共通テスト数学ⅠA｜場合の数と確率の基本問題24問【PDF・解説つき】

76 数学IA【解答】

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\({\small (1)}~\)\(1680\) 通り
\({\small (2)}~\)\(280\) 通り
\({\small (3)}~\)\(1260\) 通り
\({\small (4)}~\)\(378\) 通り

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【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)\(9\) 人を区別のある部屋 \({\rm A}~,~{\rm B}~,~{\rm C}\) に \(3\) 人ずつ入れるので、

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　\(\begin{array}{ccc}
{\rm A} & {\rm B} & {\rm C}
\\[-3pt]\boxed{\,3人\,} & \boxed{\,3人\,} & \boxed{\,3人\,}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]{}_9{\rm C}_3 & {}_6{\rm C}_3 & {}_3{\rm C}_3
\end{array}\)

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　\(9\) 人中 \(3\) 人を \({\rm A}\) に入れる組合せは \({}_9{\rm C}_3\)
　残り \(6\) 人中 \(3\) 人を \({\rm B}\) に入れる組合せは \({}_6{\rm C}_3\)
　残り \(3\) 人を すべて \({\rm C}\) に入れる組合せは \({}_3{\rm C}_3\)

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これらは同時に起こる（連続して起こる）ので、積の法則より、

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\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~&&{}_9{\rm C}_3{\, \small \times \,}{}_6{\rm C}_3{\, \small \times \,}{}_3{\rm C}_3\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9 \cdot 8 \cdot 7\,}{\,3 \cdot 2 \cdot 1\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,6 \cdot 5 \cdot 4\,}{\,3 \cdot 2 \cdot 1\,}{\, \small \times \,}1\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cancel{9}^3 \cdot \cancel{8}^4 \cdot 7\,}{\,\cancel{3} \cdot \cancel{2} \cdot 1\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\cancel{6} \cdot 5 \cdot 4\,}{\,\cancel{3} \cdot \cancel{2} \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&3 \cdot 4 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 4\\[3pt]~~~&=&1680\end{eqnarray}\)

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したがって、\(1680\) 通りとなる

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\({\small (2)}~\)\(3\) 人ずつ \(3\) 組に分ける方法は、

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　\(\begin{array}{ccc}
\boxed{\,3人\,} & \boxed{\,3人\,} & \boxed{\,3人\,}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]{}_9{\rm C}_3 & {}_6{\rm C}_3 & {}_3{\rm C}_3
\end{array}\)

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どの組にも \({\rm A}~,~{\rm B}~,~{\rm C}\) の区別がないので、\({\small (1)}\) の \(1680\) 通りの中には、同じ分け方が \(3!\) 通りずつ含まれる

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※ 部屋の名前 \({\rm A}~,~{\rm B}~,~{\rm C}\) の並べ替え \(3!=6\) 通りが、同じ分け方として重複して数えられている。

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よって、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1680\,}{\,3!\,}&=&\displaystyle \frac{\,1680\,}{\,6\,}\\[5pt]~~~&=&280\end{eqnarray}\)

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したがって、\(280\) 通りとなる

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\({\small (3)}~\)\(4\) 人、\(3\) 人、\(2\) 人に分けるとき、人数の異なるグループでの区別ができているので、

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　\(\begin{array}{ccc}
\boxed{\,4人\,} & \boxed{\,3人\,} & \boxed{\,2人\,}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]{}_9{\rm C}_4 & {}_5{\rm C}_3 & {}_2{\rm C}_2
\end{array}\)

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　\(9\) 人中 \(4\) 人を \(1\) 組にする組合せは \({}_9{\rm C}_4\)
　残り \(5\) 人中 \(3\) 人を \(1\) 組にする組合せは \({}_5{\rm C}_3\)
　残り \(2\) 人をすべて \(1\) 組にする組合せは \({}_2{\rm C}_2\)

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これらは同時に起こる（連続して起こる）ので、積の法則より、

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\(\begin{eqnarray}~~~&&{}_9{\rm C}_4{\, \small \times \,}{}_5{\rm C}_3{\, \small \times \,}{}_2{\rm C}_2\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6\,}{\,4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,5 \cdot 4 \cdot 3\,}{\,3 \cdot 2 \cdot 1\,}{\, \small \times \,}1\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9 \cdot \cancel{8}^2 \cdot 7 \cdot \cancel{6}\,}{\,\cancel{4} \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{2} \cdot 1\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,5 \cdot \cancel{4}^2 \cdot \cancel{3}\,}{\,\cancel{3} \cdot \cancel{2} \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&9 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 2\\[3pt]~~~&=&1260\end{eqnarray}\)

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したがって、\(1260\) 通りとなる

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\({\small (4)}~\)\(5\) 人のグループ \({\rm A}\) と \(2\) 人のグループ \({\rm B}\) 、\(2\) 人のグループ \({\rm C}\) に分けるとすると、

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　\(\begin{array}{ccc}
{\rm A} & {\rm B} & {\rm C}
\\[-3pt]\boxed{\,5人\,} & \boxed{\,2人\,} & \boxed{\,2人\,}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]{}_9{\rm C}_5 & {}_4{\rm C}_2 & {}_2{\rm C}_2
\end{array}\)

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　\(9\) 人中 \(5\) 人を \({\rm A}\) に入れる組合せは \({}_9{\rm C}_5\)
　残り \(4\) 人中 \(2\) 人を \({\rm B}\) に入れる組合せは \({}_4{\rm C}_2\)
　残り \(2\) 人をすべて \({\rm C}\) に入れる組合せは \({}_2{\rm C}_2\)

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これらは同時に起こる（連続して起こる）ので、積の法則より、

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\(\begin{eqnarray}~~~&&{}_9{\rm C}_5{\, \small \times \,}{}_4{\rm C}_2{\, \small \times \,}{}_2{\rm C}_2\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5\,}{\,5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,4 \cdot 3\,}{\,2 \cdot 1\,}{\, \small \times \,}1\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9 \cdot \cancel{8}^2 \cdot 7 \cdot \cancel{6} \cdot \cancel{5}\,}{\,\cancel{5} \cdot \cancel{4} \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{2} \cdot 1\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\cancel{4}^2 \cdot 3\,}{\,\cancel{2} \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&9 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3\\[3pt]~~~&=&756\end{eqnarray}\)

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ここで、\(2\) 人のグループ \({\rm B}\) と \(2\) 人のグループ \({\rm C}\) は区別できない

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よって、同じ分け方が \(2!\) 通りずつ含まれるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,756\,}{\,2!\,}&=&\displaystyle \frac{\,756\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&378\end{eqnarray}\)

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したがって、\(378\) 通りとなる