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第１章 平面上のベクトル
第１節 ベクトルとその演算
p.7 練習1
\({\small (1)}~\)①と⑧、③と⑤と⑥
\({\small (2)}~\)①と⑧、②と⑦、③と④
\({\small (3)}~\)①と⑧
\({\small (4)}~\)⑤と⑥
→ ベクトルの基本
\({\small (1)}~\)①と⑧、③と⑤と⑥
\({\small (2)}~\)①と⑧、②と⑦、③と④
\({\small (3)}~\)①と⑧
\({\small (4)}~\)⑤と⑥
→ ベクトルの基本
p.9 練習3
[証明] \(\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BD}+\overrightarrow{\rm CA}\)
\(=(\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BD})+\overrightarrow{\rm CA}\)
\(=\overrightarrow{\rm AD}+\overrightarrow{\rm CA}\)
\(=\overrightarrow{\rm CA}+\overrightarrow{\rm AD}\)
\(=\overrightarrow{\rm CD}\) [終]
[証明] \(\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BD}+\overrightarrow{\rm CA}\)
\(=(\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BD})+\overrightarrow{\rm CA}\)
\(=\overrightarrow{\rm AD}+\overrightarrow{\rm CA}\)
\(=\overrightarrow{\rm CA}+\overrightarrow{\rm AD}\)
\(=\overrightarrow{\rm CD}\) [終]
p.10 練習4
[証明] \(\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BC}+\overrightarrow{\rm CA}\)
\(=(\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BC})+\overrightarrow{\rm CA}\)
\(=\overrightarrow{\rm AC}+\overrightarrow{\rm CA}\)
\(=\overrightarrow{\rm AA}\)
\(=\overrightarrow{0}\) [終]
→ ベクトルの等式証明
[証明] \(\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BC}+\overrightarrow{\rm CA}\)
\(=(\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BC})+\overrightarrow{\rm CA}\)
\(=\overrightarrow{\rm AC}+\overrightarrow{\rm CA}\)
\(=\overrightarrow{\rm AA}\)
\(=\overrightarrow{0}\) [終]
→ ベクトルの等式証明
p.11 練習6
\({\small (1)}~{\large \frac{1}{4}}\) \({\small (2)}~-2\) \({\small (3)}~-{\large \frac{1}{2}}\)
→ ベクトルの実数倍・加法・減法
\({\small (1)}~{\large \frac{1}{4}}\) \({\small (2)}~-2\) \({\small (3)}~-{\large \frac{1}{2}}\)
→ ベクトルの実数倍・加法・減法
p.11 練習7
\({\small (1)}~\)
\({\small (2)}~\)
\({\small (3)}~\)
\({\small (4)}~\)
\({\small (1)}~\)
\({\small (2)}~\)
\({\small (3)}~\)
\({\small (4)}~\)
p.13 練習9
\({\small (1)}~4\overrightarrow{e}~,~-4\overrightarrow{e}\)
\({\small (2)}~{\large \frac{1}{3}}\overrightarrow{a}\)
\({\small (1)}~4\overrightarrow{e}~,~-4\overrightarrow{e}\)
\({\small (2)}~{\large \frac{1}{3}}\overrightarrow{a}\)
p.14 練習10
\({\small (1)}~2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)
\({\small (2)}~-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\)
\({\small (3)}~-\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\)
→ ベクトルの分解（正六角形のベクトル）
\({\small (1)}~2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)
\({\small (2)}~-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\)
\({\small (3)}~-\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\)
→ ベクトルの分解（正六角形のベクトル）
p.16 練習11
\(\overrightarrow{b}=(-1,3)~,~|\overrightarrow{b}|=\sqrt{10}\)
\(\overrightarrow{c}=(-2,-2)~,~|\overrightarrow{c}|=2\sqrt{2}\)
\(\overrightarrow{d}=(3,-4)~,~|\overrightarrow{d}|=5\)
\(\overrightarrow{e}=(-1,0)~,~|\overrightarrow{e}|=1\)
→ ベクトルの成分と大きさ
\(\overrightarrow{b}=(-1,3)~,~|\overrightarrow{b}|=\sqrt{10}\)
\(\overrightarrow{c}=(-2,-2)~,~|\overrightarrow{c}|=2\sqrt{2}\)
\(\overrightarrow{d}=(3,-4)~,~|\overrightarrow{d}|=5\)
\(\overrightarrow{e}=(-1,0)~,~|\overrightarrow{e}|=1\)
→ ベクトルの成分と大きさ
p.17 練習12
\({\small (1)}~(-1,1)\)
\({\small (2)}~(12,-4)\)
\({\small (3)}~(24,-10)\)
\({\small (4)}~(-14,6)\)
\({\small (1)}~(-1,1)\)
\({\small (2)}~(12,-4)\)
\({\small (3)}~(24,-10)\)
\({\small (4)}~(-14,6)\)
p.18 練習15
\({\small (1)}~\overrightarrow{\rm AB}=(-4,4)~,~|\overrightarrow{\rm AB}|=4\sqrt{2}\)
\({\small (2)}~\overrightarrow{\rm AB}=(5,-4)~,~|\overrightarrow{\rm AB}|=\sqrt{41}\)
→ 点の座標とベクトルの成分
\({\small (1)}~\overrightarrow{\rm AB}=(-4,4)~,~|\overrightarrow{\rm AB}|=4\sqrt{2}\)
\({\small (2)}~\overrightarrow{\rm AB}=(5,-4)~,~|\overrightarrow{\rm AB}|=\sqrt{41}\)
→ 点の座標とベクトルの成分
p.19 練習17
\({\small (1)}~6\sqrt{2}\) \({\small (2)}~-18\sqrt{3}\)
\({\small (1)}~6\sqrt{2}\) \({\small (2)}~-18\sqrt{3}\)
p.22 練習20
\({\small (1)}~135^\circ\) \({\small (2)}~30^\circ\)
\({\small (3)}~90^\circ\) \({\small (4)}~180^\circ\)
→ ベクトルのなす角
\({\small (1)}~135^\circ\) \({\small (2)}~30^\circ\)
\({\small (3)}~90^\circ\) \({\small (4)}~180^\circ\)
→ ベクトルのなす角
p.23 練習21
\({\small (1)}~x=-8\) \({\small (2)}~x=2~,~-1\)
\({\small (1)}~x=-8\) \({\small (2)}~x=2~,~-1\)
p.23 練習22
\({\small (1)}~\)
\(\overrightarrow{b}=(\sqrt{2},-2\sqrt{2})~,~(-\sqrt{2},2\sqrt{2})\)
\({\small (2)}~\)
\(\overrightarrow{e}=\left({\large \frac{3}{5}},-{\large \frac{4}{5}}\right)~,~\left(-{\large \frac{3}{5}},{\large \frac{4}{5}}\right)\)
