数学A｜場合の数と確率｜問題一覧 ＞ 問題解説 78
78｜じゃんけんの確率
78
\({\rm A}\) 、\({\rm B}\) 、\({\rm C}\) の \(3\) 人が \(1\) 回じゃんけんをする。
\({\small (1)}~\)\({\rm A}\) だけが勝つ確率は \(\displaystyle \frac{\,\fbox{ア}\,}{\,\fbox{イ}\,}\) である。
\({\small (2)}~\)あいこになる確率は \(\displaystyle \frac{\,\fbox{ウ}\,}{\,\fbox{エ}\,}\) である。
\({\rm A}\) 、\({\rm B}\) 、\({\rm C}\) の \(3\) 人が \(1\) 回じゃんけんをする。
\({\small (1)}~\)\({\rm A}\) だけが勝つ確率は \(\displaystyle \frac{\,\fbox{ア}\,}{\,\fbox{イ}\,}\) である。
\({\small (2)}~\)あいこになる確率は \(\displaystyle \frac{\,\fbox{ウ}\,}{\,\fbox{エ}\,}\) である。
共通テスト数学ⅠA｜場合の数と確率
78 数学IA【解答】
\({\small (1)}~\)\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,}\)
\({\small (2)}~\)\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)\({\rm A}~,~{\rm B}~,~{\rm C}\) の \(3\) 人がそれぞれの手の出し方は、グー、チョキ、パーの \(3\) 通りずつあり、
\(\begin{array}{ccc}
{\rm A} & {\rm B} & {\rm C}
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]3通り & 3通り & 3通り
\end{array}\)
\(3 {\, \small \times \,} 3 {\, \small \times \,} 3=27\) 通り
すべての場合の数は \(27\) 通りあり、どの場合も同様に確からしい
ここで、\({\rm A}\) だけがグーで勝つとき、\({\rm B}\) と \({\rm C}\) はチョキを出すことになる
同様に \({\rm A}\) がチョキ、パーで勝つと \({\rm B}\) と \({\rm C}\) の出し方は \(1\) 通りに決まる
\(\begin{array}{ccc}
{\rm A} & {\rm B} & {\rm C}
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]グー & チョキ & チョキ
\\[-1pt]チョキ & パー & パー
\\[-1pt]パー & グー & グー
\end{array}\)
したがって、\({\rm A}\) だけが勝つのは \(3\) 通りとなるので、確率は、
\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,27\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,}\)
\({\small (2)}~\)あいこになるのは、
\(\small [\,1\,]\) \(3\) 人の手が同じ
\(\small [\,2\,]\) \(3\) 人の手がすべて異なる
の \(2\) つの場合がある
\(\small [\,1\,]\) \(3\) 人の手が同じのとき、
\(\begin{array}{ccc}
{\rm A} & {\rm B} & {\rm C}
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]グー & グー & グー
\\[-1pt]チョキ & チョキ & チョキ
\\[-1pt]パー & パー & パー
\end{array}\)
\(3\) 人ともグー or チョキ or パーの \(3\) 通りとなるので、確率は、
\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,27\,}\)
\(\small [\,2\,]\) \(3\) 人の手がすべて異なるとき、
\({\rm A}~,~{\rm B}~,~{\rm C}\) の \(3\) つの枠に \(3\) つの手、グー、チョキ、パーを入れる順列となり、
\(\begin{array}{ccc}
{\rm A} & {\rm B} & {\rm C}
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]3通り & 2通り & 1通り
\end{array}\)
\(3!=3 \cdot 2 \cdot 1=6\) 通り
よって、確率は、
\(\displaystyle \frac{\,6\,}{\,27\,}\)
\(\small [\,1\,]\) と \(\small [\,2\,]\) の事象は互いに排反であるので、あいこになる確率は、確率の加法定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,27\,}+\displaystyle \frac{\,6\,}{\,27\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,9\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,9\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) となる
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