共通テスト数学ⅠA｜場合の数と確率の基本問題24問【PDF・解説つき】

85 数学IA【解答】

---

不良品である確率 \(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,125\,}\)

---

工場 \({\rm A}\) の製品である確率 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)

---

---

---

【より詳しい解説】
取り出した製品が工場 \({\rm A}\) で作られた事象を \(A\)、工場 \({\rm B}\) で作られた事象を \(B\)、不良品である事象を \(E\) とすると、

---

　\(P(A)=\displaystyle \frac{\,60\,}{\,100\,}~,~P(B)=\displaystyle \frac{\,40\,}{\,100\,}\)

---

　\(P_A(E)=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,100\,}~,~P_B(E)=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,100\,}\)

---

---

取り出した製品が不良品である確率は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~P(E)&=&P(A \cap E)+P(B \cap E)\\[5pt]~~~&=&P(A) \cdot P_A(E)+P(B) \cdot P_B(E)\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,60\,}{\,100\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,100\,}+\displaystyle \frac{\,40\,}{\,100\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,3\,}{\,100\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,120\,}{\,10000\,}+\displaystyle \frac{\,120\,}{\,10000\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,120+120\,}{\,10000\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,240\,}{\,10000\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,125\,}\end{eqnarray}\)

---

したがって、\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,125\,}\) となる

---

不良品であったとき、それが工場 \({\rm A}\) の製品である確率は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~P_E(A)&=&\displaystyle \frac{\,P(A \cap E)\,}{\,P(E)\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,P(A) \cdot P_A(E)\,}{\,P(E)\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,60\,}{\,100\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,100\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,60\,}{\,100\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,100\,}+\displaystyle \frac{\,40\,}{\,100\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,3\,}{\,100\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,120\,}{\,120+120\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,120\,}{\,240\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

---

したがって、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) となる