このページは、東京書籍：Standard数学Ⅱ[702]
４章 指数関数・対数関数
４章 指数関数・対数関数
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Standard数学Ⅱ １章 方程式・式と証明
Standard数学Ⅱ ２章 図形と方程式
Standard数学Ⅱ ３章 三角関数
Standard数学Ⅱ ４章 指数関数・対数関数
Standard数学Ⅱ ５章 微分と積分
４章 指数関数・対数関数
１節 指数関数
p.163 問1\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,}\) \({\small (2)}~1\) \({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,36\,}\) \({\small (4)}~-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,64\,}\)
解法のPoint｜0や負の整数の指数
解法のPoint｜0や負の整数の指数
p.164 問2\({\small [1′]}~a^5\div a^{-3}\)
\(~=a^5\div\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a^3\,}\)
\(~=a^5\times a^3\)
\(~=a^{5+3}\)
\(~=a^{5-(-3)}\)
\({\small [3′]}~\left(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}\right)^{-3}\)
\(~=(ab^{-1})^{-3}\)
\(~=a^{-3}b^3\)
\(~=a^{-3}(b^{-3})^{-1}\)
\(~=\displaystyle \frac{\,a^{-3}\,}{\,b^{-3}\,}\)
解法のPoint｜指数法則を用いた計算
\(~=a^5\div\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a^3\,}\)
\(~=a^5\times a^3\)
\(~=a^{5+3}\)
\(~=a^{5-(-3)}\)
\({\small [3′]}~\left(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}\right)^{-3}\)
\(~=(ab^{-1})^{-3}\)
\(~=a^{-3}b^3\)
\(~=a^{-3}(b^{-3})^{-1}\)
\(~=\displaystyle \frac{\,a^{-3}\,}{\,b^{-3}\,}\)
解法のPoint｜指数法則を用いた計算
p.164 問3\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a^8\,}\) \({\small (2)}~a^2\) \({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,b^6\,}{\,a^4\,}\)
\({\small (4)}~a^2\) \({\small (5)}~8a\)
解法のPoint｜指数法則を用いた計算
\({\small (4)}~a^2\) \({\small (5)}~8a\)
解法のPoint｜指数法則を用いた計算
p.165 問4\({\small (1)}~3\) \({\small (2)}~-3\) \({\small (3)}~4\) \({\small (4)}~-4\)
解法のPoint｜累乗根で表された数
解法のPoint｜累乗根で表された数
p.167 問7[証明] \(\sqrt[\large m]{\sqrt[\large n]{a}}=x\) とすると、
\(x^{mn}\)
\(=(\sqrt[\large m]{\sqrt[\large n]{a}})^{mn}\)
\(=\left\{(\sqrt[\large m]{\sqrt[\large n]{a}})^m\right\}^n\)
\(=(\sqrt[\large n]{a})^n\)
\(=a\)
ここで、\(x \gt 0\) であり、\(x\) は \(a\) の正の \(mn\) 乗根であるので、
\(x=\sqrt[\large mn]{a}\)
したがって、
\(\sqrt[\large m]{\sqrt[\large n]{a}}=\sqrt[\large mn]{a}\) [終]
解法のPoint｜累乗根の性質と式の計算
\(x^{mn}\)
\(=(\sqrt[\large m]{\sqrt[\large n]{a}})^{mn}\)
\(=\left\{(\sqrt[\large m]{\sqrt[\large n]{a}})^m\right\}^n\)
\(=(\sqrt[\large n]{a})^n\)
\(=a\)
ここで、\(x \gt 0\) であり、\(x\) は \(a\) の正の \(mn\) 乗根であるので、
\(x=\sqrt[\large mn]{a}\)
したがって、
\(\sqrt[\large m]{\sqrt[\large n]{a}}=\sqrt[\large mn]{a}\) [終]
解法のPoint｜累乗根の性質と式の計算
p.167 問8\({\small (1)}~\sqrt[\large 3]{35}\) \({\small (2)}~\sqrt[\large 4]{3}\) \({\small (3)}~5\)
\({\small (4)}~9\) \({\small (5)}~\sqrt[\large 3]{2}\)
解法のPoint｜累乗根の性質と式の計算
\({\small (4)}~9\) \({\small (5)}~\sqrt[\large 3]{2}\)
解法のPoint｜累乗根の性質と式の計算
p.168 問9\({\small (1)}~5\) \({\small (2)}~8\) \({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) \({\small (4)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,}\)
解法のPoint｜有理数(分数)が指数である累乗
解法のPoint｜有理数(分数)が指数である累乗
p.168 問10\({\small (1)}~a^{\frac{1}{3}}\) \({\small (2)}~a^{\frac{3}{2}}\) \({\small (3)}~a^{\frac{5}{4}}\) \({\small (4)}~a^{-\frac{3}{4}}\)
解法のPoint｜有理数(分数)が指数である累乗
解法のPoint｜有理数(分数)が指数である累乗
p.169 問11\({\small (1)}~9\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\) \({\small (3)}~16\)
解法のPoint｜有理数が指数の指数法則の計算
解法のPoint｜有理数が指数の指数法則の計算
p.169 問12\({\small (1)}~2\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,}\)
