【新課程】数研出版：数学Ⅱ[709]

p.125 練習1\({\small (1)}~\)

\({\small (2)}~\)

\({\small (3)}~\)

\({\small (4)}~\)

→ 動径と一般角

p.125 練習2$$~~~780^\circ~,~-300^\circ$$

p.127 練習3$${\small (1)}~{ \frac{\,\pi\,}{\,12\,}}$$$${\small (2)}~{ \frac{\,7\,}{\,6\,}}\pi$$$${\small (3)}~-{ \frac{\,4\,}{\,3\,}}\pi$$$${\small (4)}~{ \frac{\,7\,}{\,4\,}}\pi$$

p.127 練習4$${\small (1)}~225^\circ$$$${\small (2)}~288^\circ$$$${\small (3)}~-450^\circ$$$${\small (4)}~75^\circ$$

p.127 練習5$${\small (1)}~l={ \frac{\,4\,}{\,5\,}}\pi~,~S={ \frac{\,8\,}{\,5\,}}\pi$$$${\small (2)}~l=5\pi~,~S=15\pi$$→ 弧度法と扇形

p.129 練習6$${\small (1)}~\sin{{ \frac{\,11\,}{\,6\,}}\pi}=-{ \frac{\,1\,}{\,2\,}}$$$$~~~~~~\cos{{ \frac{\,11\,}{6}}\pi}={ \frac{\,\sqrt{3}\,}{2}}$$$$~~~~~~\tan{{ \frac{\,11\,}{6}}\pi}=-{ \frac{1}{\,\sqrt{3}\,}}$$$${\small (2)}~\sin{\left(-{ \frac{\,5\,}{4}}\pi\right)}={ \frac{1}{\,\sqrt{2}\,}}$$$$~~~~~~\cos{\left(-{ \frac{\,5\,}{4}}\pi\right)}=-{ \frac{1}{\,\sqrt{2}\,}}$$$$~~~~~~\tan{\left(-{ \frac{\,5\,}{4}}\pi\right)}=-1$$$${\small (3)}~\sin{{ \frac{\,10\,}{3}}\pi}=-{ \frac{\sqrt{3}}{2}}$$$$~~~~~~\cos{{ \frac{\,10\,}{3}}\pi}=-{ \frac{1}{2}}$$$$~~~~~~\tan{{ \frac{\,10\,}{3}}\pi}=\sqrt{3}$$$${\small (4)}~\sin{(-3\pi)}=0~,~\cos{(-3\pi)}=-1$$$$~~~~~~\tan{(-3\pi)}=0$$→ 三角関数の値（単位円）

p.130 練習7$$~~~~~~\sin{\theta}=-{ \frac{\,12\,}{13}}~,~\tan{\theta}=-{ \frac{\,12\,}{5}}$$

p.130 問1$$~~~\cos{\theta}={ \frac{1}{\,\sqrt{5}\,}}~,~\sin{\theta}=-{ \frac{2}{\,\sqrt{5}\,}}$$または$$~~~\cos{\theta}=-{ \frac{1}{\,\sqrt{5}\,}}~,~\sin{\theta}={ \frac{2}{\,\sqrt{5}\,}}$$

p.130 練習8$$~~~\cos{\theta}={ \frac{3}{\,\sqrt{10}\,}}~,~\sin{\theta}={ \frac{1}{\,\sqrt{10}\,}}$$または$$~~~\cos{\theta}=-{ \frac{3}{\,\sqrt{10}\,}}~,~\sin{\theta}=-{ \frac{1}{\,\sqrt{10}\,}}$$→ 三角関数の相互関係の公式

p.130 深める\(\sin{\theta}<0\) より、\(\theta\) の動径が第４象限にあり、$$~~~\cos{\theta}=\frac{\,4\,}{\,5\,}~,~\tan{\theta}=-\frac{\,3\,}{\,4\,}$$

p.131 練習9\({\small (1)}~\)[証明]
　(左辺)
\(=\sin^2{\theta}+2\sin{\theta}\cos{\theta}+\cos^2{\theta}\)
　　\(+\sin^2{\theta}-2\sin{\theta}\cos{\theta}+\cos^2{\theta}\)
\(=2(\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta})=2\)
したがって、
\((\sin{\theta}+\cos{\theta})^2\)
　　　　\(+(\sin{\theta}-\cos{\theta})^2=2\)
[終]
 
