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第１章 数と式
第３章 ２次関数
第４章 図形と計量
第５章 データの分析
第２章 集合と命題
p.48
練習1
\({\small (1)}~\in\) \({\small (2)}~\notin\) \({\small (3)}~\in\)
練習1
\({\small (1)}~\in\) \({\small (2)}~\notin\) \({\small (3)}~\in\)
p.49
練習2
\({\small (1)}~{\rm F}=\{1,2,3,6,9,18\}\)
\({\small (2)}~{\rm G}=\{-2,-1,0,1,2\}\)
\({\small (3)}~{\rm H}=\{1,3,5,7,\cdots\}\)
→ 集合の表し方と要素
練習2
\({\small (1)}~{\rm F}=\{1,2,3,6,9,18\}\)
\({\small (2)}~{\rm G}=\{-2,-1,0,1,2\}\)
\({\small (3)}~{\rm H}=\{1,3,5,7,\cdots\}\)
→ 集合の表し方と要素
p.50
練習3
\({\small (1)}~{\rm B\subset A}\)
\({\small (2)}~{\rm A=C}\)
\({\small (3)}~{\rm A\subset D}\)
練習3
\({\small (1)}~{\rm B\subset A}\)
\({\small (2)}~{\rm A=C}\)
\({\small (3)}~{\rm A\subset D}\)
p.51
練習5
\({\small (1)}~\)
\({\rm A\cap B}=\{5,15\}\)
\({\rm A\cup B}=\{1,3,5,7,9,10,11,13,15\}\)
\({\small (2)}~\)
\({\rm A\cap B}=\{x|-1<x≦2~,~x\) は実数 \(\}\)
\({\rm A\cup B}=\{x|-2≦x<3~,~x\) は実数 \(\}\)
→ 共通部分と和集合
練習5
\({\small (1)}~\)
\({\rm A\cap B}=\{5,15\}\)
\({\rm A\cup B}=\{1,3,5,7,9,10,11,13,15\}\)
\({\small (2)}~\)
\({\rm A\cap B}=\{x|-1<x≦2~,~x\) は実数 \(\}\)
\({\rm A\cup B}=\{x|-2≦x<3~,~x\) は実数 \(\}\)
→ 共通部分と和集合
p.52
問1
\({\rm A\cap B\cap C}=\{3,5\}\)
\({\rm A\cup B\cup C}=\{1,2,3,4,5,7,11\}\)
問1
\({\rm A\cap B\cap C}=\{3,5\}\)
\({\rm A\cup B\cup C}=\{1,2,3,4,5,7,11\}\)
p.52
練習6
\({\rm A\cap B\cap C}=\{1,2,3,6\}\)
\({\rm A\cup B\cup C}\)
\(=\{1,2,3,4,5,6,7,9,12,18\}\)
練習6
\({\rm A\cap B\cap C}=\{1,2,3,6\}\)
\({\rm A\cup B\cup C}\)
\(=\{1,2,3,4,5,6,7,9,12,18\}\)
p.53
練習7
\({\small (1)}~\{1,4,6,8,9\}\)
\({\small (2)}~\{1,2,6,7,8,9\}\)
\({\small (3)}~\{1,6,8,9\}\)
\({\small (4)}~\{1,2,4,6,7,8,9\}\)
\({\small (5)}~\{4\}\)
\({\small (6)}~\{2,7\}\)
\({\small (7)}~\{1,2,3,5,6,7,8,9\}\)
\({\small (8)}~\{1,3,4,5,6,8,9\}\)
→ 補集合とド・モルガンの法則
練習7
\({\small (1)}~\{1,4,6,8,9\}\)
\({\small (2)}~\{1,2,6,7,8,9\}\)
\({\small (3)}~\{1,6,8,9\}\)
\({\small (4)}~\{1,2,4,6,7,8,9\}\)
\({\small (5)}~\{4\}\)
