東京書籍：Standard数学Ａ

p.62
問1
\(1,2,3,4,6,12\)
\(12,24,36,48\)
→ 約数と倍数

p.64
問2
\({\small (1)}~2,3,5,6\) の倍数
\({\small (2)}~2,4\) の倍数
\({\small (3)}~2,3,4,5,6,8,9\) の倍数
→ 倍数判別法

p.65
問3
\({\small (1)}~3\times5\times13\)
\({\small (2)}~2^2\times7\times11\)
→ 素因数分解

p.65
問4
\({\small (1)}~15\)　\({\small (2)}~42\)

p.66
問5
\({\small (1)}~1,2,3,4,6,9,12,18,36\)
\({\small (2)}~1,3,9,13,39,117\)
→ 約数の個数・平方数

p.66
問6
\({\small (1)}~(a,b)=(1,7)~,~(7,1)\)
　　　\((-1,-7)~,~(-7,-1)\)
\({\small (2)}~(a,b)=(1,-4)~,~(-1,4)\)
　　　\((2,-2)~,~(-2,2)\)
　　　\((4,-1)~,~(-4,1)\)

p.67
問7
\({\small (1)}~(a,b)=(4,2)~,~(10,-4)\)
　　　\((2,-12)~,~(-4,-6)\)
\({\small (2)}~(a,b)=(0,4)~,~(1,3)\)
　　　\((-2,0)~,~(-3,1)\)
\({\small (3)}~(a,b)=(5,-7)~,~(3,3)\)
　　　\((9,-3)~,~(-1,-1)\)
→ 等式を満たす整数の組

p.69
問8
\(45\)
→ 最大公約数と最小公倍数

p.69
問9
\({\small (1)}~\)互いに素である
\({\small (2)}~\)互いに素である
\({\small (3)}~\)互いに素でない

p.71
問10
\({\small (1)}~840\)　\({\small (2)}~6300\)

p.71
問11
\({\small (1)}~3,252\)
\({\small (2)}~30,600\)
→ 最大公約数と最小公倍数

p.73
問12
\(945\)

p.73
問13
\(8\) と \(96\)
\(24\) と \(32\)
→ 最大公約数と最小公倍数の関係式

p.75
1
\({\small (1)}~8\)　\({\small (2)}~5\)

p.75
2
\(15\)

p.75
3
\({\small (1)}~1,2,4,7,8,14,16,28,56,112\)
\({\small (2)}~1,2,4,5,8,10,25,40\)
　　　　　\(50,100,200\)

p.75
4
\({\small (1)}~(a,b)=(0,-5)~,~(1,-3)\)
　　　\((3,-2)~,~(-2,3)\)
　　　\((-3,1)~,~(-5,0)\)
\({\small (2)}~(a,b)=(-3,18)~,~(-1,8)\)
　　　\((1,6)~,~(11,4)\)
　　　\((-5,-12)~,~(-7,-2)\)
　　　\((-9,0)~,~(-19,2)\)

p.75
5
\({\small (1)}~36\)　\({\small (2)}~105\)

p.75
6
\(18\) cm

p.75
7
\({\small (1)}~44100\)
\({\small (2)}~8190\)

p.75
8
\({\small (1)}~6,1260\)
\({\small (2)}~13,1560\)

p.75
9
\(12\) と \(420\)
\(60\) と \(84\)

p.76
問1
\({\small (1)}~q=4~,~r=5\)
　　　\(41=9\times4+5\)
\({\small (2)}~q=9~,~r=3\)
　　　\(120=13\times9+3\)

p.76
問2
\(2\)
→ 除法の性質

p.77
問3
\({\small (1)}~2\)　\({\small (2)}~0\)

p.79
問4
\(k\) を整数として、
\(5k~,~5k+1~,~5k+2~,~5k+3~,~5k+4\)

p.79
問5
[証明] すべての整数を５で割ったときの余りで分類し、整数 \(k\) を用いて表すと
　\(5k,5k+1,5k+2,5k+3,5k+4\)
となる
(ⅰ) \(n=5k\) のとき、
　\(n^2=25k^2=5\cdot5k^2\)
よって、５で割った余りは \(0\) となる
(ⅱ) \(n=5k+1\) のとき、
　\(n^2=5(5k^2+2k)+1\)
よって、５で割った余りは \(1\) となる
(ⅲ) \(n=5k+2\) のとき、
　\(n^2=5(5k^2+4k)+4\)
よって、５で割った余りは \(4\) となる
(ⅳ) \(n=5k+3\) のとき、
　\(n^2=5(5k^2+6k+1)+4\)
よって、５で割った余りは \(4\) となる
(ⅴ) \(n=5k+4\) のとき、
　\(n^2=5(5k^2+8k+3)+1\)
よって、５で割った余りは \(1\) となる
したがって、\(n^2\) を５で割ったときの余りは \(0~,~1~,~4\) のいずれかである [終]
→ 整数の分類と証明

