数学A｜場合の数と確率｜問題一覧 ＞ 問題解説 65
65｜正の約数の個数と総和
65
\(72\) の正の約数について、
\({\small (1)}~\)正の約数の個数は \(\fbox{アイ}\) 個である。
\({\small (2)}~\)正の約数の総和は \(\fbox{ウエオ}\) である。
\(72\) の正の約数について、
\({\small (1)}~\)正の約数の個数は \(\fbox{アイ}\) 個である。
\({\small (2)}~\)正の約数の総和は \(\fbox{ウエオ}\) である。
共通テスト数学ⅠA｜場合の数と確率
65 数学IA【解答】
\({\small (1)}~\)\(12\) 個
\({\small (2)}~\)\(195\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)\(72\) を素因数分解すると、
\(\begin{array}{rr}
2~)~~72~\\[-3pt]
2~)\overline{~~36~}\\[-3pt]
2~)\overline{~~18~}\\[-3pt]
3~)\overline{~~~9~~}\\[-3pt]
\overline{~~~3~~}
\end{array}\)
よって、\(72=2^3{\, \small \times \,}3^2\)
ここで、\(72\) の正の約数は、\(2^3\) の正の約数と \(3^2\) の正の約数の組合せの積であるので、
\(2^3\) の正の約数は、
\(2^0~,~2^1~,~2^2~,~2^3\) の \(4\) 通り
\(3^2\) の正の約数は、
\(3^0~,~3^1~,~3^2\) の \(3\) 通り
よって、同時に起こる（連続して起こる）ので、積の法則より、
\(4{\, \small \times \,}3=12\) 個
したがって、正の約数の個数は \(12\) 個となる
※ \(2^3{\, \small \times \,}3^2\) のように素因数分解できるとき、正の約数の個数は指数に \(1\) を足して掛けた \((3+1)(2+1)=12\) 個で求められる。
\({\small (2)}~\)\(72\) の正の約数をすべて表に書き出すと、
\(\begin{array}{c|cccc}
& 2^0 & 2^1 & 2^2 & 2^3 \\
\hline
3^0 & 1 & 2 & 4 & 8 \\
3^1 & 3 & 6 & 12 & 24 \\
3^2 & 9 & 18 & 36 & 72
\end{array}\)
この表の中の \(12\) 個の数の和が約数の総和であり、
これは次の式を展開したときの各項と一致する
\((2^0+2^1+2^2+2^3)(3^0+3^1+3^2)\)
よって、かっこの中を先に計算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(2^0+2^1+2^2+2^3)(3^0+3^1+3^2)\\[3pt]~~~&=&(1+2+4+8)(1+3+9)\\[3pt]~~~&=&15 \cdot 13\\[3pt]~~~&=&195\end{eqnarray}\)
したがって、正の約数の総和は \(195\) となる
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