数学A｜場合の数と確率｜問題一覧 ＞ 問題解説 63
63｜集合の要素の個数
63
\(100\) 以下の自然数について、
\({\small (1)}~\)\(2\) でも \(3\) でも割り切れる数は \(\fbox{アイ}\) 個
\({\small (2)}~\)\(2\) または \(3\) で割り切れる数は \(\fbox{ウエ}\) 個
\({\small (3)}~\)\(3\) の倍数でない数は \(\fbox{オカ}\) 個
\({\small (4)}~\)\(2\) の倍数でも \(3\) の倍数でもない数は \(\fbox{キク}\) 個
\({\small (5)}~\)\(2\) の倍数であるが \(3\) の倍数でない数は \(\fbox{ケコ}\) 個
\({\small (6)}~\)\(2~,~3~,~5\) の少なくとも \(1\) つで割り切れる数は \(\fbox{サシ}\) 個
\(100\) 以下の自然数について、
\({\small (1)}~\)\(2\) でも \(3\) でも割り切れる数は \(\fbox{アイ}\) 個
\({\small (2)}~\)\(2\) または \(3\) で割り切れる数は \(\fbox{ウエ}\) 個
\({\small (3)}~\)\(3\) の倍数でない数は \(\fbox{オカ}\) 個
\({\small (4)}~\)\(2\) の倍数でも \(3\) の倍数でもない数は \(\fbox{キク}\) 個
\({\small (5)}~\)\(2\) の倍数であるが \(3\) の倍数でない数は \(\fbox{ケコ}\) 個
\({\small (6)}~\)\(2~,~3~,~5\) の少なくとも \(1\) つで割り切れる数は \(\fbox{サシ}\) 個
共通テスト数学ⅠA｜場合の数と確率
63 数学IA【解答】
\({\small (1)}~\)\(16\) 個
\({\small (2)}~\)\(67\) 個
\({\small (3)}~\)\(67\) 個
\({\small (4)}~\)\(33\) 個
\({\small (5)}~\)\(34\) 個
\({\small (6)}~\)\(74\) 個
【より詳しい解説】
\(100\) 以下の自然数全体の集合を \(U\)、そのうち \(2\) の倍数の集合を \(A\)、\(3\) の倍数の集合を \(B\) とすると、
\(n(U)=100~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
\(2\) の倍数の集合 \(A\) の要素の個数は、
\(A=\{\,2 \cdot 1~,~2 \cdot 2~,~\cdots~,~2 \cdot 50\,\}\)
これより、\(2 \cdot 1\) から \(2 \cdot 50\) までの \(50\) 個あるので、
\(n(A)=50~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\(3\) の倍数の集合 \(B\) の要素の個数は、
\(B=\{\,3 \cdot 1~,~3 \cdot 2~,~\cdots~,~3 \cdot 33\,\}\)
これより、\(3 \cdot 1\) から \(3 \cdot 33\) までの \(33\) 個あるので、
\(n(B)=33~~~\cdots {\small [\,3\,]}\)
\({\small (1)}~\)\(2\) でも \(3\) でも割り切れる数の集合は、
\(2\) の倍数かつ \(3\) の倍数、つまり \(6\) の倍数の集合 \(A \cap B\) であるので、
\(A \cap B=\{\,6 \cdot 1~,~6 \cdot 2~,~\cdots~,~6 \cdot 16\,\}\)
これより、\(6 \cdot 1\) から \(6 \cdot 16\) までの \(16\) 個あるので、
\(n(A \cap B)=16~~~\cdots {\small [\,4\,]}\)
したがって、\(16\) 個となる
\({\small (2)}~\)\(2\) または \(3\) で割り切れる数の集合は、
\(2\) の倍数または \(3\) の倍数、つまり和集合 \(A \cup B\) である
\({\small [\,2\,]}~,~\)\({\small [\,3\,]}~,~\)\({\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~n(A \cup B)&=&n(A)+n(B)-n(A \cap B)\\[3pt]~~~&=&50+33-16\\[3pt]~~~&=&67~~~\cdots {\small [\,5\,]}\end{eqnarray}\)
したがって、\(67\) 個となる
\({\small (3)}~\)\(3\) の倍数でない数の集合は、
集合 \(B\) の補集合 \(\overline{B}\) である
\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~n(\overline{B})&=&n(U)-n(B)\\[3pt]~~~&=&100-33\\[3pt]~~~&=&67\end{eqnarray}\)
したがって、\(67\) 個となる
\({\small (4)}~\)\(2\) の倍数でも \(3\) の倍数でもない数の集合は、