\({\small (2)}~\)[証明]
\(\tan{\theta}={\large \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}}\) より、
　(左辺)$$~=\frac{\sin^2{\theta}}{\cos^2{\theta}}+\left(1-\frac{\sin^4{\theta}}{\cos^4{\theta}}\right)\cos^2{\theta}$$$$~=\frac{\sin^2{\theta}}{\cos^2{\theta}}+\cos^2{\theta}-\frac{\sin^4{\theta}}{\cos^2{\theta}}$$$$~=\frac{\sin^2{\theta}(1-\sin^2{\theta})}{\cos^2{\theta}}+\cos^2{\theta}$$ここで、\(1-\sin^2{\theta}=\cos^2{\theta}\) より、$$~=\frac{\sin^2{\theta}\cos^2{\theta}}{\cos^2{\theta}}+\cos^2{\theta}$$$$~=\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=1$$したがって、
　\(\tan^2{\theta}+(1-\tan^4{\theta})\cos^2{\theta}=1\)
[終]
→ 三角関数の等式の証明

p.131 練習10$${\small (1)}~{ \frac{\,1-a^2\,}{2}}$$$${\small (2)}~{ \frac{\,a(3-a^2)\,}{2}}$$→ 三角関数の式の値

p.132 練習11$$~~~{ \frac{\,\sqrt{3}\,}{2}}~,~0~,~1$$

p.133 練習12$$~~~-{ \frac{1}{\,2\,}}~,~{ \frac{1}{\,\sqrt{2}\,}}~,~-\sqrt{3}$$

p.133 練習13$$~~~-{ \frac{1}{\,\sqrt{2}\,}}~,~-{ \frac{\,\sqrt{3}\,}{2}}~,~{ \frac{1}{\,\sqrt{3}\,}}$$→ 三角関数の性質①

p.134 問2公式３’
[証明]
　\(\sin{(\pi-\theta)}\)
\(=\sin{\{\pi+(-\theta)\}}\)
\(=-\sin{(-\theta)}=\sin{\theta}\)
 
　\(\cos{(\pi-\theta)}\)
\(=\cos{\{\pi+(-\theta)\}}\)
\(=-\cos{(-\theta)}=-\cos{\theta}\)
 
　\(\tan{(\pi-\theta)}\)
\(=\tan{\{\pi+(-\theta)\}}\)
\(=\tan{(-\theta)}=-\tan{\theta}\)
[終]
 
公式４’
[証明]
　\(\sin{\left({\large \frac{\,\pi\,}{2}}-\theta\right)}\)
\(=\sin{\left\{{\large \frac{\,\pi\,}{2}}+(-\theta)\right\}}\)
\(=\cos{(-\theta)}=\cos{\theta}\)
 
　\(\cos{\left({\large \frac{\,\pi\,}{2}}-\theta\right)}\)
\(=\cos{\left\{{\large \frac{\,\pi\,}{2}}+(-\theta)\right\}}\)
\(=-\sin{(-\theta)}=\sin{\theta}\)
 
　\(\tan{\left({\large \frac{\,\pi\,}{2}}-\theta\right)}\)
\(=\tan{\left\{{\large \frac{\,\pi\,}{2}}+(-\theta)\right\}}\)
\(=-{\large \frac{1}{\,\tan{(-\theta)\,}}}={\large \frac{1}{\,\tan{\theta}\,}}\)
[終]

p.134 練習14$$~~~-{ \frac{1}{\,2\,}}~,~{ \frac{1}{\,\sqrt{2}\,}}~,~-\sqrt{3}$$→ 三角関数の性質②

p.138 練習15\({\small (1)}~\)周期 \(2\pi\)

\({\small (2)}~\)周期 \(2\pi\)

\({\small (3)}~\)周期 \(\pi\)

→ 三角関数のグラフ①
→ 三角関数のグラフ②（縦幅の変化）

p.139 練習16\({\small (1)}~\)周期 \(2\pi\)

\({\small (2)}~\)周期 \(2\pi\)

\({\small (3)}~\)周期 \(\pi\)

→ 三角関数のグラフ④（平行移動）

p.140 練習17\({\small (1)}~\)周期 \({\large \frac{2}{\,3\,}}\pi\)

\({\small (2)}~\)周期 \(4\pi\)

\({\small (3)}~\)周期 \({\large \frac{\,\pi\,}{2}}\)

→ 三角関数のグラフ③（周期の変化）

p.140 練習18\({\small (1)}~\)周期 \(\pi\)

\({\small (2)}~\)周期 \(4\pi\)