解法のPoint｜有理数が指数の指数法則の計算
解法のPoint｜有理数が指数の指数法則の計算
p.172 問13\(y=3^x\)
\(y=\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^x\)
\(y=\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^x\)
p.173 問14\({\small (1)}~\sqrt[\large 3]{9} \lt \sqrt[\large 4]{27}\)
\({\small (2)}~\sqrt[\large 3]{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,}} \gt \sqrt[\large 4]{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,27\,}}\)
解法のPoint｜指数関数の大小比較
\({\small (2)}~\sqrt[\large 3]{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,}} \gt \sqrt[\large 4]{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,27\,}}\)
解法のPoint｜指数関数の大小比較
p.174 問15\({\small (1)}~x=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) \({\small (2)}~x=-1\)
解法のPoint｜指数関数を含む方程式
解法のPoint｜指数関数を含む方程式
p.174 問16\({\small (1)}~x \gt \displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\) \({\small (2)}~x{\small ~≧~}\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\)
解法のPoint｜指数関数を含む不等式
解法のPoint｜指数関数を含む不等式
Training
p.176 Training 1\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a^2\,}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a^4\,}\) \({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a^2\,}\)
解法のPoint｜指数法則を用いた計算
解法のPoint｜指数法則を用いた計算
p.176 Training 3\({\small (1)}~5\) \({\small (2)}~100\) \({\small (3)}~7\) \({\small (4)}~25\) \({\small (5)}~\sqrt{2}\)
解法のPoint｜累乗根の性質と式の計算
解法のPoint｜累乗根の性質と式の計算
p.176 Training 4\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,9\,}\)
解法のPoint｜有理数が指数の指数法則の計算
解法のPoint｜有理数が指数の指数法則の計算
p.176 Training 5\({\small (1)}~x\) 軸で対称
\({\small (2)}~y\) 軸で対称
\({\small (3)}~y\) 軸方向に \(1\) 平行移動
\({\small (4)}~x\) 軸方向に \(1\) 平行移動
解法のPoint｜指数関数のグラフ
解法のPoint｜指数関数のグラフの対称移動・平行移動
\({\small (2)}~y\) 軸で対称
\({\small (3)}~y\) 軸方向に \(1\) 平行移動
\({\small (4)}~x\) 軸方向に \(1\) 平行移動
解法のPoint｜指数関数のグラフ
解法のPoint｜指数関数のグラフの対称移動・平行移動
p.176 Training 6\({\small (1)}~\sqrt[\large 5]{9} \lt \sqrt[\large 7]{27} \lt \sqrt{3}\)
\({\small (2)}~\sqrt[\large 3]{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}} \lt \sqrt{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}} \lt \sqrt[\large 8]{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}}\)
解法のPoint｜指数関数の大小比較
\({\small (2)}~\sqrt[\large 3]{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}} \lt \sqrt{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}} \lt \sqrt[\large 8]{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}}\)
解法のPoint｜指数関数の大小比較
p.176 Training 7\({\small (1)}~x=-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\) \({\small (2)}~x=6\)
解法のPoint｜指数関数を含む方程式
解法のPoint｜指数関数を含む方程式
p.176 Training 9\(16\) の４乗根は \(2\) と \(-2\) があり、
\(\sqrt[\large 4]{16}\) は \(2\) となる
解法のPoint｜累乗根で表された数
\(\sqrt[\large 4]{16}\) は \(2\) となる
解法のPoint｜累乗根で表された数
２節 対数関数
p.178 問1\({\small (1)}~\log_{10}100=2\) \({\small (2)}~\log_{3}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,}=-2\) \({\small (3)}~\log_{5}\sqrt{5}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
解法のPoint｜対数の定義と指数への変換
解法のPoint｜対数の定義と指数への変換
p.179 問3\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\) \({\small (3)}~-3\)
解法のPoint｜対数の式の値
解法のPoint｜対数の式の値
p.180 問4\({\small [2]}~\)
\(\log_{a}M=p~,~\log_{a}N=q\) とすると、
\(M=a^p~,~N=a^q\)
\(N\neq0\) より、
