数研出版：改訂版新編数学Ⅰ

p.50
練習1
\({\small (1)}~\in\)　\({\small (2)}~\notin\)　\({\small (3)}~\notin\)

p.51
練習2
\({\small (1)}~{\rm A}=\{1,2,3,4,6,12\}\)
\({\small (2)}~{\rm B}=\{1,3,5,7,\cdots,29\}\)

p.51
練習3
\({\small (1)}~{\rm A}=\{3,6,9,12,15,18\}\)
\({\small (2)}~{\rm B}=\{1,3,5,7,\cdots\}\)
→ 集合の表し方と要素

p.52
練習4
\({\small (1)}~\rm A\subset B\)　\({\small (2)}~\rm C=D\)　\({\small (3)}~\rm P\supset Q\)

p.52
練習5
\({\small (1)}~\phi,\{1\},\{2\},\{1,2\}\)
\({\small (2)}~\phi,\{a\},\{b\},\{c\}\)
\(~~~~~~\{a,b\},\{b,c\},\{a,c\},\{a,b,c\}\)
→ 集合の包含関係と部分集合

p.53
練習6
\({\small (1)}~\{2,4,6\}\)
\({\small (2)}~\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\)
\({\small (3)}~\phi\)
\({\small (4)}~\{1,2,3,4,6,8\}\)
→ 共通部分と和集合

p.53
練習7
\({\small (1)}~\{~x~|~1≦x< 2~,~x\)は実数\(~\}\)
\({\small (2)}~\{~x~|~0< x≦4~,~x\)は実数\(~\}\)

p.54
練習8
\({\small (1)}~\{1,2,4,5\}\)
\({\small (2)}~\{1,2,4,5,6\}\)
\({\small (3)}~\{4,5\}\)
\({\small (4)}~\{1,2,4,5,6\}\)
\({\small (5)}~\{6\}\)
\({\small (6)}~\{1,2\}\)

p.55
練習9
全体集合 \(\rm U\) とその部分集合 \({\rm A}~,~{\rm B}\) において、
\( \overline {{\rm A}} \cup \overline {{\rm B}} \) をベン図で表すと、

この２つの和集合となるので、

これは集合 \( {\rm A}\cap {\rm B} \) の補集合となるので、
　\(\overline {{\rm A} \cap {\rm B}}=\overline {{\rm A}} \cup \overline {{\rm B}}\)
→ 補集合とド・モルガンの法則

p.55
研究1
\({\rm A}\cap{\rm B}\cap{\rm C}=\{6\}\)
\({\rm A}\cup{\rm B}\cup{\rm C}=\{1,2,3,4,6,8,9,10,12\}\)

p.56
練習10
\({\small (1)}~\)真　\({\small (2)}~\)偽　\({\small (3)}~\)真
→ 命題の真偽

p.57
練習11
\({\small (1)}~\)真　\({\small (2)}~\)偽　\({\small (3)}~\)真

p.58
練習12
\({\small (1)}~\)真　\({\small (2)}~\)真

p.58
練習13
\(n=2\) のとき、素数であるが奇数ではない
したがって、偽となる
→ 条件の真偽

p.59
練習14
\({\small (1)}~\)十分　\({\small (2)}~\)必要
→ 必要条件と十分条件

p.60
練習15
①、③

p.60
練習16
\({\small (1)}~\)十分条件であるが必要条件でない
\({\small (2)}~\)必要十分条件である
\({\small (3)}~\)必要条件であるが十分条件でない
→ 必要条件と十分条件

p.60
練習17
\({\small (1)}~n\) は奇数である
\({\small (2)}~n\) は５以上である

p.61
練習18
\({\small (1)}~a≦0\) または \(b≦0\)
\({\small (2)}~a\neq 0\) かつ \(b\neq 0\)
→ 条件の否定①（かつ・または）

p.61
練習19
\({\small (1)}~a~,~b\) はともに無理数である
\({\small (2)}~a~,~b\) のうち少なくとも一方が無理数である
→ 条件の否定②（すべて・少なくとも）

p.62
練習20
\({\small (1)}~\)命題は真
逆は、
\(a-b> 0~\Rightarrow~a> b\)、真
対偶は、
\(a-b≦0~\Rightarrow~a≦b\)、真
裏は、
\(a≦b~\Rightarrow~a-b≦0\)、真