→ ベクトルの垂直条件
\({\small (1)}~\)
\(\overrightarrow{b}=(\sqrt{2},-2\sqrt{2})~,~(-\sqrt{2},2\sqrt{2})\)
\({\small (2)}~\)
\(\overrightarrow{e}=\left({\large \frac{3}{5}},-{\large \frac{4}{5}}\right)~,~\left(-{\large \frac{3}{5}},{\large \frac{4}{5}}\right)\)
→ ベクトルの垂直条件
p.23 練習23
\({\small (1)}~\)[証明]
\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=a_1a_2-a_2a_1=0\)
また、\(\overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0}\) より、\(a_1\neq0\) または \(a_2\neq0\)
よって、\(\overrightarrow{b}\neq\overrightarrow{0}\)
したがって、内積が \(0\) より \(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) は垂直である [終]
\({\small (2)}~\overrightarrow{e}=\left({\large \frac{2\sqrt{5}}{5}},-{\large \frac{\sqrt{5}}{5}}\right)\)
\(~,~\left(-{\large \frac{2\sqrt{5}}{5}},{\large \frac{\sqrt{5}}{5}}\right)\)
\({\small (1)}~\)[証明]
\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=a_1a_2-a_2a_1=0\)
また、\(\overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0}\) より、\(a_1\neq0\) または \(a_2\neq0\)
よって、\(\overrightarrow{b}\neq\overrightarrow{0}\)
したがって、内積が \(0\) より \(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) は垂直である [終]
\({\small (2)}~\overrightarrow{e}=\left({\large \frac{2\sqrt{5}}{5}},-{\large \frac{\sqrt{5}}{5}}\right)\)
\(~,~\left(-{\large \frac{2\sqrt{5}}{5}},{\large \frac{\sqrt{5}}{5}}\right)\)
p.24 練習24
\({\small (1)}~\)[証明]
(左辺)
\(=|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|^2\)
\(=(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b})\)
\(=\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b})+2\overrightarrow{b}(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b})\)
\(=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\)
\(+2\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}+4\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}\)
\(=|\overrightarrow{a}|^2+4\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+4|\overrightarrow{b}|^2\)
\(=\) (右辺)
したがって、
\(|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|^2=|\overrightarrow{a}|^2+4\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+4|\overrightarrow{b}|^2\) [終]
\({\small (2)}~\)[証明]
(左辺)
\(=(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\)
\(=\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})+\overrightarrow{b}(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\)
\(=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}\)
\(=|\overrightarrow{a}|^2-|\overrightarrow{b}|^2\)
\(=\) (右辺)
したがって、
\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})=|\overrightarrow{a}|^2-|\overrightarrow{b}|^2\)
[終]
→ 内積を用いた等式証明
\({\small (1)}~\)[証明]
(左辺)
\(=|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|^2\)
\(=(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b})\)
\(=\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b})+2\overrightarrow{b}(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b})\)
\(=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\)
\(+2\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}+4\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}\)
\(=|\overrightarrow{a}|^2+4\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+4|\overrightarrow{b}|^2\)
\(=\) (右辺)
したがって、
\(|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|^2=|\overrightarrow{a}|^2+4\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+4|\overrightarrow{b}|^2\) [終]
\({\small (2)}~\)[証明]
(左辺)
\(=(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\)
\(=\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})+\overrightarrow{b}(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\)
\(=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}\)
\(=|\overrightarrow{a}|^2-|\overrightarrow{b}|^2\)
\(=\) (右辺)
したがって、
\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})=|\overrightarrow{a}|^2-|\overrightarrow{b}|^2\)
[終]
→ 内積を用いた等式証明
p.25 練習26
\(60^\circ\)
\(60^\circ\)
問題
p.27 1
\({\small (1)}~\overrightarrow{x}=2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\)
\({\small (2)}~\overrightarrow{x}=-2\overrightarrow{a}-{\large \frac{10}{3}}\overrightarrow{b}\)
\({\small (1)}~\overrightarrow{x}=2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\)
\({\small (2)}~\overrightarrow{x}=-2\overrightarrow{a}-{\large \frac{10}{3}}\overrightarrow{b}\)
p.27 2
\({\small (1)}~-2\) \({\small (2)}~0\)
\({\small (3)}~6\) \({\small (4)}~-6\)
\({\small (1)}~-2\) \({\small (2)}~0\)
\({\small (3)}~6\) \({\small (4)}~-6\)
p.27 3
\({\small (1)}~\)[証明]
ベクトル \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}\) のなす角を \(\theta\) とすると、