\({\small (6)}~\{2,7\}\)
\({\small (7)}~\{1,2,3,5,6,7,8,9\}\)
\({\small (8)}~\{1,3,4,5,6,8,9\}\)
→ 補集合とド・モルガンの法則
p.53
練習8
全体集合 \(\rm U\) とその部分集合 \({\rm A}~,~{\rm B}\) において、
\( \overline {{\rm A}} \cup \overline {{\rm B}} \) をベン図で表すと、
この２つの和集合となるので、
これは集合 \( {\rm A}\cap {\rm B} \) の補集合となるので、
\(\overline {{\rm A} \cap {\rm B}}=\overline {{\rm A}} \cup \overline {{\rm B}}\)
練習8
全体集合 \(\rm U\) とその部分集合 \({\rm A}~,~{\rm B}\) において、
\( \overline {{\rm A}} \cup \overline {{\rm B}} \) をベン図で表すと、
この２つの和集合となるので、
これは集合 \( {\rm A}\cap {\rm B} \) の補集合となるので、
\(\overline {{\rm A} \cap {\rm B}}=\overline {{\rm A}} \cup \overline {{\rm B}}\)
p.53
練習9
[証明]
\({\rm U}=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\)
\({\rm A}=\{2,4,6,8\}\)
\({\rm B}=\{3,6,9\}\)
\({\rm \overline {A}}=\{1,3,5,7,9\}\)
\({\rm \overline {B}}=\{1,2,4,5,7,8\}\)
これらより、
\({\rm A\cup B}=\{2,3,4,6,8,9\}\)
この否定は、
\({\rm \overline {A\cup B}}=\{1,5,7\}\)
また、
\({\rm \overline {A}\cap \overline {B}}=\{1,5,7\}\)
したがって、
\({\rm \overline {A\cup B}}={\rm \overline {A}\cap \overline {B}}\)
練習9
[証明]
\({\rm U}=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\)
\({\rm A}=\{2,4,6,8\}\)
\({\rm B}=\{3,6,9\}\)
\({\rm \overline {A}}=\{1,3,5,7,9\}\)
\({\rm \overline {B}}=\{1,2,4,5,7,8\}\)
これらより、
\({\rm A\cup B}=\{2,3,4,6,8,9\}\)
この否定は、
\({\rm \overline {A\cup B}}=\{1,5,7\}\)
また、
\({\rm \overline {A}\cap \overline {B}}=\{1,5,7\}\)
したがって、
\({\rm \overline {A\cup B}}={\rm \overline {A}\cap \overline {B}}\)
次に、
\({\rm A\cap B}=\{6\}\)
この否定は、
\({\rm \overline {A\cap B}}=\{1,2,3,4,5,7,8,9\}\)
また、
\({\rm \overline {A}\cup \overline {B}}=\{1,2,3,4,5,7,8,9\}\)
したがって、
\({\rm \overline {A\cap B}}={\rm \overline {A}\cup \overline {B}}\)
[終]
p.55
練習11
\({\small (1)}~\)真 \({\small (2)}~\)偽
練習11
\({\small (1)}~\)真 \({\small (2)}~\)偽
p.56
練習13
\({\small (1)}~x>-3\)
\({\small (2)}~x+y≦0\)
\({\small (3)}~x\) は有理数である
練習13
\({\small (1)}~x>-3\)
\({\small (2)}~x+y≦0\)
\({\small (3)}~x\) は有理数である
