数学A｜場合の数と確率｜問題一覧 ＞ 問題解説 84
84｜確率の乗法定理と和事象
84
\(10\) 本のくじの中に当たりが \(3\) 本ある。A、Bの順にくじを \(1\) 本ずつ引き、引いたくじは元に戻さないものとする。
\({\small (1)}~\)\(2\) 人とも当たる確率は \(\displaystyle \frac{\,\fbox{ア}\,}{\,\fbox{イウ}\,}\) である。
\({\small (2)}~\)Bが当たる確率は \(\displaystyle \frac{\,\fbox{エ}\,}{\,\fbox{オカ}\,}\) である。
\(10\) 本のくじの中に当たりが \(3\) 本ある。A、Bの順にくじを \(1\) 本ずつ引き、引いたくじは元に戻さないものとする。
\({\small (1)}~\)\(2\) 人とも当たる確率は \(\displaystyle \frac{\,\fbox{ア}\,}{\,\fbox{イウ}\,}\) である。
\({\small (2)}~\)Bが当たる確率は \(\displaystyle \frac{\,\fbox{エ}\,}{\,\fbox{オカ}\,}\) である。
共通テスト数学ⅠA｜場合の数と確率
84 数学IA【解答】
\({\small (1)}~\)\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,15\,}\)
\({\small (2)}~\)\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,10\,}\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)Aが当たる事象を \(A\)、Bが当たる事象を \(B\) とすると、
\(2\) 人とも当たる確率は \(P(A \cap B)\) となる
ここで、\(A\) が当たる確率は、
\(\begin{array}{ccc}
当たり & | & はずれ
\\[-3pt]
◎◎◎ & | & ○○○○○○○
\\[-3pt]
\downarrow& &
\\[-3pt]
◎& &
\end{array}\)
\(P(A)=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,10\,}\)
次に、\(A\) が当たり、\(B\) も当たるのは、残り \(9\) 本の中の \(2\) 本の当たりを引くので、
\(\begin{array}{ccc}
当たり & | & はずれ
\\[-3pt]
◎◎ & | & ○○○○○○○
\\[-3pt]
\downarrow& &
\\[-3pt]
◎& &
\end{array}\)
\(P_A(B)=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,9\,}\)
よって、確率の乗法定理より、
\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~P(A \cap B)&=&P(A) {\, \small \times \,} P_A(B)\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,10\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\,}{\,9\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cancel{3}^1 {\, \small \times \,} \cancel{2}^1\,}{\,\cancel{10}^5 {\, \small \times \,} \cancel{9}^3\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5 {\, \small \times \,} 3\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,15\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,15\,}\) となる
\({\small (2)}~\)\(B\) が当たる事象は、
\(\small [\,1\,]\) \(A\) が当たり、\(B\) も当たる
\(\small [\,2\,]\) \(A\) がはずれ、\(B\) が当たる
この \(2\) つの場合がある
\(\small [\,1\,]\) \(A\) が当たり、\(B\) も当たる場合
\(A\) は \(10\) 本中 当たりの \(3\) 本より、\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,10\,}\)
\(B\) は \(9\) 本中 当たりの \(2\) 本より、\(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,9\,}\)
乗法定理より、
\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,10\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,9\,}=\displaystyle \frac{\,6\,}{\,90\,}\)
\(\small [\,2\,]\) \(A\) がはずれ \(B\) が当たる場合
\(A\) は \(10\) 本中 はずれの \(7\) 本より、\(\displaystyle \frac{\,7\,}{\,10\,}\)
\(B\) は \(9\) 本中 当たりの \(3\) 本より、\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,9\,}\)
乗法定理より、
\(\displaystyle \frac{\,7\,}{\,10\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,3\,}{\,9\,}=\displaystyle \frac{\,21\,}{\,90\,}\)
\(\small [\,1\,]\) と \(\small [\,2\,]\) は互いに排反であるので和事象の確率より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,6\,}{\,90\,}+\displaystyle \frac{\,21\,}{\,90\,}&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,30\,}+\displaystyle \frac{\,7\,}{\,30\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,30\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,10\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,10\,}\) となる
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