→ 三角関数のグラフ⑤（式変形）

p.141 練習19$${\small (1)}~\theta={ \frac{\,\pi\,}{6}}~,~{ \frac{5}{\,6\,}}\pi$$　\(n\) を整数として、$$~~~~~~\theta={ \frac{\,\pi\,}{6}}+2n\pi~,~{ \frac{5}{\,6\,}}\pi+2n\pi$$$${\small (2)}~\theta={ \frac{5}{\,6\,}}\pi~,~{ \frac{\,7\,}{6}}\pi$$　\(n\) を整数として、$$~~~~~~\theta={ \frac{5}{\,6\,}}\pi+2n\pi~,~{ \frac{\,7\,}{6}}\pi+2n\pi$$

p.141 問3[証明]

図の単位円より、求める \(\theta\) の値は動径の表す角であり、 \(0≦\theta<2\pi\) の範囲では、
　\(\theta={\large \frac{\,\pi\,}{3}}~,~{\large \frac{\,4\,}{3}}\pi\)
よって、\(\theta\) に制限がないときは周期 \(\pi\) の間隔で値をとる
したがって、求める解は整数 \(n\) を用いて、
　\(\theta={\large \frac{\,\pi\,}{3}}+n\pi\) [終]

p.141 練習20$$~~~\theta={ \frac{\,\pi\,}{4}}~,~{ \frac{\,5\,}{4}}\pi$$　\(n\) を整数として、$$~~~\theta={ \frac{\,\pi\,}{4}}+n\pi$$→ 三角関数を含む方程式①

p.142 練習21$${\small (1)}~{ \frac{\,4\,}{3}}\pi<\theta<{ \frac{\,5\,}{3}}\pi$$$${\small (2)}~0≦\theta≦{ \frac{\,\pi\,}{4}}~,~{ \frac{\,7\,}{4}}\pi≦\theta<2\pi$$

p.142 問4$$~~~0≦\theta<{ \frac{\,\pi\,}{3}}~,~{ \frac{\,\pi\,}{2}}<\theta<{ \frac{\,4\,}{3}}\pi$$$$~~~{ \frac{\,3\,}{2}}\pi<\theta<2\pi$$

p.142 練習22$$~~~{ \frac{\,\pi\,}{4}}≦\theta<{ \frac{\,\pi\,}{2}}~,~{ \frac{\,5\,}{4}}\pi≦\theta<{ \frac{\,3\,}{2}}\pi$$→ 三角関数を含む不等式①

p.143 練習23$${\small (1)}~\theta={ \frac{\,\pi\,}{6}}~,~{ \frac{\,\pi\,}{2}}$$$${\small (2)}~\theta={ \frac{\,13\,}{12}}\pi~,~{ \frac{\,19\,}{12}}\pi$$$${\small (3)}~\theta={ \frac{7}{\,12\,}}\pi~,~{ \frac{\,23\,}{12}}\pi$$$${\small (4)}~\theta={ \frac{\pi}{\,12\,}}~,~{ \frac{\,13\,}{12}}\pi$$→ 三角関数を含む方程式②（範囲変化）

p.143 問5$$~~~0≦\theta≦{ \frac{5}{\,12\,}}\pi~,~{ \frac{\,23\,}{12}}\pi≦\theta<2\pi$$

p.143 練習24$${\small (1)}~0≦\theta≦{ \frac{\,\pi\,}{6}}~,~{ \frac{\,3\,}{2}}\pi≦\theta<2\pi$$$${\small (2)}~0≦\theta<{ \frac{7}{\,12\,}}\pi~,~{ \frac{11}{\,12\,}}\pi<\theta<2\pi$$$${\small (3)}~{ \frac{\pi}{\,12\,}}<\theta<{ \frac{\,\pi\,}{4}}~,~{ \frac{\,13\,}{12}}\pi<\theta<{ \frac{\,5\,}{4}}\pi$$→ 三角関数を含む不等式②（範囲変化）

p.144 練習25\(\theta={\large \frac{2}{\,3\,}}\pi~,~{\large \frac{\,4\,}{3}}\pi\) で最大値 \({\large \frac{\,5\,}{4}}\)
\(\theta=0\) で最大値 \(-1\)
→ 三角関数を含む２次関数

p.145 問題2\({\small (1)}~\)[証明]
　(左辺)
\(=\sin^2{\theta}(1-\sin^2{\theta})\)
\(=(1-\cos^2{\theta})\cos^2{\theta}\)
\(=\cos^2{\theta}-\cos^4{\theta}\)
したがって、
\(\sin^2{\theta}-\sin^4{\theta}\)
　\(=\cos^2{\theta}-\cos^4{\theta}\)
[終]
 