\(\displaystyle \frac{\,M\,}{\,N\,}=\displaystyle \frac{\,a^p\,}{\,a^q\,}=a^{p-q}\)
対数の定義より、
\(\log_{a}\displaystyle \frac{\,M\,}{\,N\,}=p-q\)
したがって、
\(\log_{a}\displaystyle \frac{\,M\,}{\,N\,}=\log_{a}M-\log_{a}N\) [終]
解法のPoint｜対数の性質と和・差の計算
\(\log_{a}M=p~,~\log_{a}N=q\) とすると、
\(M=a^p~,~N=a^q\)
\(N\neq0\) より、
\(\displaystyle \frac{\,M\,}{\,N\,}=\displaystyle \frac{\,a^p\,}{\,a^q\,}=a^{p-q}\)
対数の定義より、
\(\log_{a}\displaystyle \frac{\,M\,}{\,N\,}=p-q\)
したがって、
\(\log_{a}\displaystyle \frac{\,M\,}{\,N\,}=\log_{a}M-\log_{a}N\) [終]
解法のPoint｜対数の性質と和・差の計算
p.180 問5\({\small [3]}~\)
\(\log_{a}M=p\) とすると、\(M=a^p\)
両辺を \(r\) 乗すると、
\(M^r=(a^p)^r=a^{pr}\)
ここで、\(\log_{a}\) を取ると
\(\log_{a}M^r=\log_{a}a^{pr}=pr\)
したがって、\(p\) を元に戻すと、
\(\log_{a}M^r=r\log_{a}M\) [終]
解法のPoint｜対数の性質と和・差の計算
\(\log_{a}M=p\) とすると、\(M=a^p\)
両辺を \(r\) 乗すると、
\(M^r=(a^p)^r=a^{pr}\)
ここで、\(\log_{a}\) を取ると
\(\log_{a}M^r=\log_{a}a^{pr}=pr\)
したがって、\(p\) を元に戻すと、
\(\log_{a}M^r=r\log_{a}M\) [終]
解法のPoint｜対数の性質と和・差の計算
p.180 問6\({\small (1)}~15\) \({\small (2)}~2\) \({\small (3)}~6\)
\({\small (4)}~2\) \({\small (5)}~2\) \({\small (6)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
解法のPoint｜対数の性質と和・差の計算
\({\small (4)}~2\) \({\small (5)}~2\) \({\small (6)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
解法のPoint｜対数の性質と和・差の計算
p.181 問7\({\small (1)}~3\) \({\small (2)}~1\) \({\small (3)}~2\) \({\small (4)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
解法のPoint｜対数の性質と和・差の計算
解法のPoint｜対数の性質と和・差の計算
p.181 問8\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\) \({\small (3)}~-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\)
解法のPoint｜底の変換公式を用いた計算
解法のPoint｜底の変換公式を用いた計算
p.185 問11\({\small (1)}~\log_{4}3 \lt \log_{4}7 \lt \log_{4}8\)
\({\small (2)}~\log_{\frac{1}{3}}10 \lt \log_{\frac{1}{3}}5 \lt \log_{\frac{1}{3}}0.1\)
解法のPoint｜対数関数の大小比較
\({\small (2)}~\log_{\frac{1}{3}}10 \lt \log_{\frac{1}{3}}5 \lt \log_{\frac{1}{3}}0.1\)
解法のPoint｜対数関数の大小比較
p.186 問12\({\small (1)}~x=66\) \({\small (2)}~x=-\displaystyle \frac{\,44\,}{\,9\,}\)
解法のPoint｜対数関数を含む方程式
解法のPoint｜対数関数を含む方程式
p.187 問14\({\small (1)}~4 \lt x \lt 13\) \({\small (2)}~-3 \lt x \lt -\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
解法のPoint｜対数関数を含む不等式
解法のPoint｜対数関数を含む不等式
Training
p.192 Training 12\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\)
解法のPoint｜底の変換公式を用いた計算
解法のPoint｜底の変換公式を用いた計算
p.192 Training 13\({\small (1)}~x\) 軸で対称
\({\small (2)}~y\) 軸方向に \(1\) 平行移動
\({\small (3)}~x\) 軸方向に \(-1\) 平行移動
解法のPoint｜対数関数のグラフの移動
\({\small (2)}~y\) 軸方向に \(1\) 平行移動
\({\small (3)}~x\) 軸方向に \(-1\) 平行移動
解法のPoint｜対数関数のグラフの移動
p.192 Training 14\({\small (1)}~\log_{3}8 \lt 2 \lt \log_{3}12\) \({\small (2)}~\log_{\frac{1}{2}}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \lt 2 \lt \log_{\frac{1}{2}}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\)
解法のPoint｜対数関数の大小比較
解法のPoint｜対数関数の大小比較
p.192 Training 15\({\small (1)}~x=2\)
解法のPoint｜対数関数を含む方程式
\({\small (2)}~x=2\)
解法のPoint｜2つの対数関数を含む方程式
解法のPoint｜対数関数を含む方程式
\({\small (2)}~x=2\)
解法のPoint｜2つの対数関数を含む方程式
p.192 Training 16\({\small (1)}~-1 \lt x \lt 4\) \({\small (2)}~x{\small ~≧~}2\)
解法のPoint｜対数関数を含む不等式
\({\small (3)}~x \gt 10\)
解法のPoint｜2つの対数関数を含む不等式
解法のPoint｜対数関数を含む不等式
\({\small (3)}~x \gt 10\)
解法のPoint｜2つの対数関数を含む不等式
p.192 Training 19\(\log_{2}x+\log_{2}(x-2)=3\) の真数条件は、