p.57
練習14
\({\small (1)}~x=0\) または \(y=0\)
\({\small (2)}~2<x<5\)
\({\small (3)}~x~,~y\) はともに無理数である
→ 条件の否定①（かつ・または）
→ 条件の否定②（すべて・少なくとも）
練習14
\({\small (1)}~x=0\) または \(y=0\)
\({\small (2)}~2<x<5\)
\({\small (3)}~x~,~y\) はともに無理数である
→ 条件の否定①（かつ・または）
→ 条件の否定②（すべて・少なくとも）
p.58
練習15
\({\small (1)}~\)十分条件であるが必要条件ではない
\({\small (2)}~\)必要条件でも十分条件でもない
\({\small (3)}~\)必要条件であるが十分条件ではない
\({\small (4)}~\)必要十分条件である
→ 必要条件と十分条件
練習15
\({\small (1)}~\)十分条件であるが必要条件ではない
\({\small (2)}~\)必要条件でも十分条件でもない
\({\small (3)}~\)必要条件であるが十分条件ではない
\({\small (4)}~\)必要十分条件である
→ 必要条件と十分条件
p.59
練習16
\({\small (1)}~\)命題は真
逆は、
\(xy=0~\Rightarrow~x=0\)、偽
対偶は、
\(xy\neq0~\Rightarrow~x\neq0\)、真
裏は、
\(x\neq0~\Rightarrow~xy\neq0\)、偽
\({\small (2)}~\)命題は偽
逆は、
\(x>0\) かつ \(y>0~\Rightarrow~xy>0\)、真
対偶は、
\(x≦0\) または \(y≦0~\Rightarrow~xy≦0\)、偽
裏は、
\(xy≦0~\Rightarrow~x≦0\) または \(y≦0\)、真
→ 逆と裏と対偶
練習16
\({\small (1)}~\)命題は真
逆は、
\(xy=0~\Rightarrow~x=0\)、偽
対偶は、
\(xy\neq0~\Rightarrow~x\neq0\)、真
裏は、
\(x\neq0~\Rightarrow~xy\neq0\)、偽
\({\small (2)}~\)命題は偽
逆は、
\(x>0\) かつ \(y>0~\Rightarrow~xy>0\)、真
対偶は、
\(x≦0\) または \(y≦0~\Rightarrow~xy≦0\)、偽
裏は、
\(xy≦0~\Rightarrow~x≦0\) または \(y≦0\)、真
→ 逆と裏と対偶
p.60
練習17
[証明]この命題の対偶は、
\(n\) が偶数ならば \(n^2\) は偶数である
\(n\) が偶数より、整数 \(m\) を用いて \(n=2m\) とすると
\(n^2=(2m)^2=2\cdot 2m^2\)
\(2m^2\) が整数より \(n^2\) は偶数である
したがって、対偶が真より
もとの命題も真となる[終]
→ 対偶法
練習17
[証明]この命題の対偶は、
\(n\) が偶数ならば \(n^2\) は偶数である
\(n\) が偶数より、整数 \(m\) を用いて \(n=2m\) とすると
\(n^2=(2m)^2=2\cdot 2m^2\)
\(2m^2\) が整数より \(n^2\) は偶数である
したがって、対偶が真より
もとの命題も真となる[終]
→ 対偶法
p.61
練習18
[証明]
この命題の対偶は、
\(x≦0\) かつ \(y≦0~\Rightarrow~x+y≦0\)
ここで、\(x≦0\) の両辺に \(y\) を加えると、
\(x+y≦y\)
また、\(y≦0\) より、
\(x+y≦y≦0\)
よって、
\(x+y≦0\)
したがって、対偶が真となるので命題も真である [終]
→ 対偶法
練習18
[証明]
この命題の対偶は、
\(x≦0\) かつ \(y≦0~\Rightarrow~x+y≦0\)
ここで、\(x≦0\) の両辺に \(y\) を加えると、
\(x+y≦y\)
また、\(y≦0\) より、
\(x+y≦y≦0\)
よって、
\(x+y≦0\)
したがって、対偶が真となるので命題も真である [終]
→ 対偶法
p.61
練習19
[証明] \(\sqrt{\pi}\) が無理数でないと仮定すると、\(\sqrt{\pi}\) は有理数である
\(r\) を有理数とすると、
