数学A｜場合の数と確率｜問題一覧 ＞ 問題解説 86
86｜確率と変量の期待値
86
赤玉 \(3\) 個、白玉 \(2\) 個が入った袋から玉を同時に \(2\) 個取り出す。取り出した白玉の数だけ \(100\) 円をもらえるゲームを行うとき、もらえる金額の期待値は \(\fbox{アイ}\) 円である。
赤玉 \(3\) 個、白玉 \(2\) 個が入った袋から玉を同時に \(2\) 個取り出す。取り出した白玉の数だけ \(100\) 円をもらえるゲームを行うとき、もらえる金額の期待値は \(\fbox{アイ}\) 円である。
共通テスト数学ⅠA｜場合の数と確率
86 数学IA【解答】
\(80\) 円
【より詳しい解説】
赤玉 \(3\) 個、白玉 \(2\) 個から \(2\) 個取り出すとき、
\(\require{enclose}\begin{array}{c}
{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{白}}\,{\small \enclose{circle}{白}}
\\[-1pt]\downarrow
\\[-1pt]○\,○
\end{array}\)
すべての場合の数は、
\({}_5{\rm C}_2=\displaystyle \frac{\,5 {\, \small \times \,} 4\,}{\,2 {\, \small \times \,} 1\,}=10\) 通り
どの場合も同様に確からしい
\(\small [\,1\,]\) \(2\) 個とも赤玉のとき
\(\require{enclose}\begin{array}{cc}
{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}}&{\small \enclose{circle}{白}}\,{\small \enclose{circle}{白}}
\\[-1pt]\downarrow&
\\[-1pt]○\,○&
\end{array}\)
\({}_3{\rm C}_2={}_3{\rm C}_1=3\) 通り
よって、確率は \(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,10\,}\)
\(\small [\,2\,]\) \(1\) 個が赤玉でもう \(1\) 個が白玉のとき
\(\require{enclose}\begin{array}{cc}
{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}}&{\small \enclose{circle}{白}}\,{\small \enclose{circle}{白}}
\\[-1pt]\downarrow&\downarrow
\\[-1pt]○&○
\end{array}\)
\({}_3{\rm C}_1 {\, \small \times \,} {}_2{\rm C}_1=3 {\, \small \times \,} 2=6\) 通り
よって、確率は \(\displaystyle \frac{\,6\,}{\,10\,}\)
\(\small [\,3\,]\) \(2\) 個とも白玉のとき
\(\require{enclose}\begin{array}{cc}
{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}}&{\small \enclose{circle}{白}}\,{\small \enclose{circle}{白}}
\\[-1pt]&\downarrow
\\[-1pt]&○\,○
\end{array}\)
\({}_2{\rm C}_2=1\) 通り
よって、確率は \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,10\,}\)
よって、白玉の数 \({\, \small \times \,} 100\) 円を変量 \(X\) とし、確率変数 \(X\) とその確率 \(P\) は、
\(\begin{array}{c|ccc|c}
~白玉~ & 0 & 1 & 2 & 計 \\[5pt]
\hline
X & 0 & 100 & 200 & \\[5pt]
\hline
P & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,10\,} & \displaystyle\frac{\,6\,}{\,10\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,10\,} & 1
\end{array}\)
よって、期待値 \(E(X)\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~E(X)&=&\displaystyle \frac{\,0 {\, \small \times \,} 3+100 {\, \small \times \,} 6+200 {\, \small \times \,} 1\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,600+200\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,800\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&80\end{eqnarray}\)
これより、期待値は \(80\) 円である
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