集合 \(\overline{A} \cap \overline{B}\) であるので、
ド・モルガンの法則より、
\(\begin{eqnarray}~~~n(\overline{A} \cap \overline{B})&=&n(\overline{A \cup B})\\[3pt]~~~&=&n(U)-n(A \cup B)\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,5\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\phantom{n(\overline{A} \cap \overline{B})}&=&100-67\\[3pt]~~~&=&33\end{eqnarray}\)
したがって、\(33\) 個となる
\({\small (5)}~\)\(2\) の倍数であるが \(3\) の倍数でない数の集合は、
集合 \(A \cap \overline{B}\) である
ベン図より、
\(\begin{eqnarray}~~~n(A \cap \overline{B})&=&n(A)-n(A \cap B)\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}~,~\)\({\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\phantom{n(A \cap \overline{B})}&=&50-16\\[3pt]~~~&=&34\end{eqnarray}\)
したがって、\(34\) 個となる
\({\small (6)}~\)\(5\) の倍数の集合を \(C\) とすると、
\(C=\{\,5 \cdot 1~,~5 \cdot 2~,~\cdots~,~5 \cdot 20\,\}\)
これより、\(5 \cdot 1\) から \(5 \cdot 20\) までの \(20\) 個あるので、
\(n(C)=20~~~\cdots {\small [\,6\,]}\)
\(3\) の倍数かつ \(5\) の倍数、つまり \(15\) の倍数の集合 \(B \cap C\)は、
\(B \cap C=\{\,15 \cdot 1~,~15 \cdot 2~,~\cdots~,~15 \cdot 6\,\}\)
これより、\(15 \cdot 1\) から \(15 \cdot 6\) までの \(6\) 個あるので、
\(n(B \cap C)=6~~~\cdots {\small [\,7\,]}\)
\(5\) の倍数かつ \(2\) の倍数、つまり \(10\) の倍数の集合 \(C \cap A\)は、
\(C \cap A=\{\,10 \cdot 1~,~10 \cdot 2~,~\cdots~,~10 \cdot 10\,\}\)
これより、\(10 \cdot 1\) から \(10 \cdot 10\) までの \(10\) 個あるので、
\(n(C \cap A)=10~~~\cdots {\small [\,8\,]}\)
\(2\) の倍数かつ \(3\) の倍数かつ \(5\) の倍数、つまり \(30\) の倍数の集合 \(A \cap B \cap C\)は、
\(A \cap B \cap C=\{\,30 \cdot 1~,~30 \cdot 2~,~30 \cdot 3\,\}\)
これより、\(3\) 個あるので、
\(n(A \cap B \cap C)=3~~~\cdots {\small [\,9\,]}\)
\(2~,~3~,~5\) の少なくとも \(1\) つで割り切れる数の集合は、
\(2\) の倍数または \(3\) の倍数または \(5\) の倍数の集合 \(A \cup B \cup C\) であるので、
\({\small [\,2\,]}~,~\)\({\small [\,3\,]}~,~\)\({\small [\,6\,]}\) 〜 \({\small [\,9\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&n(A \cup B \cup C)
\\[3pt]~~~&=&n(A)+n(B)+n(C)-n(A \cap B)-n(B \cap C)-n(C \cap A)+n(A \cap B \cap C)
\\[3pt]~~~&=&50+33+20-16-6-10+3
\\[3pt]~~~&=&(50+33+20+3)-(16+6+10)
\\[3pt]~~~&=&106-32
\\[3pt]~~~&=&74\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&n(A)+n(B)+n(C)-n(A \cap B)-n(B \cap C)-n(C \cap A)+n(A \cap B \cap C)
\\[3pt]~~~&=&50+33+20-16-6-10+3
\\[3pt]~~~&=&(50+33+20+3)-(16+6+10)
\\[3pt]~~~&=&106-32
\\[3pt]~~~&=&74\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\(74\) 個となる
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