\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\)
\(~\Leftrightarrow~\theta=0^\circ\) または \(\theta=180^\circ\)
\(~\Leftrightarrow~\cos{\theta}=1\) または \(\cos{\theta}=-1\)
\(~\Leftrightarrow~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\) または \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=-|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\)
よって、\(|\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\)
\(|\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}|≧0~,~|\overrightarrow{a}|≧0~,~|\overrightarrow{b}|≧0\) であるので、
\(|\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}|^2=|\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2\)
それぞれの成分より、
\((a_1b_1+a_2b_2)^2=(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)\)
展開して計算すると、
\((a_1b_2-a_2b_1)^2=0\)
よって、
\(a_1b_2-a_2b_1=0\)
したがって、\(\overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0}~,~\overrightarrow{b}\neq\overrightarrow{0}\) で、
\(\overrightarrow{a}=(a_1,a_2)~,~\overrightarrow{b}=(b_1,b_2)\) のとき、
\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}~\Leftrightarrow~a_1b_2-a_2b_1=0\) [終]
\({\small (2)}~x=-3\)
\({\small (1)}~\)[証明]
ベクトル \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}\) のなす角を \(\theta\) とすると、
\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\)
\(~\Leftrightarrow~\theta=0^\circ\) または \(\theta=180^\circ\)
\(~\Leftrightarrow~\cos{\theta}=1\) または \(\cos{\theta}=-1\)
\(~\Leftrightarrow~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\) または \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=-|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\)
よって、\(|\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\)
\(|\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}|≧0~,~|\overrightarrow{a}|≧0~,~|\overrightarrow{b}|≧0\) であるので、
\(|\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}|^2=|\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2\)
それぞれの成分より、
\((a_1b_1+a_2b_2)^2=(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)\)
展開して計算すると、
\((a_1b_2-a_2b_1)^2=0\)
よって、
\(a_1b_2-a_2b_1=0\)
したがって、\(\overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0}~,~\overrightarrow{b}\neq\overrightarrow{0}\) で、
\(\overrightarrow{a}=(a_1,a_2)~,~\overrightarrow{b}=(b_1,b_2)\) のとき、
\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}~\Leftrightarrow~a_1b_2-a_2b_1=0\) [終]
\({\small (2)}~x=-3\)
p.27 4
\({\small (1)}~\theta=150^\circ\) \({\small (2)}~{\large \frac{5}{9}}\)
\({\small (1)}~\theta=150^\circ\) \({\small (2)}~{\large \frac{5}{9}}\)
p.27 5
\({\small (1)}~5\sqrt{3}\) \({\small (2)}~{\large \frac{11}{2}}\)
\({\small (1)}~5\sqrt{3}\) \({\small (2)}~{\large \frac{11}{2}}\)
p.27 6
ア:\(5\) イ:\(1\) ウ:\(9\) エ:\(0\)
ア:\(5\) イ:\(1\) ウ:\(9\) エ:\(0\)
第２節 ベクトルと平面図形
p.28 練習27
\({\small (1)}~\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}\)
\({\small (2)}~\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}\)
\({\small (3)}~\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\)
\({\small (1)}~\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}\)
\({\small (2)}~\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}\)
\({\small (3)}~\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\)
p.30 練習28
\({\small (1)}~{\large \frac{3}{5}}\overrightarrow{a}+{\large \frac{2}{5}}\overrightarrow{b}\)
\({\small (2)}~{\large \frac{1}{4}}\overrightarrow{a}+{\large \frac{3}{4}}\overrightarrow{b}\)
\({\small (3)}~-{\large \frac{1}{3}}\overrightarrow{a}+{\large \frac{4}{3}}\overrightarrow{b}\)
\({\small (4)}~2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\)
→ 内分点・外分点の位置ベクトル
\({\small (1)}~{\large \frac{3}{5}}\overrightarrow{a}+{\large \frac{2}{5}}\overrightarrow{b}\)
\({\small (2)}~{\large \frac{1}{4}}\overrightarrow{a}+{\large \frac{3}{4}}\overrightarrow{b}\)
\({\small (3)}~-{\large \frac{1}{3}}\overrightarrow{a}+{\large \frac{4}{3}}\overrightarrow{b}\)
\({\small (4)}~2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\)
→ 内分点・外分点の位置ベクトル
p.31 練習29
\({\small (1)}~\overrightarrow{g’}={\large \frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3}}\)
\({\small (2)}~\)[証明] \({\rm G}\) の位置ベクトルが
\(\overrightarrow{g}={\large \frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3}}\)
であるので、
\(\overrightarrow{\rm GA}+\overrightarrow{\rm GB}+\overrightarrow{\rm GC}\)
\(=(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{g})+(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{g})+(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{g})\)
\(=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}-3\overrightarrow{g}\)
