数学A｜場合の数と確率｜問題一覧 ＞ 問題解説 64
64｜範囲指定のある集合の要素の個数
64
\(100\) から \(200\) までの自然数のうち、\(2\) の倍数の集合を \(A\)、\(3\) の倍数の集合を \(B\) とする。
\({\small (1)}~\)\(n(A)=\fbox{アイ}\) \({\small (2)}~\)\(n(B)=\fbox{ウエ}\)
\({\small (3)}~\)\(n(A \cap B)=\fbox{オカ}\)
\({\small (4)}~\)\(n(A \cup B)=\fbox{キク}\)
\(100\) から \(200\) までの自然数のうち、\(2\) の倍数の集合を \(A\)、\(3\) の倍数の集合を \(B\) とする。
\({\small (1)}~\)\(n(A)=\fbox{アイ}\) \({\small (2)}~\)\(n(B)=\fbox{ウエ}\)
\({\small (3)}~\)\(n(A \cap B)=\fbox{オカ}\)
\({\small (4)}~\)\(n(A \cup B)=\fbox{キク}\)
共通テスト数学ⅠA｜場合の数と確率
64 数学IA【解答】
\({\small (1)}~\)\(n(A)=51\)
\({\small (2)}~\)\(n(B)=33\)
\({\small (3)}~\)\(n(A \cap B)=17\)
\({\small (4)}~\)\(n(A \cup B)=67\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)\(100\) から \(200\) までの自然数のうち、\(2\) の倍数の集合 \(A\)は、
\(A=\{\,2 \cdot 50~,~2 \cdot 51~,~\cdots~,~2 \cdot 100\,\}\)
これより、
\(2 \cdot 1\) から \(2 \cdot 100\) までの \(100\) 個から、
\(2 \cdot 1\) から \(2 \cdot 49\) までの \(49\) 個を引くので、
\(\begin{eqnarray}~~~n(A)&=&100-49\\[3pt]~~~&=&51~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)\(3\) の倍数の集合 \(B\)は、
\(B=\{\,3 \cdot 34~,~3 \cdot 35~,~\cdots~,~3 \cdot 66\,\}\)
これより、
\(3 \cdot 1\) から \(3 \cdot 66\) までの \(66\) 個から、
\(3 \cdot 1\) から \(3 \cdot 33\) までの \(33\) 個を引くので、
\(\begin{eqnarray}~~~n(B)&=&66-33\\[3pt]~~~&=&33~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small (3)}~\)\(2\) の倍数かつ \(3\) の倍数の集合 \(A \cap B\)は、
\(6\) の倍数の集合であるので、
\(A \cap B=\{\,6 \cdot 17~,~6 \cdot 18~,~\cdots~,~6 \cdot 33\,\}\)
これより、
\(6 \cdot 1\) から \(6 \cdot 33\) までの \(33\) 個から、
\(6 \cdot 1\) から \(6 \cdot 16\) までの \(16\) 個を引くので、
\(\begin{eqnarray}~~~n(A \cap B)&=&33-16\\[3pt]~~~&=&17~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small (4)}~\)\(2\) の倍数または \(3\) の倍数の集合 \(A \cup B\) の要素の個数は、
\({\small [\,1\,]}\) から \({\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~n(A \cup B)&=&n(A)+n(B)-n(A \cap B)\\[3pt]~~~&=&51+33-17\\[3pt]~~~&=&67\end{eqnarray}\)
したがって、\(n(A \cup B)=67\) となる
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