このページは、数研出版：新編数学Ｃ[710]
第３章 複素数平面
第３章 複素数平面
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新編数学Ｃ 第１章 平面のベクトル
新編数学Ｃ 第２章 空間のベクトル
新編数学Ｃ 第３章 複素数平面
新編数学Ｃ 第４章 式と曲線
第３章 複素数平面
p.77 練習2\({\small (1)}~-3-5i\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,-1+\sqrt{3}i\,}{\,2\,}\)
\({\small (3)}~1\) \({\small (4)}~i\)
解法のPoint｜共役な複素数と複素数平面
\({\small (3)}~1\) \({\small (4)}~i\)
解法のPoint｜共役な複素数と複素数平面
p.78 練習4\({\small (1)}~a=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(z+\overline {z})~,~b=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2i\,}(z-\overline {z})\)
\({\small (2)}~\)性質１
[証明] \(z=a+bi\) が実数のとき、\(b=0\) であるので \({\small (1)}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2i\,}(z-\overline {z})&=&0
\\[3pt]~~~z-\overline {z}&=&0
\\[2pt]~~~\overline {z}&=&z
\end{eqnarray}\)
また、逆に \(\overline {z}=z\) のとき \({\small (1)}\) より、\(b=0\)
よって、\(z=a+bi\) は実数である
したがって、
\(z\) が実数 \(~\Leftrightarrow~\overline {z}=z\) [終]
解法のPoint｜共役な複素数と複素数平面
\({\small (2)}~\)性質１
[証明] \(z=a+bi\) が実数のとき、\(b=0\) であるので \({\small (1)}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2i\,}(z-\overline {z})&=&0
\\[3pt]~~~z-\overline {z}&=&0
\\[2pt]~~~\overline {z}&=&z
\end{eqnarray}\)
また、逆に \(\overline {z}=z\) のとき \({\small (1)}\) より、\(b=0\)
よって、\(z=a+bi\) は実数である
したがって、
\(z\) が実数 \(~\Leftrightarrow~\overline {z}=z\) [終]
性質２
[証明] \(z=a+bi\) が純虚数のとき、\(a=0~,~b\neq 0\) であるので \({\small (1)}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(z+\overline {z})&=&0
\\[3pt]~~~z+\overline {z}&=&0
\\[2pt]~~~\overline {z}&=&-z
\end{eqnarray}\)
また、逆に \(\overline {z}=-z\) で \(z\neq 0\) のとき \({\small (1)}\) より、\(a=0\)
また、\(z\neq 0\) のとき \(b\neq 0\)
よって、\(z=a+bi\) は純虚数である
したがって、
\(z\) が純虚数 \(~\Leftrightarrow~\overline {z}=-z\) ただし、 \(z\neq 0\) [終]
解法のPoint｜共役な複素数と複素数平面
p.79 練習5\({\small (1)}~5\) \({\small (2)}~\sqrt{29}\) \({\small (3)}~5\) \({\small (4)}~3\)
解法のPoint｜複素数の絶対値と2点間の距離
解法のPoint｜複素数の絶対値と2点間の距離
p.79 練習6[証明] \(z=a+bi\) とすると、\(-\overline {z}=-a+bi\)
よって、
\(~~~|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)
\(\begin{eqnarray}~~~|-\overline {z}|&=&\sqrt{(-a)^2+b^2}
\\[2pt]~~~&=&\sqrt{a^2+b^2}
\end{eqnarray}\)
したがって、\(~~~|-\overline {z}|=|z|\) [終]
解法のPoint｜複素数の絶対値と2点間の距離
よって、
\(~~~|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)
\(\begin{eqnarray}~~~|-\overline {z}|&=&\sqrt{(-a)^2+b^2}
\\[2pt]~~~&=&\sqrt{a^2+b^2}
\end{eqnarray}\)
したがって、\(~~~|-\overline {z}|=|z|\) [終]
解法のPoint｜複素数の絶対値と2点間の距離
p.83 練習11[証明] \(|\, \alpha \,|=1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~|\, \alpha \,|^2=\alpha\overline{\alpha}&=&1^2\\[3pt]~~~\alpha\overline{\alpha}&=&1~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
ここで、
\(~~~\overline{\left(\alpha^2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\alpha^2\,}\right)}=\overline{\alpha}^2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\overline{\alpha}^2\,}\)
\({\small [\,1\,]}\) より \(\overline{\alpha}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\alpha\,}~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\overline{\alpha}\,}=\alpha\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{\left(\alpha^2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\alpha^2\,}\right)}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\alpha^2\,}+\alpha^2\\[5pt]~~~&=&\alpha^2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\alpha^2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\overline{\left(\alpha^2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\alpha^2\,}\right)}=\alpha^2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\alpha^2\,}\) より、
\(\alpha^2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\alpha^2\,}\) は実数である [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\(\begin{eqnarray}~~~|\, \alpha \,|^2=\alpha\overline{\alpha}&=&1^2\\[3pt]~~~\alpha\overline{\alpha}&=&1~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
ここで、
\(~~~\overline{\left(\alpha^2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\alpha^2\,}\right)}=\overline{\alpha}^2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\overline{\alpha}^2\,}\)