\(\sqrt{\pi}=r\)
両辺を２乗すると、
\(\pi=r^2\)
\(r\) が有理数より、\(r^2\) は有理数である
これは \(\pi\) が無理数であることに矛盾する
したがって、\(\sqrt{\pi}\) は無理数である [終]
→ 背理法
練習19
[証明] \(\sqrt{\pi}\) が無理数でないと仮定すると、\(\sqrt{\pi}\) は有理数である
\(r\) を有理数とすると、
\(\sqrt{\pi}=r\)
両辺を２乗すると、
\(\pi=r^2\)
\(r\) が有理数より、\(r^2\) は有理数である
これは \(\pi\) が無理数であることに矛盾する
したがって、\(\sqrt{\pi}\) は無理数である [終]
→ 背理法
p.62
練習20
[証明] \(\sqrt{3}\) が無理数でないと仮定すると、 \(\sqrt{3}\) は有理数である
これより、\(1\) 以外の正の約数をもたない２つの自然数 \(a~,~b\) を用いて、
\(\sqrt{3}={\large \frac{a}{b}}\)
と表される
よって、
\(a=\sqrt{3}b\)
両辺を２乗すると、
\(a^2=3b^2\)
これより、\(a^2\) が３の倍数であり \(a\) も３の倍数である
また、自然数 \(c\) を用いて \(a=3c\) とすると、
\(9c^2=3b^2\)
よって、
\(b^2=3c^2\)
これより、\(b^2\) が３の倍数であり \(b\) も３の倍数である
よって、\(a~,~b\) はともに３の倍数となり \(1\) 以外の正の約数をもたないことに矛盾する
したがって、\(\sqrt{3}\) は無理数である [終]
→ 背理法
練習20
[証明] \(\sqrt{3}\) が無理数でないと仮定すると、 \(\sqrt{3}\) は有理数である
これより、\(1\) 以外の正の約数をもたない２つの自然数 \(a~,~b\) を用いて、
\(\sqrt{3}={\large \frac{a}{b}}\)
と表される
よって、
\(a=\sqrt{3}b\)
両辺を２乗すると、
\(a^2=3b^2\)
これより、\(a^2\) が３の倍数であり \(a\) も３の倍数である
また、自然数 \(c\) を用いて \(a=3c\) とすると、
\(9c^2=3b^2\)
よって、
\(b^2=3c^2\)
これより、\(b^2\) が３の倍数であり \(b\) も３の倍数である
よって、\(a~,~b\) はともに３の倍数となり \(1\) 以外の正の約数をもたないことに矛盾する
したがって、\(\sqrt{3}\) は無理数である [終]
→ 背理法
p.63
発展1
\({\small (1)}~\)命題は偽
命題の否定は、
「ある実数 \(x\) について \(x+1≦0\)」
また、命題の否定は真
\({\small (2)}~\)命題は真
命題の否定は、
「すべての素数 \(n\) について \(n+2\) は素数でない」
また、命題の否定は偽
→ 条件の否定②（すべて・少なくとも）
発展1
\({\small (1)}~\)命題は偽
命題の否定は、
「ある実数 \(x\) について \(x+1≦0\)」
また、命題の否定は真
\({\small (2)}~\)命題は真
命題の否定は、
「すべての素数 \(n\) について \(n+2\) は素数でない」
また、命題の否定は偽
→ 条件の否定②（すべて・少なくとも）
問題
p.64
1
\({\small (1)}~\{1,4,9\}\)
\({\small (2)}~\{1,2,3,4,6,7,8,9\}\)
\({\small (3)}~\{6,7\}\)
\({\small (4)}~\{5\}\)
\({\small (5)}~\{2,3,5,6,7,8,9\}\)
\({\small (6)}~\phi\)
1
\({\small (1)}~\{1,4,9\}\)
\({\small (2)}~\{1,2,3,4,6,7,8,9\}\)
\({\small (3)}~\{6,7\}\)
\({\small (4)}~\{5\}\)
\({\small (5)}~\{2,3,5,6,7,8,9\}\)
\({\small (6)}~\phi\)
p.64
2
\({\small (1)}~\)偽 \({\small (2)}~\)真 \({\small (3)}~\)偽
2