\({\small (2)}~\)命題は真
逆は、
\(ab=0~\Rightarrow~a=0\)、偽
対偶は、
\(ab\neq 0~\Rightarrow~a\neq 0\)、真
裏は、
\(a\neq 0~\Rightarrow~ab\neq 0\)、偽
→ 逆と裏と対偶

p.63
練習21
\({\small (1)}~\)命題は真であり、
この命題の対偶は、
「\(m\) は奇数 \(~\Rightarrow~\) \(m\) は４の倍数でない」
これも真となる
したがって、命題とその対偶の真偽は一致する
\({\small (2)}~\)命題は \(m=1~,~n=3\) のとき反例となり偽となる
この命題の対偶は、
「\(m\) は奇数かつ \(n\) は奇数 \(~\Rightarrow~\) \(m+n\) は奇数」
これも \(m=1~,~n=3\) のとき反例となり偽となる
したがって、命題とその対偶の真偽は一致する

p.64
練習22
[証明]この命題の対偶は、
　\(n\) が偶数ならば \(n^2\) は偶数である
\(n\) が偶数より、整数 \(m\) を用いて \(n=2m\) とすると
　\(n^2=(2m)^2=2\cdot 2m^2\)
\(2m^2\) が整数より \(n^2\) は偶数である
したがって、対偶が真より
もとの命題も真となる[終]
→ 対偶法

p.65
練習23
[証明]\(1+3\sqrt{2}\) が無理数でないと仮定すると
\(1+3\sqrt{2}\) は有理数となり、有理数 \(r\) で表すことができる
　\(1+3\sqrt{2}=r\)
式変形すると、
　\(\sqrt{2}={\Large \frac{r-1}{3}}\)
\(r\) が有理数であるとこより、\(\large \frac{r-1}{3}\) も有理数である
これより、この等式は \(\sqrt{2}\) が無理数であることに矛盾する
したがって、\(1+3\sqrt{2}\) が無理数である
→ 背理法

p.67
問13
\(a~,~b\) はともに有理数\(~\Rightarrow~a+b\) は有理数、真

p.67
問14
\({\small (1)}~\)(c)　\({\small (2)}~\)(d)

p.68
1
\({\small (1)}~-2x^4+x^3+6x^2-11x+4\)
\({\small (2)}~x^3-(a+b+c)x^2\)
\(~~~~~~+(ab+bc+ca)x-abc\)
\({\small (3)}~x^4-5x^2+4\)

p.68
2
\({\small (1)}~\{~x~|~-1 ≦ x < -{\large \frac{2}{3}}~\}\)
\({\small (2)}~\{~x~|~x ≦ 2~\}\)
\({\small (3)}~\{~x~|~x > 2~\}\)

p.68
3
逆は、
\(m,n,k\) の少なくとも１つは偶数\(~\Rightarrow~\)積 \(mnk\) は偶数→真
対偶は、
\(m,n,k\) はいずれも奇数\(~\Rightarrow~\)積 \(mnk\) は奇数→真
裏は、
積 \(mnk\) は奇数\(~\Rightarrow~\)\(m,n,k\) はいずれも奇数→真

p.68
4
[証明] この命題の対偶は、
\(m+n\) が奇数ならば、\(m^2+n^2\) は奇数である
ここで、\(m+n\) が奇数であるので、整数 \(k\) を用いて、
　\(m+n=2k+1\)
このとき、
　\(~~~~~~m^2+n^2\)
　\(~=(m+n)^2-2mn\)
　\(~=(2k+1)^2-2mn\)
　\(~=2(2k^2+2k-mn)+1\)
\(2k^2+2k-mn\) は整数であるから、\(m^2+n^2\) は奇数である
したがって、対偶が真であるのでもとの命題も真である
[終]

p.68
5
\({\small (1)}~\)[証明]\(b\neq 0\) と仮定すると、\(a+b\sqrt{2}=0\) より
　\(\sqrt{2}=-{\Large \frac{a}{b}}\)
ここて、\(a,b\) が有理数であることより、\(-{\large \frac{a}{b}}\) も有理数となる
これは、\(\sqrt{2}\) が無理数であることに矛盾する
よって、\(b=0\)
次にこれを \(a+b\sqrt{2}=0\) に代入すると、\(a=0\)
したがって、\(a,b\) が有理数で \(a+b\sqrt{2}=0~\Rightarrow~a=b=0\) [終]

\({\small (2)}~a=2~,~b=-3\)