p.82
問6
\({\small (1)}~15\)　\({\small (2)}~29\)
→ ユークリッドの互除法

p.82
問7
\(\frac{17}{29}\)

p.85
問8
\(n\) を整数として、
\({\small (1)}~x=5n~,~y=7n\)
\({\small (2)}~x=6n~,~y=-5n\)

p.86
問9
\(n\) を整数として、
\({\small (1)}~x=3n+2~,~y=-2n+2\)
\({\small (2)}~x=7n+3~,~y=5n+2\)
→ 不定方程式①

p.87
問10
\(x=-11~,~y=23\)
→ 不定方程式②（互除法）

p.88
問1
Challenge
\(122\)
→ 不定方程式の利用

p.90
10
\(3\)

p.90
11
\({\small (1)}~3\)　\({\small (2)}~1\)

p.90
12
[証明] すべての整数を４で割ったときの余りで分類し、整数 \(k\) を用いて表すと
　\(4k,4k+1,4k+2,4k+3\)
となる
(ⅰ) \(n=4k\) のとき、
　\(n^2=4\cdot 4k^2\)
\(n^2\) を４で割った余りは \(0\) となる
(ⅱ) \(n=4k+1\) のとき、
　\(n^2=4(4k^2+2k)+1\)
\(n^2\) を４で割った余りは \(1\) となる
(ⅲ) \(n=4k+2\) のとき、
　\(n^2=4(4k^2+4k+1)\)
\(n^2\) を４で割った余りは \(0\) となる
(ⅳ) \(n=4k+3\) のとき、
　\(n^2=4(4k^2+6k+2)+1\)
\(n^2\) を４で割った余りは \(0\) となる
したがって、\(n^2\) を４で割ったときの余りは \(0~,~1\) のいずれかである [終]

p.90
13
\({\small (1)}~431\)　\({\small (2)}~572\)

p.90
14
\(n\) を整数として、
\({\small (1)}~x=5n+2~,~y=-8n-3\)
\({\small (2)}~x=12n+6~,~y=5n+2\)

p.90
15
\(n\) を整数として、
\(x=105n-8~,~y=-223n+17\)

p.92
問1
\({\small (1)}~2\)　\({\small (2)}~3\)
\({\small (3)}~12\)　\({\small (4)}~43\)
→ n進法①（10進法で表す）

p.93
問2
\({\small (1)}~1111_{(2)}\)
\({\small (2)}~111001_{(2)}\)
→ n進法②（n進法で表す）

p.93
問3
\({\small (1)}~0.5\)　\({\small (2)}~0.25\)
\({\small (3)}~0.375\)　\({\small (4)}~1.5\)
→ n進法と小数

p.94
問4
\({\small (1)}~11100_{(2)}\)
\({\small (2)}~110_{(2)}\)
→ n進法のたし算
→ n進法のひき算

p.94
問5
\({\small (1)}~1111_{(2)}\)
\({\small (2)}~100011_{(2)}\)
→ n進法のかけ算

p.95
問6
\({\small (1)}~58\)　\({\small (2)}~89\)
\({\small (3)}~142\)　\({\small (4)}~1334\)

p.95
問7
\({\small (1)}~10202_{(3)}~,~401_{(5)}\)
\({\small (2)}~20101_{(3)}~,~1142_{(5)}\)

p.96
問8
\({\small (1)}~\)有限小数となる
\({\small (2)}~\)有限小数とならない

p.97
問9
① : \(428571\)
③ : \(6\)
→ 分数と小数

p.98
問1
Challenge
[証明]
整数 \(c\) を３で割ったときの余りで分類し、整数 \(k\) を用いて表すと
　\(3k,3k+1,3k+2\)
となる
(ⅰ) \(c=3k\) のとき、
　\(c^2=3\cdot 3k^2\)
\(c^2\) を３で割った余りは \(0\) となる
(ⅱ) \(c=3k+1\) のとき、
　\(c^2=3(3k^2+2k)+1\)
\(c^2\) を３で割った余りは \(1\) となる
(ⅲ) \(c=3k+2\) のとき、
　\(c^2=3(3k^2+4k+1)+1\)
\(c^2\) を３で割った余りは \(1\) となる
よって、\(c^2\) を３で割ると余りが \(0\) か \(1\) となる
ここで、\(a~,~b\) のどちらも３の倍数でないと仮定すると、\(c\) と \(c^2\) のときと同様に \(a^2~,~b^2\) を３で割ると \(1\) 余る
よって、\(a^2+b^2\) を３で割ると \(2\) 余る
これは \(c^2\) を３で割ると余りが \(0\) か \(1\) であり \(a^2+b^2=c^2\) に矛盾する
したがって、\(a~,~b\) のうち少なくとも一方は３の倍数である [終]

p.99
16
\({\small (1)}~10\)　\({\small (2)}~31\)
\({\small (3)}~99\)

p.99
17
\({\small (1)}~110001_{(2)}\)
\({\small (2)}~1100100_{(2)}\)
\({\small (3)}~1111101_{(2)}\)