\({\small (2)}~\)[証明]
　(左辺)$$=\frac{1}{\,\sin{\theta}\,}\cdot\frac{\,\sin{\theta}\,}{\cos{\theta}}-\sin{\theta}\cdot\frac{\cos{\theta}}{\,\sin{\theta}\,}$$$$=\frac{1}{\,\cos{\theta}\,}-\cos{\theta}$$$$=\frac{\,1-\cos^2{\theta}\,}{\cos{\theta}}$$$$=\frac{\,\sin^2{\theta}\,}{\cos{\theta}}$$$$=\sin{\theta}\tan{\theta}$$したがって、$$\frac{\,\tan{\theta}\,}{\sin{\theta}}-\frac{\,\sin{\theta}\,}{\tan{\theta}}=\sin{\theta}\tan{\theta}$$[終]

p.145 問題3\({\small (1)}~\)周期 \(\pi\)

\({\small (2)}~\)周期 \(4\pi\)

\({\small (3)}~\)周期 \(4\pi\)

p.148 練習26$${\small (1)}~{ \frac{\,\sqrt{6}-\sqrt{2}\,}{4}}$$$${\small (2)}~{ \frac{\,\sqrt{6}-\sqrt{2}\,}{4}}$$$${\small (3)}~{ \frac{\,\sqrt{6}+\sqrt{2}\,}{4}}$$$${\small (4)}~{ \frac{\,\sqrt{6}-\sqrt{2}\,}{4}}$$

p.148 練習27$$~~~\sin{{ \frac{7}{\,12\,}}\pi}={ \frac{\,\sqrt{6}+\sqrt{2}\,}{4}}$$$$~~~\cos{{ \frac{7}{\,12\,}}\pi}={ \frac{\,\sqrt{2}-\sqrt{6}\,}{4}}$$→ 加法定理

p.148 練習28$${\small (1)}~-{ \frac{\,6+4\sqrt{5}\,}{15}}$$$${\small (2)}~-{ \frac{\,3\sqrt{5}+8\,}{15}}$$→ 加法定理と式の値

p.149 練習29$${\small (1)}~2-\sqrt{3}$$$${\small (2)}~-2-\sqrt{3}$$$${\small (3)}~-2+\sqrt{3}$$

p.149 練習30$${\small (1)}~-1$$$${\small (2)}~{ \frac{\,3\,}{\,4\,}}\pi$$→ 加法定理と式の値

p.150 練習31$${\small (1)}~{ \frac{\,\pi\,}{3}}$$$${\small (2)}~{ \frac{\,\pi\,}{4}}$$→ ２直線のなす角

p.150 深める$$~~~\frac{\,\pi\,}{\,2\,}$$

p.151 研究 練習1$$~~~\left({ \frac{1}{\,\sqrt{2}\,}}~,~{ \frac{5}{\,\sqrt{2}\,}}\right)$$

p.152 練習32$${\small (1)}~-{ \frac{\,4\sqrt{5}\,}{9}}$$$${\small (2)}~-{ \frac{1}{\,9\,}}$$$${\small (3)}~4\sqrt{5}$$→ ２倍角の公式

p.152 問6\({\small (1)}~\) [証明]
\(~~~~~\sin{3\alpha}\)
\(=\sin{(2\alpha+\alpha)}\)
\(=\sin{2\alpha}\cos{\alpha}+\cos{2\alpha}\sin{\alpha}\)
\(=2\sin{\alpha}\cos^2{\alpha}+(1-2\sin^2{\alpha})\sin{\alpha}\)
\(=2\sin{\alpha}(1-\sin^2{\alpha})+\sin{\alpha}-2\sin^3{\alpha}\)
\(=3\sin{\alpha}-4\sin^3{\alpha}\)
したがって、
\(\sin{3\alpha}=3\sin{\alpha}-4\sin^3{\alpha}\)　[終]
 