\({\small [\,1\,]}\) より \(\overline{\alpha}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\alpha\,}~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\overline{\alpha}\,}=\alpha\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{\left(\alpha^2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\alpha^2\,}\right)}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\alpha^2\,}+\alpha^2\\[5pt]~~~&=&\alpha^2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\alpha^2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\overline{\left(\alpha^2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\alpha^2\,}\right)}=\alpha^2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\alpha^2\,}\) より、
\(\alpha^2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\alpha^2\,}\) は実数である [終]
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p.85 練習12\({\small (1)}~2\left( \cos{\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}}+i\sin{\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}} \right)\)
\({\small (2)}~2\sqrt{2}\left( \cos{\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}}+i\sin{\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}} \right)\)
\({\small (3)}~2\left\{ \cos{\left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)}+i\sin{\left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)} \right\}\)
\({\small (4)}~\cos{\left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)}+i\sin{\left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)}\)
解法のPoint｜複素数の絶対値・偏角と極形式
\({\small (2)}~2\sqrt{2}\left( \cos{\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}}+i\sin{\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}} \right)\)
\({\small (3)}~2\left\{ \cos{\left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)}+i\sin{\left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)} \right\}\)
\({\small (4)}~\cos{\left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)}+i\sin{\left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)}\)
解法のPoint｜複素数の絶対値・偏角と極形式
p.85 練習13[証明] \(\cos{(\theta+\pi)}=-\cos{\theta}\) と \(\sin{(\theta+\pi)}=-\sin{\theta}\) より、左辺は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&r\{ \cos{(\theta+\pi)}+i\sin{(\theta+\pi)} \}\\[2pt]~~~&=&-r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})\\[2pt]~~~&=&-z\end{eqnarray}\)
[終]
解法のPoint｜共役な複素数・逆数の極形式
\(\begin{eqnarray}~~~&&r\{ \cos{(\theta+\pi)}+i\sin{(\theta+\pi)} \}\\[2pt]~~~&=&-r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})\\[2pt]~~~&=&-z\end{eqnarray}\)
[終]
解法のPoint｜共役な複素数・逆数の極形式
p.87 練習14\(~~~\alpha\beta=4\sqrt{2}\left( \cos{\displaystyle \frac{\,5\,}{\,12\,}\pi}+i\sin{\displaystyle \frac{\,5\,}{\,12\,}\pi} \right)\)
\(~~~\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\beta\,}=\sqrt{2}\left( \cos{\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}}+i\sin{\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}} \right)\)
解法のPoint｜複素数の極形式と乗法・除法
\(~~~\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\beta\,}=\sqrt{2}\left( \cos{\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}}+i\sin{\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}} \right)\)
解法のPoint｜複素数の極形式と乗法・除法
p.87 練習15\({\small (1)}~6\) \({\small (2)}~8\) \({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\) \({\small (4)}~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\)
解法のPoint｜複素数の極形式と乗法・除法
解法のPoint｜複素数の極形式と乗法・除法
p.88 練習16\({\small (1)}~\)原点を中心に \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) 回転し、
原点からの距離を \(2\) 倍した点
\({\small (2)}~\)原点を中心に \(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\) 回転し、
原点からの距離を \(\sqrt{2}\) 倍した点
\({\small (3)}~\)原点を中心に \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) 回転し、
原点からの距離を \(2\) 倍した点
解法のPoint｜複素数の積・商と点の回転
原点からの距離を \(2\) 倍した点
\({\small (2)}~\)原点を中心に \(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\) 回転し、
原点からの距離を \(\sqrt{2}\) 倍した点
\({\small (3)}~\)原点を中心に \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) 回転し、
原点からの距離を \(2\) 倍した点
解法のPoint｜複素数の積・商と点の回転
p.89 練習17\({\small (1)}~(2\sqrt{3}+1)+(-\sqrt{3}+2)i\)
\({\small (2)}~(-2+\sqrt{3})+(1+2\sqrt{3})i\)
\({\small (3)}~-2-4i\)
\({\small (4)}~(2-\sqrt{3})-(1+2\sqrt{3})i\)
解法のPoint｜回転移動後の複素数の点
\({\small (2)}~(-2+\sqrt{3})+(1+2\sqrt{3})i\)
\({\small (3)}~-2-4i\)
\({\small (4)}~(2-\sqrt{3})-(1+2\sqrt{3})i\)
解法のPoint｜回転移動後の複素数の点
p.91 練習18\({\small (1)}~16-16\sqrt{3}i\) \({\small (2)}~16\) \({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,64\,}\)
解法のPoint｜複素数のn乗とド・モアブルの定理
解法のPoint｜複素数のn乗とド・モアブルの定理
p.92 練習19\(~~~\pm1~,~\pm i\)
\(~~~\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}i~,~\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}i\)
\(~~~-\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}i~,~-\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}i\)