\({\small (1)}~\)偽 \({\small (2)}~\)真 \({\small (3)}~\)偽
p.64
3
\({\small (1)}~\)必要条件であるが十分条件ではない
\({\small (2)}~\)必要十分条件である
\({\small (3)}~\)十分条件であるが必要条件ではない
3
\({\small (1)}~\)必要条件であるが十分条件ではない
\({\small (2)}~\)必要十分条件である
\({\small (3)}~\)十分条件であるが必要条件ではない
p.64
4
[証明] この命題の対偶は、
「 \(n\) が３の倍数でないならば、\(n^2\) は３の倍数でない」
\(k\) を整数とすると、
( ⅰ ) \(n=3k+1\) のとき
\(n^2=(3k+1)^2\)
\(=3(3k^2+2k)+1\)
よって、\(n^2\) は３の倍数でない
( ⅱ ) \(n=3k+2\) のとき
\(n^2=(3k+2)^2\)
\(=3(3k^2+4k+1)+1\)
よって、\(n^2\) は３の倍数でない
したがって、対偶が真となるのでもとの命題も真となる [終]
4
[証明] この命題の対偶は、
「 \(n\) が３の倍数でないならば、\(n^2\) は３の倍数でない」
\(k\) を整数とすると、
( ⅰ ) \(n=3k+1\) のとき
\(n^2=(3k+1)^2\)
\(=3(3k^2+2k)+1\)
よって、\(n^2\) は３の倍数でない
( ⅱ ) \(n=3k+2\) のとき
\(n^2=(3k+2)^2\)
\(=3(3k^2+4k+1)+1\)
よって、\(n^2\) は３の倍数でない
したがって、対偶が真となるのでもとの命題も真となる [終]
p.64
5
\({\small (1)}~\)
[証明]\(b\neq 0\) と仮定すると、\(a+b\sqrt{2}=0\) より
\(\sqrt{2}=-{\Large \frac{a}{b}}\)
ここて、\(a,b\) が有理数であることより、\(-{\large \frac{a}{b}}\) も有理数となる
これは、\(\sqrt{2}\) が無理数であることに矛盾する
よって、\(b=0\)
次にこれを \(a+b\sqrt{2}=0\) に代入すると、\(a=0\)
したがって、\(a,b\) が有理数で \(a+b\sqrt{2}=0~\Rightarrow~a=b=0\) [終]
\({\small (2)}~a=-1~,~b=3\)
5
\({\small (1)}~\)
[証明]\(b\neq 0\) と仮定すると、\(a+b\sqrt{2}=0\) より
\(\sqrt{2}=-{\Large \frac{a}{b}}\)
ここて、\(a,b\) が有理数であることより、\(-{\large \frac{a}{b}}\) も有理数となる
これは、\(\sqrt{2}\) が無理数であることに矛盾する
よって、\(b=0\)
次にこれを \(a+b\sqrt{2}=0\) に代入すると、\(a=0\)
したがって、\(a,b\) が有理数で \(a+b\sqrt{2}=0~\Rightarrow~a=b=0\) [終]
\({\small (2)}~a=-1~,~b=3\)
演習問題 集合と命題
演習問題Ａ
p.65
1
\({\small (1)}~a=-2\)
\({\small (2)}~\{-2,2,3,6,7\}\)
\({\small (3)}~\{-2,3\}\)
1
\({\small (1)}~a=-2\)
\({\small (2)}~\{-2,2,3,6,7\}\)
\({\small (3)}~\{-2,3\}\)
p.65
2
\({\small (1)}~{\rm P}\)
\({\small (2)}~{\rm P}\cap{\rm Q}\)
\({\small (3)}~\overline { {\rm P}}\cap{\rm Q}\)
2
\({\small (1)}~{\rm P}\)
\({\small (2)}~{\rm P}\cap{\rm Q}\)
\({\small (3)}~\overline { {\rm P}}\cap{\rm Q}\)
p.65
3
\({\small (1)}~\)必要条件であるが十分条件ではない
\({\small (2)}~\)十分条件であるが必要条件ではない
\({\small (3)}~\)必要十分条件である