\(=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}-3\left({\large \frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3}}\right)\)
\(=\overrightarrow{0}\)
したがって、
\(\overrightarrow{\rm GA}+\overrightarrow{\rm GB}+\overrightarrow{\rm GC}=\overrightarrow{0}\) [終]
→ 重心の位置ベクトル
\({\small (1)}~\overrightarrow{g’}={\large \frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3}}\)
\({\small (2)}~\)[証明] \({\rm G}\) の位置ベクトルが
\(\overrightarrow{g}={\large \frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3}}\)
であるので、
\(\overrightarrow{\rm GA}+\overrightarrow{\rm GB}+\overrightarrow{\rm GC}\)
\(=(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{g})+(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{g})+(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{g})\)
\(=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}-3\overrightarrow{g}\)
\(=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}-3\left({\large \frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3}}\right)\)
\(=\overrightarrow{0}\)
したがって、
\(\overrightarrow{\rm GA}+\overrightarrow{\rm GB}+\overrightarrow{\rm GC}=\overrightarrow{0}\) [終]
→ 重心の位置ベクトル
p.32 練習30
[証明] \(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{c}\) とすると
点 \({\rm E}\) は辺 \({\rm BC}\) を \(3:1\) に内分するので、
\(\overrightarrow{\rm AE}={\large \frac{\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}}{3+1}}\)
\(={\large \frac{\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}}{4}}\)
また、\(\overrightarrow{\rm AD}={\large \frac{1}{3}}\overrightarrow{b}\) で、点 \({\rm F}\) は辺 \({\rm CD}\) の中点であるので、
\(\overrightarrow{\rm AF}={\large \frac{1}{2}}\left({\large \frac{1}{3}}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)\)
\(={\large \frac{\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}}{6}}\)
よって、
\(\overrightarrow{\rm AF}={\large \frac{\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}}{6}}={\large \frac{4}{6}}\cdot{\large \frac{\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}}{4}}\)
これより、
\(\overrightarrow{\rm AF}={\large \frac{2}{3}}\overrightarrow{\rm AE}\)
したがって、３点 \({\rm A~,~F~,~E}\) は一直線上にある [終]
→ ３点が同一直線上にある条件
[証明] \(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{c}\) とすると
点 \({\rm E}\) は辺 \({\rm BC}\) を \(3:1\) に内分するので、
\(\overrightarrow{\rm AE}={\large \frac{\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}}{3+1}}\)
\(={\large \frac{\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}}{4}}\)
また、\(\overrightarrow{\rm AD}={\large \frac{1}{3}}\overrightarrow{b}\) で、点 \({\rm F}\) は辺 \({\rm CD}\) の中点であるので、
\(\overrightarrow{\rm AF}={\large \frac{1}{2}}\left({\large \frac{1}{3}}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)\)
\(={\large \frac{\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}}{6}}\)
よって、
\(\overrightarrow{\rm AF}={\large \frac{\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}}{6}}={\large \frac{4}{6}}\cdot{\large \frac{\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}}{4}}\)
これより、
\(\overrightarrow{\rm AF}={\large \frac{2}{3}}\overrightarrow{\rm AE}\)
したがって、３点 \({\rm A~,~F~,~E}\) は一直線上にある [終]
→ ３点が同一直線上にある条件
p.33 練習31
\(\overrightarrow{\rm OP}={\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{a}+{\large \frac{1}{6}}\overrightarrow{b}\)
→ ２直線の交点とベクトル
\(\overrightarrow{\rm OP}={\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{a}+{\large \frac{1}{6}}\overrightarrow{b}\)
→ ２直線の交点とベクトル
p.34 練習32
[証明] \(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm AD}=\overrightarrow{d}\) とすると、\({\rm AB=AD}\) より \(|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{d}|\)
次に、
\(\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d}~,~\overrightarrow{\rm DB}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{d}\)
これより、
\(\overrightarrow{\rm AC}\cdot\overrightarrow{\rm DB}\)
\(=(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d})\cdot(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{d})\)
\(=|\overrightarrow{b}|^2-|\overrightarrow{d}|^2\)
\(=0\)
よって、\(\overrightarrow{\rm AC}\neq\overrightarrow{0}~,~\overrightarrow{\rm DB}\neq\overrightarrow{0}\) であるので、
\(\overrightarrow{\rm AC}\perp\overrightarrow{\rm DB}\)
よって、\({\rm AC\perp DB}\)
したがって、
\({\rm AB=AD}\) ならば \({\rm AC\perp DB}\) [終]
[証明] \(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm AD}=\overrightarrow{d}\) とすると、\({\rm AB=AD}\) より \(|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{d}|\)
次に、
\(\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d}~,~\overrightarrow{\rm DB}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{d}\)