\(x \gt 0\) かつ \(x-2 \gt 0\) であり、\(x \gt 2\) となる
また、\(\log_{2}x(x-2)=3\) の真数条件は、
\(x(x-2) \gt 0\) であり、\(x \lt 0~,~2 \lt x\) となる
これより、解が異なる
解法のPoint｜2つの対数関数を含む方程式
\(x \gt 0\) かつ \(x-2 \gt 0\) であり、\(x \gt 2\) となる
また、\(\log_{2}x(x-2)=3\) の真数条件は、
\(x(x-2) \gt 0\) であり、\(x \lt 0~,~2 \lt x\) となる
これより、解が異なる
解法のPoint｜2つの対数関数を含む方程式
Level Up 指数関数・対数関数
p.194 Level Up 2\({\small (1)}~a+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,}+2\) \({\small (2)}~a^2-b^2\) \({\small (3)}~a-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,}\)
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p.194 Level Up 4\({\small (1)}~\sqrt[\large 3]{2} \lt \sqrt[\large 6]{5} \lt \sqrt[\large 4]{3}\)
\({\small (2)}~\sqrt[\large 3]{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}} \lt \sqrt[\large 4]{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}} \lt \sqrt[\large 6]{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,7\,}}\)
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\({\small (2)}~\sqrt[\large 3]{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}} \lt \sqrt[\large 4]{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}} \lt \sqrt[\large 6]{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,7\,}}\)
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p.194 Level Up 7\({\small (1)}~2p+q\) \({\small (2)}~1-p\) \({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,p+1\,}{\,q\,}\)
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p.195 Level Up 8\({\small (1)}~27\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,16\,}\) \({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,}\)
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p.195 Level Up 9\({\small (1)}~\)[証明] 右辺を底の変換公式を用いて底を \(a\) にすると、
（右辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\log_{a^2} b^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\log_a b^2\,}{\,\log_a a^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\log_a b\,}{\,2\log_a a\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\log_a b\,}{\,2 \cdot 1\,}
\\[5pt]~~~&=&\log_a b\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\log_a b=\log_{a^2} b^2\) [終]
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\({\small (2)}~\)[証明] 左辺の底を底の変換公式を用いて \(a\) にすると、
（左辺）
\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~&=&\log_a b \cdot \log_b c \cdot \log_c a
\\[5pt]~~~&=&\log_a b \cdot \displaystyle \frac{\,\log_a c\,}{\,\log_a b\,} \cdot \displaystyle \frac{\,\log_a a\,}{\,\log_a c\,}
\\[5pt]~~~&=&\cancel{\log_a b} \cdot \displaystyle \frac{\,\cancel{\log_a c}\,}{\,\cancel{\log_a b}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,\log_a a\,}{\,\cancel{\log_a c}\,}
\\[5pt]~~~&=&\log_a a
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\log_a b \cdot \log_b c \cdot \log_c a=1\) [終]
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（右辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\log_{a^2} b^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\log_a b^2\,}{\,\log_a a^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\log_a b\,}{\,2\log_a a\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\log_a b\,}{\,2 \cdot 1\,}
\\[5pt]~~~&=&\log_a b\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\log_a b=\log_{a^2} b^2\) [終]
