共通テスト数学ⅠA｜場合の数と確率の基本問題24問【PDF・解説つき】

66 数学IA【解答】

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\({\small (1)}~\)\(120\) 通り
\({\small (2)}~\)\(48\) 通り
\({\small (3)}~\)\(12\) 通り
\({\small (4)}~\)\(12\) 通り

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【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)\(5\) 人全員を並べるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~5!&=&5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1
\\[3pt]~~~&=&120\end{eqnarray}\)

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したがって、\(120\) 通り

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\({\small (2)}~\)子ども \(2\) 人を \(1\) つのグループと考えて、大人 \(3\) 人とこのグループの \(4\) つの順列は、

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　\(\begin{array}{cccc}
① & ② & ③ & ④
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]4通り & 3通り & 2通り & 1通り
\end{array}\)

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　\(4 {\, \small \times \,} 3 {\, \small \times \,} 2 {\, \small \times \,} 1=24\) 通り

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そのおのおのについて、このグループの中の子どもを並べるのが \(2!\) 通りあるので、積の法則より、

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\(\begin{eqnarray}~~~&&24 {\, \small \times \,} 2!
\\[3pt]~~~&=&24 {\, \small \times \,} 2
\\[3pt]~~~&=&48\end{eqnarray}\)

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したがって、\(48\) 通りとなる

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\({\small (3)}~\)子ども \(2\) 人を両端に並べるので、

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　\(\begin{array}{ccccc}
① & ② & ③ & ④ & ⑤
\\[-3pt]\boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///}
\\[-3pt]\uparrow & & & & \uparrow
\\[-1pt]2通り & & & & 1通り
\end{array}\)

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　\(2 {\, \small \times \,} 1=2\) 通り

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そのおのおのについて、間の②〜④へ大人 \(3\) 人の並べ方は、

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　\(\begin{array}{ccccc}
① & ② & ③ & ④ & ⑤
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{///} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]& \uparrow & \uparrow & \uparrow &
\\[-1pt]& 3通り & 2通り & 1通り &
\end{array}\)

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　\(3 {\, \small \times \,} 2 {\, \small \times \,} 1=6\) 通り

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よって、積の法則より、

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　\(2 {\, \small \times \,} 6=12\) 通り

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したがって、\(12\) 通りとなる

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\({\small (4)}~\)大人 \(3\) 人、子ども \(2\) 人を大人と子どもが交互に並べるので、

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人数の多い大人 \(3\) 人を先に①、③、⑤に並べると、

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　\(\begin{array}{ccccc}
① & ② & ③ & ④ & ⑤
\\[-3pt]\boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///}
\\[-3pt]\uparrow & & \uparrow & & \uparrow
\\[-1pt]3通り & & 2通り & & 1通り
\end{array}\)

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　\(3 {\, \small \times \,} 2 {\, \small \times \,} 1=6\) 通り

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そのおのおのについて、②と④への子どもの並べ方は、

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　\(\begin{array}{ccccc}
① & ② & ③ & ④ & ⑤
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]& \uparrow & & \uparrow &
\\[-1pt]& 2通り && 1通り &
\end{array}\)

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　\(2 {\, \small \times \,} 1=2\) 通り

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よって、積の法則より、

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　\(6 {\, \small \times \,} 2=12\) 通り

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したがって、\(12\) 通りとなる