p.99
18
\({\small (1)}~11001_{(2)}\)
\({\small (2)}~10_{(2)}\)
\({\small (3)}~1000_{(2)}\)

p.99
19
\({\small (1)}~50\)
\({\small (2)}~242\)
\({\small (3)}~550\)

p.99
20
\(1101001_{(3)}~,~13000_{(5)}\)

p.99
21
②、\(891\)

p.100
発展1
\({\small (1)}~1\)　\({\small (2)}~4\)

p.100
発展2
\({\small (1)}~2\)　\({\small (2)}~1\)

p.100
発展3
\({\small (1)}~2\)　\({\small (2)}~2\)

p.100
発展4
[証明]
整数 \(n\) は次のように表すことができる
　\(n\equiv 0~({\rm mod~} 5)\)
　\(n\equiv 1~({\rm mod~} 5)\)
　\(n\equiv 2~({\rm mod~} 5)\)
　\(n\equiv 3~({\rm mod~} 5)\)
　\(n\equiv 4~({\rm mod~} 5)\)
それぞれの場合について、\(n^2\) は
(ⅰ) \(n\equiv 0~({\rm mod~} 5)\) のとき
　\(n^2\equiv 0^2 \equiv 0~({\rm mod~} 5)\)
(ⅱ) \(n\equiv 1~({\rm mod~} 5)\) のとき
　\(n^2\equiv 1^2 \equiv 1~({\rm mod~} 5)\)
(ⅲ) \(n\equiv 2~({\rm mod~} 5)\) のとき
　\(n^2\equiv 2^2 \equiv 4~({\rm mod~} 5)\)
(ⅳ) \(n\equiv 3~({\rm mod~} 5)\) のとき
　\(n^2\equiv 3^2 \equiv 9 \equiv 4~({\rm mod~} 5)\)
(ⅴ) \(n\equiv 4~({\rm mod~} 5)\) のとき
　\(n^2\equiv 4^2 \equiv 16 \equiv 1~({\rm mod~} 5)\)
したがって、\(n^2\) を５で割ったときの余りは \(0~,~1~,~4\) のいずれかである [終]

p.102
1
\(a=2~,~b=6\)

p.102
2
\({\small (1)}~2^{26}~,~3^{14}~,~5^7\)
\({\small (2)}~7\) 個

p.102
3
\(18,36,90,180,450,900\)

p.102
4
\({\small (1)}~(a,b)=(2,4)~,~(3,3)\)
　　　\((-1,1)\)
\({\small (2)}~(a,b)=(0,-3)~,~(1,1)\)
　　　\((-1,9)~,~(-2,5)\)

p.102
5
\(m=3~,~n=1\)

p.102
6
\(\frac{1225}{6}\)

p.102
7
\(63\)

p.102
8
\(6\) と \(48\) 、\(12\) と \(42\) 、
\(24\) と \(30\)

p.102
9
\(9\) と \(135\) 、\(27\) と \(45\)

p.103
10
[証明] \(n\) と \(n+1\) は連続する２つの整数でありどちらか一方は偶数である
よって、\(n(n+1)\) は偶数である
次に、すべての整数を３で割ったときの余りで分類し、整数 \(k\) を用いて表すと
　\(3k,3k+1,3k+2\)
となる
(ⅰ) \(n=3k\) のとき、
\(n\) が３の倍数となる
(ⅱ) \(n=3k+1\) のとき、
　\(2n+1=3(2k+1)\)
よって、\(2n+1\) が３の倍数となる
(ⅲ) \(n=3k+2\) のとき、
　\(n+1=3(k+1)\)
よって、\(n+1\) が３の倍数となる
(ⅰ)～(ⅲ)のどの場合でも３の倍数となる
したがって、\(n(n+1)(2n+1)\) は６の倍数である [終]

p.103
11
\(101~,~1729120\)

p.103
12
大人 \(5\) 人と子供 \(17\) 人
または
大人 \(10\) 人と子供 \(10\) 人
または
大人 \(15\) 人と子供 \(3\) 人

p.103
13
\(n\) を整数として、
\({\small (1)}~x=41n+4~,~y=-113n-11\)
\({\small (2)}~x=41n+12~,~y=-113n-33\)

p.103
14
\({\small (1)}~\)[証明] \(x~,~y\) が正の整数であるので、
　\(x≧1~,~y≧1\)
これより、
　\(2x+3y≧5\)　…①
ここで、\(2x+3y+5z=20\) より、
　\(2x-+3y=20-5z\)
これを①に代入すると、
　\(20-5z≧5\)
よって、
　\(z≦3\)
したがって、\(z\) が正の整数なので \(z\) は３以下の正の整数となる [終]
\({\small (2)}~\)
\((x,y,z)=(1,1,3)~,~(2,2,2)\)
　　　\((3,3,1)~,~(6,1,1)\)

p.103
15
\(31\)

p.103
16
\(8~,~10\)

p.103
17
\(8\)