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\({\small (2)}~\)[証明] 左辺の底を底の変換公式を用いて \(a\) にすると、
（左辺）
\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~&=&\log_a b \cdot \log_b c \cdot \log_c a
\\[5pt]~~~&=&\log_a b \cdot \displaystyle \frac{\,\log_a c\,}{\,\log_a b\,} \cdot \displaystyle \frac{\,\log_a a\,}{\,\log_a c\,}
\\[5pt]~~~&=&\cancel{\log_a b} \cdot \displaystyle \frac{\,\cancel{\log_a c}\,}{\,\cancel{\log_a b}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,\log_a a\,}{\,\cancel{\log_a c}\,}
\\[5pt]~~~&=&\log_a a
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\log_a b \cdot \log_b c \cdot \log_c a=1\) [終]
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p.195 Level Up 10\({\small (1)}~x=6\)
解法のPoint｜2つの対数関数を含む方程式
\({\small (2)}~2 \lt x{\small ~≦~}4\)
解法のPoint｜2つの対数関数を含む不等式
解法のPoint｜2つの対数関数を含む方程式
\({\small (2)}~2 \lt x{\small ~≦~}4\)
解法のPoint｜2つの対数関数を含む不等式
p.195 Level Up 13[証明] \(2^x=5^y=10^z\) の各辺は正より、
各辺の \(2\) を底とする対数をとると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_2 2^x&=&\log_2 5^y~=~\log_2 10^z
\\[5pt]~~~x&=&y\log_2 5~=~z\log_2 10\end{eqnarray}\)
\(x=y\log_2 5\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,x\,}{\,\log_2 5\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,}&=&\displaystyle \frac{\,\log_2 5\,}{\,x\,}\end{eqnarray}\)
また、\(x=z\log_2 10\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~z&=&\displaystyle \frac{\,x\,}{\,\log_2 10\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}&=&\displaystyle \frac{\,\log_2 10\,}{\,x\,}\end{eqnarray}\)
これより、
（左辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,\log_2 5\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+\log_2 5\,}{\,x\,}\end{eqnarray}\)
（右辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\log_2 10\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\log_2 (2 {\, \small \times \,} 5)\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\log_2 2+\log_2 5\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+\log_2 5\,}{\,x\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}\) [終]
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各辺の \(2\) を底とする対数をとると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_2 2^x&=&\log_2 5^y~=~\log_2 10^z
\\[5pt]~~~x&=&y\log_2 5~=~z\log_2 10\end{eqnarray}\)
\(x=y\log_2 5\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,x\,}{\,\log_2 5\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,}&=&\displaystyle \frac{\,\log_2 5\,}{\,x\,}\end{eqnarray}\)
また、\(x=z\log_2 10\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~z&=&\displaystyle \frac{\,x\,}{\,\log_2 10\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}&=&\displaystyle \frac{\,\log_2 10\,}{\,x\,}\end{eqnarray}\)
これより、
（左辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,\log_2 5\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+\log_2 5\,}{\,x\,}\end{eqnarray}\)
（右辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\log_2 10\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\log_2 (2 {\, \small \times \,} 5)\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\log_2 2+\log_2 5\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+\log_2 5\,}{\,x\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}\) [終]
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