これより、
\(\overrightarrow{\rm AC}\cdot\overrightarrow{\rm DB}\)
\(=(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d})\cdot(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{d})\)
\(=|\overrightarrow{b}|^2-|\overrightarrow{d}|^2\)
\(=0\)
よって、\(\overrightarrow{\rm AC}\neq\overrightarrow{0}~,~\overrightarrow{\rm DB}\neq\overrightarrow{0}\) であるので、
\(\overrightarrow{\rm AC}\perp\overrightarrow{\rm DB}\)
よって、\({\rm AC\perp DB}\)
したがって、
\({\rm AB=AD}\) ならば \({\rm AC\perp DB}\) [終]
p.37 練習34
\(\overrightarrow{\rm OA’}={\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{\rm OA}~,~\overrightarrow{\rm OB’}={\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{\rm OB}\) となる点を \({\rm A’~,~B’}\) とすると、線分 \({\rm A’B’}\)
→ ベクトルと点の存在範囲
\(\overrightarrow{\rm OA’}={\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{\rm OA}~,~\overrightarrow{\rm OB’}={\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{\rm OB}\) となる点を \({\rm A’~,~B’}\) とすると、線分 \({\rm A’B’}\)
→ ベクトルと点の存在範囲
p.38 練習35
\({\small (1)}~\)
\(\overrightarrow{\rm OA’}=2\overrightarrow{\rm OA}~,~\overrightarrow{\rm OB’}=2\overrightarrow{\rm OB}\) となる \({\rm A’~,~B’}\) とすると、\({\rm \triangle {\rm OA’B’}}\) の周と内部
\({\small (2)}~\)
\(\overrightarrow{\rm OA’}={\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{\rm OA}~,~\overrightarrow{\rm OB’}={\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{\rm OB}\) となる点を \({\rm A’~,~B’}\) とすると、\({\rm \triangle {\rm OA’B’}}\) の周と内部
→ ベクトルと点の存在範囲
\({\small (1)}~\)
\(\overrightarrow{\rm OA’}=2\overrightarrow{\rm OA}~,~\overrightarrow{\rm OB’}=2\overrightarrow{\rm OB}\) となる \({\rm A’~,~B’}\) とすると、\({\rm \triangle {\rm OA’B’}}\) の周と内部
\({\small (2)}~\)
\(\overrightarrow{\rm OA’}={\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{\rm OA}~,~\overrightarrow{\rm OB’}={\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{\rm OB}\) となる点を \({\rm A’~,~B’}\) とすると、\({\rm \triangle {\rm OA’B’}}\) の周と内部
→ ベクトルと点の存在範囲
p.40 練習37
\({\small (1)}~\)中心 \(\overrightarrow{a}\)、半径 \(3\)
\({\small (2)}~\)中心 \({\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{a}\)、半径 \(2\)
→ 円のベクトル方程式
\({\small (1)}~\)中心 \(\overrightarrow{a}\)、半径 \(3\)
\({\small (2)}~\)中心 \({\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{a}\)、半径 \(2\)
→ 円のベクトル方程式
p.40 練習38
(ⅰ) \({\rm P}\) が \({\rm O}\) に一致するとき、
\(\overrightarrow{p}=\overrightarrow{0}\)
よって、
\(\overrightarrow{p}\cdot(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})=0\)
(ⅱ) \({\rm P}\) が \({\rm A}\) に一致するとき、
\(\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}\)
よって、
\(\overrightarrow{p}\cdot(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})=0\)
(ⅲ) \({\rm P}\) が \({\rm O~,~A}\) に一致しないとき、
\({\rm OP\perp AP}~\Leftrightarrow~\overrightarrow{\rm OP}\cdot\overrightarrow{\rm AP}=0\)
よって、
\(\overrightarrow{p}\cdot(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})=0\)
したがって、このベクトル方程式は、
\(\overrightarrow{p}\cdot(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})=0\) [終]
→ 円のベクトル方程式
(ⅰ) \({\rm P}\) が \({\rm O}\) に一致するとき、
\(\overrightarrow{p}=\overrightarrow{0}\)
よって、
\(\overrightarrow{p}\cdot(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})=0\)
(ⅱ) \({\rm P}\) が \({\rm A}\) に一致するとき、
\(\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}\)
よって、
\(\overrightarrow{p}\cdot(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})=0\)
(ⅲ) \({\rm P}\) が \({\rm O~,~A}\) に一致しないとき、
\({\rm OP\perp AP}~\Leftrightarrow~\overrightarrow{\rm OP}\cdot\overrightarrow{\rm AP}=0\)
よって、
\(\overrightarrow{p}\cdot(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})=0\)
したがって、このベクトル方程式は、
\(\overrightarrow{p}\cdot(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})=0\) [終]
→ 円のベクトル方程式
問題
p.42 7
[証明] \(\overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{\rm OC}=\overrightarrow{c}\) とすると
\(\overrightarrow{\rm OD}={\large \frac{2}{3}}\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{\rm OE}={\large \frac{2}{3}}\overrightarrow{c}\)
よって、
\(\overrightarrow{\rm DE}=\overrightarrow{\rm OE}-\overrightarrow{\rm OD}={\large \frac{2}{3}}\overrightarrow{c}-{\large \frac{2}{3}}\overrightarrow{a}\)
次に、
\(\overrightarrow{\rm OF}={\large \frac{1}{3}}\overrightarrow{\rm OB}={\large \frac{1}{3}}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c})\)
これより、
\(\overrightarrow{\rm DF}=\overrightarrow{\rm OF}-\overrightarrow{\rm OD}={\large \frac{1}{3}}\overrightarrow{c}-{\large \frac{1}{3}}\overrightarrow{a}\)
よって、
