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80｜余事象の確率
80
\(10\) 本のくじの中に当たりが \(3\) 本ある。\(2\) 本のくじを同時に引くとき、少なくとも \(1\) 本が当たる確率は \(\displaystyle \frac{\,\fbox{ア}\,}{\,\fbox{イウ}\,}\) である。
\(10\) 本のくじの中に当たりが \(3\) 本ある。\(2\) 本のくじを同時に引くとき、少なくとも \(1\) 本が当たる確率は \(\displaystyle \frac{\,\fbox{ア}\,}{\,\fbox{イウ}\,}\) である。
共通テスト数学ⅠA｜場合の数と確率
80 数学IA【解答】
\(\displaystyle \frac{\,8\,}{\,15\,}\)
【より詳しい解説】
\(10\) 本のくじから \(2\) 本を同時に引くとき、
\(\begin{array}{c}
○○○○○○○○○○
\\[-3pt]\downarrow
\\[-3pt]○○
\end{array}\)
すべての場合の数は \({}_{10}{\rm C}_2\) 通りで、どの場合も同様に確からしい
\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~{}_{10}{\rm C}_2&=&\displaystyle \frac{\,10 \cdot 9\,}{\,2 \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cancel{10}^5 \cdot 9\,}{\,\cancel{2} \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&5 \cdot 9\\[3pt]~~~&=&45\end{eqnarray}\)
ここで、「少なくとも \(1\) 本は当たる」の余事象は「\(2\) 本ともはずれ」である
\(10\) 本中 \(7\) 本のはずれくじから \(2\) 本引くとき、
\(\begin{array}{ccc}
当たり & | & はずれ
\\[-3pt]◎◎◎ & | & ○○○○○○○
\\[-3pt]&& \downarrow
\\[-3pt]& & ○○
\end{array}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{}_7{\rm C}_2&=&\displaystyle \frac{\,7 \cdot 6\,}{\,2 \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7 \cdot \cancel{6}^3\,}{\,\cancel{2} \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&7 \cdot 3\\[3pt]~~~&=&21\end{eqnarray}\)
よって、確率は
\(\displaystyle \frac{\,21\,}{\,45\,}=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,15\,}\)
これより、少なくとも \(1\) 本は当たる確率は、\(2\) 本ともはずれる確率の余事象の確率より、
\(\begin{eqnarray}~~~1-\displaystyle \frac{\,7\,}{\,15\,}&=&\displaystyle \frac{\,15-7\,}{\,15\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,15\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,8\,}{\,15\,}\) となる
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