数学Ⅰ｜２次関数｜問題一覧 ＞ 問題解説 25
25｜最大値・最小値と2次関数の決定
25
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)関数 \( y=x^2-4x+c \) \( (1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}4) \) の最大値が \( -2 \) であるとき、定数 \( c=\fbox{アイ} \) である。
\({\small (2)}~\)\( x=-1 \) のとき最大値 \( 4 \) をとり、\( x=1 \) のとき \( y=0 \) となる2次関数は、
\( y=\fbox{ウ}\,(x+\fbox{エ})^2+\fbox{オ} \)
すなわち
\( y=\fbox{カ}\,x^2-\fbox{キ}\,x+\fbox{ク} \) である。
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)関数 \( y=x^2-4x+c \) \( (1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}4) \) の最大値が \( -2 \) であるとき、定数 \( c=\fbox{アイ} \) である。
\({\small (2)}~\)\( x=-1 \) のとき最大値 \( 4 \) をとり、\( x=1 \) のとき \( y=0 \) となる2次関数は、
\( y=\fbox{ウ}\,(x+\fbox{エ})^2+\fbox{オ} \)
すなわち
\( y=\fbox{カ}\,x^2-\fbox{キ}\,x+\fbox{ク} \) である。
共通テスト数学ⅠA｜２次関数
25 数学ⅠA【解答】
\({\small (1)}~\)\( c=-2 \)
\({\small (2)}~\)\( y=-(x+1)^2+4 \)、\( y=-x^2-2x+3 \)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)関数 \(y=x^2-4x+c\) を平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&(x^2-4x+4)-4+c\\[3pt]~~~&=&(x-2)^2+c-4\end{eqnarray}\)
よって、頂点が \((2~,~c-4)\) 、下に凸のグラフで、定義域が \(1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}4\) である
グラフより、\(x=4\) で最大値 \(-2\) をとるので、代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~-2&=&4^2-4 \cdot 4+c\\[3pt]~~~-2&=&16-16+c\\[3pt]~~~-2&=&c\\[3pt]~~~c&=&-2\end{eqnarray}\)
したがって、\(c=-2\) となる
\({\small (2)}~\)定義域のない2次関数が \(x=-1\) のとき最大値 \(4\) をとるので、
このように頂点が \((-1~,~4)\) 、上に凸のグラフとなり、\(a \lt 0\) として、
\(y=a(x+1)^2+4\)
\(x=1\) のとき \(y=0\) となるので代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~0&=&a(1+1)^2+4\\[3pt]~~~0&=&a \cdot 2^2+4\\[3pt]~~~0&=&4a+4\\[3pt]~~~-4a&=&4\\[3pt]~~~a&=&-1\end{eqnarray}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&-(x+1)^2+4
\\[3pt]~~~&=&-(x^2+2x+1)+4
\\[3pt]~~~&=&-x^2-2x-1+4
\\[3pt]~~~&=&-x^2-2x+3\end{eqnarray}\)
したがって、求める2次関数は、
\(y=-x^2-2x+3\)
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