数学A｜場合の数と確率｜問題一覧 ＞ 問題解説 81
81｜反復試行の確率と和事象
81
赤玉 \(3\) 個、白玉 \(2\) 個が入った袋から \(1\) 個取り出し、色を確認して元に戻す試行を \(4\) 回繰り返す。
\({\small (1)}~\)白玉がちょうど \(3\) 回出る確率は \(\displaystyle \frac{\,\fbox{アイ}\,}{\,\fbox{ウエオ}\,}\) である。
\({\small (2)}~\)白玉が \(3\) 回以上出る確率は \(\displaystyle \frac{\,\fbox{カキク}\,}{\,\fbox{ケコサ}\,}\) である。
\({\small (3)}~\)少なくとも \(2\) 回は白玉が出る確率は \(\displaystyle \frac{\,\fbox{シスセ}\,}{\,\fbox{ソタチ}\,}\) である。
赤玉 \(3\) 個、白玉 \(2\) 個が入った袋から \(1\) 個取り出し、色を確認して元に戻す試行を \(4\) 回繰り返す。
\({\small (1)}~\)白玉がちょうど \(3\) 回出る確率は \(\displaystyle \frac{\,\fbox{アイ}\,}{\,\fbox{ウエオ}\,}\) である。
\({\small (2)}~\)白玉が \(3\) 回以上出る確率は \(\displaystyle \frac{\,\fbox{カキク}\,}{\,\fbox{ケコサ}\,}\) である。
\({\small (3)}~\)少なくとも \(2\) 回は白玉が出る確率は \(\displaystyle \frac{\,\fbox{シスセ}\,}{\,\fbox{ソタチ}\,}\) である。
共通テスト数学ⅠA｜場合の数と確率
81 数学IA【解答】
\({\small (1)}~\)\(\displaystyle \frac{\,96\,}{\,625\,}\)
\({\small (2)}~\)\(\displaystyle \frac{\,112\,}{\,625\,}\)
\({\small (3)}~\)\(\displaystyle \frac{\,328\,}{\,625\,}\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)\(1\) 回の試行で白玉を取り出す事象 \(A\) の確率は、
\(\require{enclose}\begin{array}{ccc}
{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}}\,{\small \enclose{circle}{赤}} & | & {\small \enclose{circle}{白}}\,{\small \enclose{circle}{白}}
\\[-1pt]&& \downarrow
\\[-1pt]& & {\small \enclose{circle}{白}}
\end{array}\)
これより、
\(P(A)=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\)
また、白玉を取り出さない事象 \(\overline{A}\) の確率は、
\(P(\overline{A})=1-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}=\displaystyle \frac{\,5-2\,}{\,5\,}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\)
ここで、\(4\) 回のうち白玉がちょうど \(3\) 回出るとき、残りの \(1\) 回は赤玉であるので、
\(\begin{array}{c|c|c}
合計\,4\,回 & Aが\,3\,回 & \overline{A}が\,1\,回 \\[5pt]
\hline
{}_4{\rm C}_3 & \displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,} & \displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}
\end{array}\)
反復試行の確率より、
\(\begin{eqnarray}~~~{}_4{\rm C}_3 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\right)^3 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\right)^1&=&{}_4{\rm C}_1 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2^3\,}{\,5^3\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\\[5pt]~~~&=&4 \cdot \displaystyle \frac{\,2^3 \cdot 3\,}{\,5^4\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4 \cdot 2^3 \cdot 3\,}{\,5^4\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4 \cdot 8 \cdot 3\,}{\,625\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,96\,}{\,625\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\(\displaystyle \frac{\,96\,}{\,625\,}\) となる
\({\small (2)}~\)\(4\) 回中 \(3\) 回以上白玉が出るのは、
\(\small [\,1\,]\) \(4\) 回とも白玉
\(\small [\,2\,]\) \(3\) 回が白玉で \(1\) 回が赤玉
の \(2\) つの場合がある
\(\small [\,1\,]\) \(4\) 回とも白玉のとき、
各回の試行は互いに独立であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2^4\,}{\,5^4\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,16\,}{\,625\,}\end{eqnarray}\)
\(\small [\,2\,]\) \(3\) 回が白玉で \(1\) 回が赤玉のとき、
\({\small (1)}\) より、
\(\displaystyle \frac{\,96\,}{\,625\,}\)
\(\small [\,1\,]\) と \(\small [\,2\,]\) は互いに排反であるので、和事象の確率より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,16\,}{\,625\,}+\displaystyle \frac{\,96\,}{\,625\,}&=&\displaystyle \frac{\,16+96\,}{\,625\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,112\,}{\,625\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,112\,}{\,625\,}\) となる
\({\small (3)}~\)「少なくとも \(2\) 回は白玉が出る」の余事象は「白玉が出ない、または白玉が \(1\) 回」となる
\(\small [\,1\,]\) 白玉が \(0\) 回のとき、
すべて赤玉となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3^4\,}{\,5^4\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,81\,}{\,625\,}\end{eqnarray}\)
\(\small [\,2\,]\) 白玉が \(1\) 回のとき、
\(\begin{array}{c|c|c}
合計\,4\,回 & Aが\,1\,回 & \overline{A}が\,3\,回 \\[5pt]
\hline
{}_4{\rm C}_1 & \displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,} & \displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}
\end{array}\)
反復試行の確率より、
\(\begin{eqnarray}~~~{}_4{\rm C}_1 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\right)^1 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\right)^3&=&4 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2 \cdot 3^3\,}{\,5^4\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4 \cdot 2 \cdot 3^3\,}{\,5^4\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8 \cdot 27\,}{\,625\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,216\,}{\,625\,}\end{eqnarray}\)
\(\small [\,1\,]\) と \(\small [\,2\,]\) は互いに排反であるので、和事象の確率より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,81\,}{\,625\,}+\displaystyle \frac{\,216\,}{\,625\,}&=&\displaystyle \frac{\,81+216\,}{\,625\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,297\,}{\,625\,}\end{eqnarray}\)
よって、少なくとも \(2\) 回は白玉が出る確率は、余事象の確率より、
\(\begin{eqnarray}~~~1-\displaystyle \frac{\,297\,}{\,625\,}&=&\displaystyle \frac{\,625-297\,}{\,625\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,328\,}{\,625\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,328\,}{\,625\,}\) となる
場合の数と確率｜問題一覧はこちら→