\({\small (4)}~\)必要条件であるが十分条件ではない
3
\({\small (1)}~\)必要条件であるが十分条件ではない
\({\small (2)}~\)十分条件であるが必要条件ではない
\({\small (3)}~\)必要十分条件である
\({\small (4)}~\)必要条件であるが十分条件ではない
p.65
4
[証明] \(x^2-y^2=1\) を満たす自然数 \(x~,~y\) が存在すると仮定すると、
\(x^2-y^2=1\)
因数分解すると、
\((x+y)(x-y)=1\)
ここで、\(x+y~,~x-y\) は整数より、
\(x+y=1\) かつ \(x-y=1\)
または
\(x+y=-1\) かつ \(x-y=-1\)
のときとなる
( ⅰ ) \(x+y=1\) かつ \(x-y=1\) のとき
すなわち \(x=1~,~y=0\)
これは \(x~,~y\) が自然数に矛盾する
( ⅱ ) \(x+y=-1\) かつ \(x-y=-1\) のとき
すなわち \(x=-1~,~y=0\)
これは \(x~,~y\) が自然数に矛盾する
したがって、\(x^2-y^2=1\) を満たす自然数 \(x~,~y\) は存在しない [終]
4
[証明] \(x^2-y^2=1\) を満たす自然数 \(x~,~y\) が存在すると仮定すると、
\(x^2-y^2=1\)
因数分解すると、
\((x+y)(x-y)=1\)
ここで、\(x+y~,~x-y\) は整数より、
\(x+y=1\) かつ \(x-y=1\)
または
\(x+y=-1\) かつ \(x-y=-1\)
のときとなる
( ⅰ ) \(x+y=1\) かつ \(x-y=1\) のとき
すなわち \(x=1~,~y=0\)
これは \(x~,~y\) が自然数に矛盾する
( ⅱ ) \(x+y=-1\) かつ \(x-y=-1\) のとき
すなわち \(x=-1~,~y=0\)
これは \(x~,~y\) が自然数に矛盾する
したがって、\(x^2-y^2=1\) を満たす自然数 \(x~,~y\) は存在しない [終]
演習問題Ｂ
p.66
5
\({\small (1)}~\)偽、反例は \(a=\sqrt{2}~,~b=-\sqrt{2}\)
\({\small (2)}~\)真
\({\small (3)}~\)偽、反例は \(a=\sqrt{2}~,~b=-\sqrt{2}\)
\({\small (4)}~\)偽、反例は \(a=\sqrt{2}~,~b=0\)
5
\({\small (1)}~\)偽、反例は \(a=\sqrt{2}~,~b=-\sqrt{2}\)
\({\small (2)}~\)真
\({\small (3)}~\)偽、反例は \(a=\sqrt{2}~,~b=-\sqrt{2}\)
\({\small (4)}~\)偽、反例は \(a=\sqrt{2}~,~b=0\)
p.66
6
[証明] \(a~,~b~,~c\) のうち少なくとも１つは偶数であるの否定は、
「 \(a~,~b~,~c\) はすべて奇数である」
整数 \(l~,~m~,~n\) を用いて、
\(a=2l+1\)
\(b=2m+1\)
\(c=2n+1\)
これらを \(a^2+b^2=c^2\) に代入すると、
\((2l+1)^2+(2m+1)^2\)
\(=(2n+1)^2\)
式変形すると、
\(2(2l^2+2l+2m^2+2m+1)\)
\(=2(2n^2+2n)+1\)
この式は、左辺は偶数で右辺は奇数となり矛盾する
したがって、\(a~,~b~,~c\) のうち少なくとも１つは偶数である [終]
6
[証明] \(a~,~b~,~c\) のうち少なくとも１つは偶数であるの否定は、
「 \(a~,~b~,~c\) はすべて奇数である」
整数 \(l~,~m~,~n\) を用いて、
\(a=2l+1\)
\(b=2m+1\)
\(c=2n+1\)
これらを \(a^2+b^2=c^2\) に代入すると、
\((2l+1)^2+(2m+1)^2\)
\(=(2n+1)^2\)
式変形すると、
\(2(2l^2+2l+2m^2+2m+1)\)
\(=2(2n^2+2n)+1\)
この式は、左辺は偶数で右辺は奇数となり矛盾する
したがって、\(a~,~b~,~c\) のうち少なくとも１つは偶数である [終]
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