\({\small (2)}~\) [証明]
\(~~~~~\cos{3\alpha}\)
\(=\cos{(2\alpha+\alpha)}\)
\(=\cos{2\alpha}\cos{\alpha}-\sin{2\alpha}\sin{\alpha}\)
\(=(2\cos^2{\alpha}-1)\cos{\alpha}-2\sin^2{\alpha}\cos{\alpha}\)
\(=2\cos^3{\alpha}-\cos{\alpha}-2(1-\cos^2{\alpha})\cos{\alpha}\)
\(=4\cos^3{\alpha}-3\cos{\alpha}\)
したがって、
\(\cos{3\alpha}=4\cos^3{\alpha}-3\cos{\alpha}\) [終]

p.153 練習33\({\small (1)}~\)[証明]
　(左辺)
\(=\sin^2{\theta}+2\sin{\theta}\cos{\theta}+\cos^2{\theta}\)
\(=1+2\sin{\theta}\cos{\theta}\)
　(右辺)
\(=1+2\sin{\theta}\cos{\theta}\)
したがって、
\((\sin{\theta}+\cos{\theta})^2=1+\sin{2\theta}\)
[終]
 
\({\small (2)}~\)[証明]
　(左辺)
\(=(\cos^2{\theta}+\sin^2{\theta})(\cos^2{\theta}-\sin^2{\theta})\)
\(=\cos^2{\theta}-\sin^2{\theta}\)
　(右辺)
\(=\cos^2{\theta}-\sin^2{\theta}\)
したがって、
\(\cos^4{\theta}-\sin^4{\theta}=\cos{2\theta}\)
[終]

p.153 練習34$$~~~{ \frac{\sqrt{\,2+\sqrt{2}\,}}{2}}~,~\sqrt{2}-1$$

p.153 練習35$${\small (1)}~{ \frac{3}{\,\sqrt{10}\,}}$$$${\small (2)}~{ \frac{1}{\,\sqrt{10}\,}}$$$${\small (3)}~3$$→ 半角の公式

p.154 練習36$${\small (1)}~x={ \frac{\,\pi\,}{6}}~,~{ \frac{5}{\,6\,}}\pi$$$${\small (2)}~x=0~,~{ \frac{\,\pi\,}{3}}~,~\pi~,~{ \frac{\,5\,}{3}}\pi$$$${\small (3)}~{ \frac{\,\pi\,}{6}}≦x≦{ \frac{5}{\,6\,}}\pi$$$${\small (4)}~0<x<{ \frac{2}{\,3\,}}\pi~,~{ \frac{\,4\,}{3}}\pi<x<2\pi$$→ ２倍角を含む方程式・不等式

p.155 発展 練習1$${\small (1)}~{ \frac{1}{\,2\,}}(\sin{6\theta}+\sin{2\theta})$$$${\small (2)}~{ \frac{1}{\,2\,}}(\cos{4\theta}+\cos{2\theta})$$$${\small (3)}~-{ \frac{1}{\,2\,}}(\cos{4\theta}-\cos{2\theta})$$

p.155 発展 練習2$${\small (1)}~{ \frac{\,\sqrt{3}+1\,}{4}}$$$${\small (2)}~{ \frac{\,\sqrt{3}-1\,}{4}}$$$${\small (3)}~{ \frac{1}{\,4\,}}$$

p.156 発展 練習3$${\small (1)}~2\sin{4\theta}\cos{\theta}$$$${\small (2)}~2\cos{2\theta}\cos{\theta}$$$${\small (3)}~2\sin{4\theta}\sin{\theta}$$

p.156 発展 練習4$${\small (1)}~{ \frac{1}{\,\sqrt{2}\,}}$$$${\small (2)}~{ \frac{\,\sqrt{6}\,}{2}}$$$${\small (3)}~-{ \frac{1}{\,\sqrt{2}\,}}$$

p.156 発展 練習5$$~~~x=0~,~{ \frac{\,\pi\,}{2}}~,~\pi~,~{ \frac{\,3\,}{2}}\pi$$

p.157 練習37$${\small (1)}~2\sin{\left(\theta+{ \frac{\,\pi\,}{6}}\right)}$$$${\small (2)}~\sqrt{2}\sin{\left(\theta-{ \frac{\,\pi\,}{4}}\right)}$$→ 三角関数の合成

p.158 練習38$${\small (1)}~x=\pi~,~{ \frac{\,3\,}{2}}\pi$$$${\small (2)}~x={ \frac{\,\pi\,}{2}}~,~{ \frac{5}{\,6\,}}\pi$$

p.158 問7$$~~~{ \frac{\,\pi\,}{2}}<x<{ \frac{\,7\,}{6}}\pi$$

p.158 練習39$${\small (1)}~{ \frac{\,\pi\,}{2}}<x<{ \frac{\,11\,}{6}}\pi$$$${\small (2)}~0≦x≦{ \frac{5}{\,12\,}}\pi~,~{ \frac{11}{\,12\,}}\pi≦x<2\pi$$→ 合成を用いる方程式と不等式

