共通テスト数学ⅠA｜場合の数と確率の基本問題24問【PDF・解説つき】

73 数学IA【解答】

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\({\small (1)}~\)\(20\) 個
\({\small (2)}~\)\(9\) 本

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【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)\(6\) 個の頂点から \(3\) 個を選んで結ぶと三角形が \(1\) つできる

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\(6\) 個のものから \(3\) 個を選ぶ組合せより、

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\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~{}_6{\rm C}_3&=&\displaystyle \frac{\,6 \cdot 5 \cdot 4\,}{\,3 \cdot 2 \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cancel{6} \cdot 5 \cdot 4\,}{\,\cancel{3} \cdot \cancel{2} \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&5 \cdot 4\\[3pt]~~~&=&20\end{eqnarray}\)

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したがって、できる三角形は \(20\) 個となる

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\({\small (2)}~\)\(6\) 個の頂点から \(2\) 個を選んで結ぶと線分が \(1\) 本できる

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\(6\) 個のものから \(2\) 個を選ぶ組合せより、

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\(\begin{eqnarray}~~~{}_6{\rm C}_2&=&\displaystyle \frac{\,6 \cdot 5\,}{\,2 \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cancel{6}^3 \cdot 5\,}{\,\cancel{2} \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&3 \cdot 5\\[3pt]~~~&=&15\end{eqnarray}\)

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ただし、これは \(6\) 本の辺も含んでいるので、対角線の本数は、

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　\(15-6=9\)

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したがって、\(9\) 本となる