\(\overrightarrow{\rm DE}=2\left({\large \frac{1}{3}}\overrightarrow{c}-{\large \frac{1}{3}}\overrightarrow{a}\right)\)
これより、
\(\overrightarrow{\rm DE}=2\overrightarrow{\rm DF}\)
したがって、３点 \({\rm D~,~F~,~E}\) は一直線上にある [終]
[証明] \(\overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{\rm OC}=\overrightarrow{c}\) とすると
\(\overrightarrow{\rm OD}={\large \frac{2}{3}}\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{\rm OE}={\large \frac{2}{3}}\overrightarrow{c}\)
よって、
\(\overrightarrow{\rm DE}=\overrightarrow{\rm OE}-\overrightarrow{\rm OD}={\large \frac{2}{3}}\overrightarrow{c}-{\large \frac{2}{3}}\overrightarrow{a}\)
次に、
\(\overrightarrow{\rm OF}={\large \frac{1}{3}}\overrightarrow{\rm OB}={\large \frac{1}{3}}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c})\)
これより、
\(\overrightarrow{\rm DF}=\overrightarrow{\rm OF}-\overrightarrow{\rm OD}={\large \frac{1}{3}}\overrightarrow{c}-{\large \frac{1}{3}}\overrightarrow{a}\)
よって、
\(\overrightarrow{\rm DE}=2\left({\large \frac{1}{3}}\overrightarrow{c}-{\large \frac{1}{3}}\overrightarrow{a}\right)\)
これより、
\(\overrightarrow{\rm DE}=2\overrightarrow{\rm DF}\)
したがって、３点 \({\rm D~,~F~,~E}\) は一直線上にある [終]
p.42 8
\(\overrightarrow{\rm OP}={\large \frac{1}{4}}\overrightarrow{a}+{\large \frac{3}{8}}\overrightarrow{b}\)
\(\overrightarrow{\rm OP}={\large \frac{1}{4}}\overrightarrow{a}+{\large \frac{3}{8}}\overrightarrow{b}\)
p.42 9
\(45^\circ\)
\(45^\circ\)
p.42 10
[証明]
(ⅰ) \({\rm A}\) と \({\rm P}\) が一致するとき、
\(\overrightarrow{\rm AP}=\overrightarrow{0}\)
よって、
\(\overrightarrow{\rm AP}\cdot\overrightarrow{\rm CA}=0\)
(ⅱ) \({\rm A}\) と \({\rm P}\) が一致しないとき、
\(\overrightarrow{\rm AP}\perp\overrightarrow{\rm CA}\)
よって、
\(\overrightarrow{\rm AP}\cdot\overrightarrow{\rm CA}=0\)
これらより、
\((\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})=0\) …①
次に、\(|\overrightarrow{\rm CA}|=r\) より、
\(|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}|^2=r^2\)
また、
\((\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})=r^2\) …②
よって、①＋②より
\((\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})\)
\(+(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})=r^2\)
\((\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})=r^2\)
\((\overrightarrow{p}-\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})=r^2\)
したがって、接線のベクトル方程式は、
\((\overrightarrow{p}-\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})=r^2\) [終]
[証明]
(ⅰ) \({\rm A}\) と \({\rm P}\) が一致するとき、
\(\overrightarrow{\rm AP}=\overrightarrow{0}\)
よって、
\(\overrightarrow{\rm AP}\cdot\overrightarrow{\rm CA}=0\)
(ⅱ) \({\rm A}\) と \({\rm P}\) が一致しないとき、
\(\overrightarrow{\rm AP}\perp\overrightarrow{\rm CA}\)
よって、
\(\overrightarrow{\rm AP}\cdot\overrightarrow{\rm CA}=0\)
これらより、
\((\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})=0\) …①
次に、\(|\overrightarrow{\rm CA}|=r\) より、
\(|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}|^2=r^2\)
また、
\((\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})=r^2\) …②
よって、①＋②より
\((\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})\)
\(+(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})=r^2\)
\((\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})=r^2\)
\((\overrightarrow{p}-\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})=r^2\)
したがって、接線のベクトル方程式は、
\((\overrightarrow{p}-\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})=r^2\) [終]
p.42 11
ア:\(3\) イ:\(8\) ウ:\(2\) エ:\(4\)
オ:\(7\) カ:\(1\)
ア:\(3\) イ:\(8\) ウ:\(2\) エ:\(4\)
オ:\(7\) カ:\(1\)
章末問題 平面上のベクトル
章末問題Ａ
p.43 1
\({\small (1)}~{\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{b}+{\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{d}\)
\({\small (2)}~-{\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{b}+{\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{d}\)
\({\small (3)}~-{\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{b}-{\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{d}\)
\({\small (1)}~{\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{b}+{\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{d}\)
\({\small (2)}~-{\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{b}+{\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{d}\)
\({\small (3)}~-{\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{b}-{\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{d}\)
p.43 2
\({\small (1)}~\)
最大値 \(2\)、最小値 \(-2\)
\({\small (2)}~\)
最大値 \(3\)、最小値 \(1\)
\({\small (1)}~\)
最大値 \(2\)、最小値 \(-2\)
\({\small (2)}~\)
最大値 \(3\)、最小値 \(1\)
p.43 3
\({\small (1)}~x=-{\large \frac{18}{19}}\) \({\small (2)}~x=2~,~-3\)