p.159 練習40\(x={\large \frac{2}{\,3\,}}\pi\) のとき最大値 \(2\)
\(x={\large \frac{\,5\,}{3}}\pi\) のとき最大値 \(-2\)

p.159 問8　最大値 \(\sqrt{5}\)、最小値 \(-\sqrt{5}\)

p.159 練習41　最大値 \(5\)、最小値 \(-5\)
→ 三角関数の最大値・最小値

p.160 問題 8[証明]
　(右辺)$$~=\frac{\,\sin{(\alpha-\beta)}\,}{\sin{(\alpha-\beta)}}$$$$~=\frac{\,\sin{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\beta}\sin{\alpha}\,}{\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\beta}\sin{\alpha}}$$分母分子を \(\cos{\alpha}\cos{\beta}\) で割ると、$$~=\frac{\,{\large \frac{\,\sin{\alpha}\,}{\cos{\alpha}}}-{\large \frac{\,\sin{\beta}\,}{\cos{\beta}}}\,}{{\large \frac{\,\sin{\alpha}\,}{\cos{\alpha}}}+{\large \frac{\,\sin{\beta}\,}{\cos{\beta}}}}$$$$~=\frac{\,\tan{\alpha}-\tan{\beta}\,}{\tan{\alpha}+\tan{\beta}}$$したがって、$$~\frac{\,\tan{\alpha}-\tan{\beta}\,}{\tan{\alpha}+\tan{\beta}}=\frac{\,\sin{(\alpha-\beta)}\,}{\sin{(\alpha-\beta)}}$$[終]

p.153 14\(\sin{x}=1~,~\cos{x}=1\) を同時に満たす \(x\) は存在しないので、\(y\) の最大値は \(2\) とならない
また、最小値でも同様に考える

p.161 演習問題Ａ 3\({\small (1)}~\)周期 \(\pi\)

\({\small (2)}~\)周期 \(\pi\)

\({\small (3)}~\)周期 \(\pi\)

p.161 演習問題Ｂ 6\({\small (1)}~\)[証明]
\(t=\tan{{\large \frac{\,\theta\,}{2}}}\) であることより、$$~~~1+t^2=\frac{1}{\cos{{\large \frac{\,\theta\,}{2}}}}$$$$~\Leftrightarrow~\frac{1}{\,1+t^2\,}=\cos^2{\frac{\,\theta\,}{2}}$$これより、
　(右辺)$$=\left(1-\tan^2{\frac{\,\theta\,}{2}}\right)\cos^2{\frac{\,\theta\,}{2}}$$$$=\left(1-\frac{\,\sin^2{{\large \frac{\,\theta\,}{2}}}\,}{\cos^2{{\large \frac{\,\theta\,}{2}}}}\right)\cos^2{\frac{\,\theta\,}{2}}$$$$=\cos^2{\frac{\,\theta\,}{2}}-\sin^2{\frac{\,\theta\,}{2}}$$\(\cos{\theta}\) の２倍角の公式より、$$=\cos{\theta}$$したがって、$$~~~\cos{\theta}=\frac{\,1-t^2\,}{1+t^2}$$[終]
 
\({\small (2)}~\)[証明]
　(右辺)$$=\frac{2\tan{{\large \frac{\,\theta\,}{2}}}}{1-\tan^2{{\large \frac{\,\theta\,}{2}}}}$$\(\tan{\theta}\) の２倍角の公式より、$$=\tan{\theta}$$したがって、$$~~~\tan{\theta}=\frac{2t}{\,1-t^2\,}$$[終]
 
\({\small (3)}~\)[証明]
　(右辺)$$=2\tan{\frac{\,\theta\,}{2}}\cos^2{\frac{\,\theta\,}{2}}$$$$=2\cdot \frac{\,\sin{{\large \frac{\,\theta\,}{2}}}\,}{\cos{{\large \frac{\,\theta\,}{2}}}}\cdot \cos^2{\frac{\,\theta\,}{2}}$$$$=2\sin{\frac{\,\theta\,}{2}}\cos{\frac{\,\theta\,}{2}}$$\(\sin{\theta}\) の２倍角の公式より、$$=\sin{\theta}$$したがって、$$~~~\sin{\theta}=\frac{2t}{\,1+t^2\,}$$[終]