pt]~~~&=&-(a+2)^2+5\end{eqnarray}\)
頂点 \((-2~,~5)\) で上に凸のグラフとなる
したがって、\(m\) は \(a=-2\) のとき
最大値 \(5\) をとる
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