\({\small (1)}~x=-{\large \frac{18}{19}}\) \({\small (2)}~x=2~,~-3\)
p.43 4
\({\small (1)}~\)[証明] \({\rm G}\) は \(\triangle {\rm ABC}\) の重心であるので、
\(\overrightarrow{\rm OG}={\large \frac{\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm OB}+\overrightarrow{\rm OC}}{3}}\)
よって、
\(\overrightarrow{\rm OG}={\large \frac{1}{3}}\overrightarrow{\rm OH}\)
したがって、３点 \({\rm O~,~G~,~H}\) は同一直線上にある [終]
\({\small (2)}~\)[証明]
(ⅰ) \(\triangle {\rm ABC}\) が直角三角形であるとき、
\(\angle{\rm A}=90^\circ\) のとき、\({\rm BC}\) が外接円の直径となり \(\overrightarrow{\rm OB}=-\overrightarrow{\rm OC}\)
よって、
\(\overrightarrow{\rm OH}=\overrightarrow{\rm OA}\)
\({\rm H}\) と \({\rm A}\) は一致して \({\rm H}\) は \(\triangle {\rm ABC}\) の垂心となる
\(\angle{\rm B}=90^\circ~,~\angle{\rm C}=90^\circ\) の場合でも \({\rm H}\) は \(\triangle {\rm ABC}\) の垂心となる
(ⅱ) \(\triangle {\rm ABC}\) が直角三角形でないとき、
\(\overrightarrow{\rm AH}=\overrightarrow{\rm OH}-\overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{\rm OB}+\overrightarrow{\rm OC}\)
また、
\(\overrightarrow{\rm BC}=\overrightarrow{\rm OC}-\overrightarrow{\rm OB}\)
よって、
\(\overrightarrow{\rm AH}\cdot\overrightarrow{\rm BC}\)
\(=(\overrightarrow{\rm OB}+\overrightarrow{\rm OC})\cdot(\overrightarrow{\rm OC}-\overrightarrow{\rm OB})\)
\(=|\overrightarrow{\rm OC}|^2-|\overrightarrow{\rm OB}|^2\)
ここで、\({\rm OB~,~OC}\) は外接円の半径より、
\(=0\)
よって、\(\overrightarrow{\rm AH}\neq\overrightarrow{0}~,~\overrightarrow{\rm BC}\neq\overrightarrow{0}\) より
\({\rm AH\perp BC}\)
また、他でも同様に、
\({\rm BH\perp CA~,~CH\perp AB}\)
したがって、\({\rm H}\) は \(\triangle {\rm ABC}\) の垂心である [終]
\({\small (1)}~\)[証明] \({\rm G}\) は \(\triangle {\rm ABC}\) の重心であるので、
\(\overrightarrow{\rm OG}={\large \frac{\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm OB}+\overrightarrow{\rm OC}}{3}}\)
よって、
\(\overrightarrow{\rm OG}={\large \frac{1}{3}}\overrightarrow{\rm OH}\)
したがって、３点 \({\rm O~,~G~,~H}\) は同一直線上にある [終]
\({\small (2)}~\)[証明]
(ⅰ) \(\triangle {\rm ABC}\) が直角三角形であるとき、
\(\angle{\rm A}=90^\circ\) のとき、\({\rm BC}\) が外接円の直径となり \(\overrightarrow{\rm OB}=-\overrightarrow{\rm OC}\)
よって、
\(\overrightarrow{\rm OH}=\overrightarrow{\rm OA}\)
\({\rm H}\) と \({\rm A}\) は一致して \({\rm H}\) は \(\triangle {\rm ABC}\) の垂心となる
\(\angle{\rm B}=90^\circ~,~\angle{\rm C}=90^\circ\) の場合でも \({\rm H}\) は \(\triangle {\rm ABC}\) の垂心となる
(ⅱ) \(\triangle {\rm ABC}\) が直角三角形でないとき、
\(\overrightarrow{\rm AH}=\overrightarrow{\rm OH}-\overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{\rm OB}+\overrightarrow{\rm OC}\)
また、
\(\overrightarrow{\rm BC}=\overrightarrow{\rm OC}-\overrightarrow{\rm OB}\)
よって、
\(\overrightarrow{\rm AH}\cdot\overrightarrow{\rm BC}\)
\(=(\overrightarrow{\rm OB}+\overrightarrow{\rm OC})\cdot(\overrightarrow{\rm OC}-\overrightarrow{\rm OB})\)
\(=|\overrightarrow{\rm OC}|^2-|\overrightarrow{\rm OB}|^2\)
ここで、\({\rm OB~,~OC}\) は外接円の半径より、
\(=0\)
よって、\(\overrightarrow{\rm AH}\neq\overrightarrow{0}~,~\overrightarrow{\rm BC}\neq\overrightarrow{0}\) より
\({\rm AH\perp BC}\)
また、他でも同様に、
\({\rm BH\perp CA~,~CH\perp AB}\)
したがって、\({\rm H}\) は \(\triangle {\rm ABC}\) の垂心である [終]
p.43 5
\({\small (1)}~\overrightarrow{\rm AP}={\large \frac{1}{6}}\overrightarrow{b}+{\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{c}\)
\({\small (2)}~\)[証明] \(\overrightarrow{\rm AF}={\large \frac{3}{5}}\overrightarrow{c}\) より、
\(\overrightarrow{\rm BF}\)
\(=\overrightarrow{\rm AF}-\overrightarrow{\rm AB}\)
\(={\large \frac{3}{5}}\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}\)
\(={\large \frac{-5\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}}{5}}\)
次に、
\(\overrightarrow{\rm BP}\)
\(=\overrightarrow{\rm AP}-\overrightarrow{\rm AB}\)
\(={\large \frac{1}{6}}\overrightarrow{b}+{\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}\)
\(={\large \frac{-5\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}}{6}}\)
\(={\large \frac{5}{6}}\cdot{\large \frac{-5\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}}{5}}\)
よって、
\(\overrightarrow{\rm BP}={\large \frac{5}{6}}\overrightarrow{\rm BF}\)
したがって、３点 \({\rm B~,~P~,~F}\) は同一直線上にある [終]
\({\small (1)}~\overrightarrow{\rm AP}={\large \frac{1}{6}}\overrightarrow{b}+{\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{c}\)
\({\small (2)}~\)[証明] \(\overrightarrow{\rm AF}={\large \frac{3}{5}}\overrightarrow{c}\) より、
\(\overrightarrow{\rm BF}\)
\(=\overrightarrow{\rm AF}-\overrightarrow{\rm AB}\)
\(={\large \frac{3}{5}}\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}\)
\(={\large \frac{-5\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}}{5}}\)
