数学A｜場合の数と確率｜問題一覧 ＞ 問題解説 70
70｜辞書式配列
70
\(a~,~b~,~c~,~d~,~e\) の \(5\) つの文字をすべて並べてできる文字列を、アルファベット順の辞書式に配列する。
\({\small (1)}~\)すべての配列は \(\fbox{アイウ}\) 個ある。
\({\small (2)}~\)\(cbeda\) は \(\fbox{エオ}\) 番目である。
\({\small (3)}~\)\(70\) 番目の文字列は \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{カ}\) である。
選択肢：⓪ \(cdbea\) ① \(cdeab\) ② \(cebad\)
③ \(cebda\) ④ \(cedab\)
\(a~,~b~,~c~,~d~,~e\) の \(5\) つの文字をすべて並べてできる文字列を、アルファベット順の辞書式に配列する。
\({\small (1)}~\)すべての配列は \(\fbox{アイウ}\) 個ある。
\({\small (2)}~\)\(cbeda\) は \(\fbox{エオ}\) 番目である。
\({\small (3)}~\)\(70\) 番目の文字列は \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{カ}\) である。
選択肢：⓪ \(cdbea\) ① \(cdeab\) ② \(cebad\)
③ \(cebda\) ④ \(cedab\)
共通テスト数学ⅠA｜場合の数と確率
70 数学IA【解答】
\({\small (1)}~\)\(120\) 個
\({\small (2)}~\)\(60\) 番目
\({\small (3)}~\)③（\(cebda\)）
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)\(5\) つの文字 \(a~,~b~,~c~,~d~,~e\) をすべて並べる順列より、
\(\begin{array}{ccccc}
① & ② & ③ & ④ & ⑤
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]5通り & 4通り & 3通り & 2通り & 1通り
\end{array}\)
\(\begin{eqnarray}~~~5!&=&5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\\[3pt]~~~&=&120\end{eqnarray}\)
したがって、\(120\) 個となる
\({\small (2)}~\)\(a\) で始まる文字列は、
\(2\) 文字目から \(5\) 文字目に、残りの \(4\) つの文字を並べるので、
\(\begin{array}{ccccc}
① & ② & ③ & ④ & ⑤
\\[-3pt]a & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]& \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]& 4通り & 3通り & 2通り & 1通り
\end{array}\)
\(4!=4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=24\) 個
これより、\(a\) で始まる文字列は \(1\) 番目から \(24\) 番目までである
同様に \(b\) で始まる文字列も \(24\) 個あるので、
\(24+24=48\)
これより、\(b\) で始まる文字列は \(25\) 番目から \(48\) 番目までであり、
\(c\) で始まる文字列は \(49\) 番目からとなる
次に、\(ca\) で始まる文字列は、
\(3\) 文字目から \(5\) 文字目に、残りの \(3\) つの文字を並べるので、
\(\begin{array}{ccccc}
① & ② & ③ & ④ & ⑤
\\[-3pt]c & a & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]& & \uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]& & 3通り & 2通り & 1通り
\end{array}\)
\(3!=3 \cdot 2 \cdot 1=6\) 個
これより、\(ca\) で始まる文字列は \(49\) 番目から \(54\) 番目まで
同様に \(cb\) で始まる文字列も \(6\) 個あるので、
\(54+6=60\)
これより、\(cb\) で始まる文字列は \(55\) 番目から \(60\) 番目までとなり、
\(cbeda\) はこの中にある
\(cb\) の後に残りの \(3\) つの文字 \(a~,~d~,~e\) を辞書式に並べると、
\(55\) 番目 \(cbade\)
\(56\) 番目 \(cbaed\)
\(57\) 番目 \(cbdae\)
\(58\) 番目 \(cbdea\)
\(59\) 番目 \(cbead\)
\(60\) 番目 \(cbeda\)
したがって、\(cbeda\) は \(60\) 番目となる
\({\small (3)}~\)\({\small (2)}\) より、\(c\) で始まる文字列は \(49\) 番目からであり、
\(c\) で始まる文字列は \(4!=24\) 個あるので、
\(48+24=72\)
これより、\(c\) で始まる文字列は \(49\) 番目から \(72\) 番目までとなり、
\(70\) 番目はこの中にある
ここで、\(2\) 文字目が変わるごとに \(3!=6\) 個ずつ並ぶので、
\(ca\) で始まる \(49\) 番目 ～ \(54\) 番目
\(cb\) で始まる \(55\) 番目 ～ \(60\) 番目
\(cd\) で始まる \(61\) 番目 ～ \(66\) 番目
\(ce\) で始まる \(67\) 番目 ～ \(72\) 番目
これより、\(70\) 番目は \(ce\) で始まる文字列である
\(c\) の次の文字は \(a~,~b~,~d~,~e\) の順である。\(c\) は \(1\) 文字目で使っているので、\(2\) 文字目には入らない。
\(ce\) の後に残りの \(3\) つの文字 \(a~,~b~,~d\) を辞書式に並べると、
\(67\) 番目 \(ceabd\)
\(68\) 番目 \(ceadb\)
\(69\) 番目 \(cebad\)
\(70\) 番目 \(cebda\)
\(71\) 番目 \(cedab\)
\(72\) 番目 \(cedba\)
したがって、\(70\) 番目は \(cebda\) となり、①
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