解法のPoint｜1のn乗根と複素数平面
\(~~~\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}i~,~\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}i\)
\(~~~-\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}i~,~-\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}i\)
解法のPoint｜1のn乗根と複素数平面
p.93 練習20\({\small (1)}~z=\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}i~,~-\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}i\)
\({\small (2)}~z=1+i~,~-1+i~,~1-i~,~-1-i\)
\({\small (3)}~z=\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}i~,~-\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}i\)
解法のPoint｜方程式の解と極形式
\({\small (2)}~z=1+i~,~-1+i~,~1-i~,~-1-i\)
\({\small (3)}~z=\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}i~,~-\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}i\)
解法のPoint｜方程式の解と極形式
p.95 練習21\({\small (1)}~3+3i\) \({\small (2)}~4+2i\) \({\small (3)}~19-13i\)
解法のPoint｜内分点・外分点・重心を表す複素数
解法のPoint｜内分点・外分点・重心を表す複素数
p.95 練習22[証明] 頂点を \({\rm A}(\alpha)~,~{\rm B}(\beta)~,~{\rm C}(\gamma)\) とすると、
線分 \({\rm BC}\) の中点は、
\(~~~\displaystyle \frac{\,\beta+\gamma\,}{\,2\,}\)
また、重心 \(\delta\) は線分 \({\rm BC}\) を \(2:1\) に内分するので、
\(~~~\delta=\displaystyle \frac{\,\alpha+2\displaystyle \frac{\,\beta+\gamma\,}{\,2\,}\,}{\,2+1\,}=\displaystyle \frac{\,\alpha+\beta+\gamma\,}{\,3\,}\)
[終]
解法のPoint｜内分点・外分点・重心を表す複素数
線分 \({\rm BC}\) の中点は、
\(~~~\displaystyle \frac{\,\beta+\gamma\,}{\,2\,}\)
また、重心 \(\delta\) は線分 \({\rm BC}\) を \(2:1\) に内分するので、
\(~~~\delta=\displaystyle \frac{\,\alpha+2\displaystyle \frac{\,\beta+\gamma\,}{\,2\,}\,}{\,2+1\,}=\displaystyle \frac{\,\alpha+\beta+\gamma\,}{\,3\,}\)
[終]
解法のPoint｜内分点・外分点・重心を表す複素数
p.95 練習23\({\small (1)}~\)原点が中心の半径 \(2\) の円
\({\small (2)}~\)点 \(i\) が中心の半径 \(1\) の円
\({\small (3)}~\)点 \(-1\) が中心の半径 \(4\) の円
解法のPoint｜複素数の方程式の表す図形
\({\small (2)}~\)点 \(i\) が中心の半径 \(1\) の円
\({\small (3)}~\)点 \(-1\) が中心の半径 \(4\) の円
解法のPoint｜複素数の方程式の表す図形
p.96 練習24\({\small (1)}~\)２点 \({\rm A}(2)~,~{\rm B}(4i)\) を結ぶ線分 \({\rm AB}\) の垂直二等分線
\({\small (2)}~\)２点 \({\rm O}(0)~,~{\rm A}(-1)\) を結ぶ線分 \({\rm OA}\) の垂直二等分線
解法のPoint｜複素数の方程式の表す図形
\({\small (2)}~\)２点 \({\rm O}(0)~,~{\rm A}(-1)\) を結ぶ線分 \({\rm OA}\) の垂直二等分線
解法のPoint｜複素数の方程式の表す図形
補充問題
p.102 補充問題 2\({\small (1)}~1+\sqrt{\,3\,}i\)
\({\small (2)}~\angle {\rm A}=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~\angle {\rm B}=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\angle {\rm C}=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\)
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\({\small (2)}~\angle {\rm A}=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~\angle {\rm B}=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\angle {\rm C}=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\)
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章末問題 複素数平面
p.103 章末問題A 1\({\small (1)}~4\) \({\small (2)}~-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\)
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p.103 章末問題A 3 \(\gamma=(3-\sqrt{\,3\,})+(2+2\sqrt{\,3\,})i\)
または
\(\gamma=(3+\sqrt{\,3\,})+(2-2\sqrt{\,3\,})i\)
解法のPoint｜複素数平面上の3点がつくる正三角形
または
\(\gamma=(3+\sqrt{\,3\,})+(2-2\sqrt{\,3\,})i\)
解法のPoint｜複素数平面上の3点がつくる正三角形
p.103 章末問題B 4\({\small (1)}~z+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}=2~,~\displaystyle \frac{\,-1\pm\sqrt{\,5\,}\,}{\,2\,}\)
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,-1-\sqrt{\,5\,}\,}{\,4\,}\)
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\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,-1-\sqrt{\,5\,}\,}{\,4\,}\)
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p.103 章末問題B 5\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}i\)
解法のPoint｜複素数平面上の半直線のなす角
解法のPoint｜複素数平面上の半直線のなす角
p.103 章末問題B 6\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,\beta\,}{\,\alpha\,}=2\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)~,~\)
\(2\left\{\cos \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)+i\sin \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\right\}\)
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\)
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\(2\left\{\cos \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)+i\sin \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\right\}\)
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\)
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