次に、
\(\overrightarrow{\rm BP}\)
\(=\overrightarrow{\rm AP}-\overrightarrow{\rm AB}\)
\(={\large \frac{1}{6}}\overrightarrow{b}+{\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}\)
\(={\large \frac{-5\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}}{6}}\)
\(={\large \frac{5}{6}}\cdot{\large \frac{-5\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}}{5}}\)
よって、
\(\overrightarrow{\rm BP}={\large \frac{5}{6}}\overrightarrow{\rm BF}\)
したがって、３点 \({\rm B~,~P~,~F}\) は同一直線上にある [終]
p.43 6
\({\small (1)}~2\) \({\small (2)}~{\large \frac{3}{2}}\)
\(m={\large \frac{1}{2}}~,~n={\large \frac{1}{4}}\)
\({\small (1)}~2\) \({\small (2)}~{\large \frac{3}{2}}\)
\(m={\large \frac{1}{2}}~,~n={\large \frac{1}{4}}\)
章末問題Ｂ
p.44 7
\({\small (1)}~\)辺 \({\rm BC}\) を \(5:4\) に内分する点を \({\rm Q}\) として、\({\rm AQ}\) を \(3:1\) に内分する点
\({\small (2)}~3:4:5\)
\({\small (1)}~\)辺 \({\rm BC}\) を \(5:4\) に内分する点を \({\rm Q}\) として、\({\rm AQ}\) を \(3:1\) に内分する点
\({\small (2)}~3:4:5\)
p.44 8
\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{c}\) とすると、
\(\overrightarrow{\rm AM}={\large \frac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{2}}\)
これより、
\(|\overrightarrow{\rm AM}|^2={\large \frac{1}{4}}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\)
また、
\(\overrightarrow{\rm BM}={\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{\rm BC}={\large \frac{\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}}{2}}\)
これより、
\(|\overrightarrow{\rm BM}|^2={\large \frac{1}{4}}(\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b})\)
よって、
\(2({\rm AM}^2+{\rm BM}^2)\)
\(={\large \frac{1}{2}}(|\overrightarrow{b}|^2+2\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}+|\overrightarrow{c}|^2\)
\(+|\overrightarrow{c}|^2-2\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}+|\overrightarrow{b}|^2)\)
\(={\large \frac{1}{2}}(2|\overrightarrow{b}|^2+2|\overrightarrow{c}|^2)\)
\(=|\overrightarrow{b}|^2+|\overrightarrow{c}|^2\)
\(={\rm AB^2+AC^2}\)
したがって、
\(2({\rm AM}^2+{\rm BM}^2)={\rm AB^2+AC^2}\) [終]
\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{c}\) とすると、
\(\overrightarrow{\rm AM}={\large \frac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{2}}\)
これより、
\(|\overrightarrow{\rm AM}|^2={\large \frac{1}{4}}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\)
また、
\(\overrightarrow{\rm BM}={\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{\rm BC}={\large \frac{\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}}{2}}\)
これより、
\(|\overrightarrow{\rm BM}|^2={\large \frac{1}{4}}(\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b})\)
よって、
\(2({\rm AM}^2+{\rm BM}^2)\)
\(={\large \frac{1}{2}}(|\overrightarrow{b}|^2+2\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}+|\overrightarrow{c}|^2\)
\(+|\overrightarrow{c}|^2-2\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}+|\overrightarrow{b}|^2)\)
\(={\large \frac{1}{2}}(2|\overrightarrow{b}|^2+2|\overrightarrow{c}|^2)\)
\(=|\overrightarrow{b}|^2+|\overrightarrow{c}|^2\)
\(={\rm AB^2+AC^2}\)
したがって、
\(2({\rm AM}^2+{\rm BM}^2)={\rm AB^2+AC^2}\) [終]
p.44 9
\({\small (1)}~{\large \frac{6}{5}}\) \({\small (2)}~2:3\)
\({\small (1)}~{\large \frac{6}{5}}\) \({\small (2)}~2:3\)
p.44 10
\({\small (1)}~2\overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{\rm OB’}\) となる点 \({\rm B’}\) として、線分 \({\rm AB’}\)
\({\small (2)}~\overrightarrow{\rm OA’}={\large \frac{1}{3}}\overrightarrow{\rm OA}~,~\overrightarrow{\rm OB’}={\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{\rm OB}\) となる点を \({\rm A’~,~B’}\) とすると、\({\rm \triangle {\rm OA’B’}}\) の周と内部
\({\small (1)}~2\overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{\rm OB’}\) となる点 \({\rm B’}\) として、線分 \({\rm AB’}\)
\({\small (2)}~\overrightarrow{\rm OA’}={\large \frac{1}{3}}\overrightarrow{\rm OA}~,~\overrightarrow{\rm OB’}={\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{\rm OB}\) となる点を \({\rm A’~,~B’}\) とすると、\({\rm \triangle {\rm OA’B’}}\) の周と内部
p.44 11
\({\small (1)}~-{\large \frac{2}{5}}\)
\({\small (2)}~\left(-{\large \frac{1}{5}},{\large \frac{2}{5}}\right)~,~2\)
\({\small (1)}~-{\large \frac{2}{5}}\)
\({\small (2)}~\left(-{\large \frac{1}{5}},{\large \frac{2}{5}}\right)~,~2\)
p.44 12
\({\small (1)}~\)点 \({\rm O}\) を中心で線分 \({\rm OA}\) を半径とする円
\({\small (2)}~\)点 \({\rm O}\) を通り直線 \({\rm OA}\) に垂直な直線
\({\small (1)}~\)点 \({\rm O}\) を中心で線分 \({\rm OA}\) を半径とする円
\({\small (2)}~\)点 \({\rm O}\) を通り直線 \({\rm OA}\) に垂直な直線
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