共通テスト数学ⅠA｜場合の数と確率の基本問題24問【PDF・解説つき】

83 数学IA【解答】

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\({\small (1)}~\)\(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\)

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\({\small (2)}~\)\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\)

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【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)グループ \({\rm A}\) に参加している事象を \(A\)、グループ \({\rm B}\) に参加している事象を \(B\) とする

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\(100\) 人中

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　グループ \({\rm A}\) だけに参加している \(24\) 人
　グループ \({\rm B}\) だけに参加している \(28\) 人
　両方に参加している \(16\) 人

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であることより、

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　　\(\begin{array}{c|cc|c}
& A & \overline{A} & 計 \\[3pt]
\hline
B & 16人 & 28人 & \\[3pt]
\overline{B} & 24人 & & \\[3pt]
\hline
~計~ & x人 & & 100人
\end{array}\)

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これより、グループ \({\rm A}\) に参加している生徒は、

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\(\begin{eqnarray}~~~x&=&16+24\\[3pt]~~~&=&40\end{eqnarray}\) 人

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よって、グループ \({\rm A}\) に参加している生徒の中から \(1\) 人を選ぶとき、グループ \({\rm B}\) にも参加している確率は、

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\(\begin{eqnarray}~~~P_A(B)&=&\displaystyle \frac{\,16\,}{\,40\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、\(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\) となる

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\({\small (2)}~\)グループ \({\rm A}\) に参加している事象を \(A\)、グループ \({\rm B}\) に参加している事象を \(B\) とする

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グループ \({\rm A}\) に全体の \(30\) ％が参加しているので、事象 \(A\) の確率は、

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　\(P(A)=\displaystyle \frac{\,30\,}{\,100\,}\)

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両方に参加しているのが全体の \(10\) ％より、事象 \(A \cap B\) の確率は、

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　\(P(A \cap B)=\displaystyle \frac{\,10\,}{\,100\,}\)

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よって、グループ \({\rm A}\) に参加している生徒の中から \(1\) 人を選ぶとき、グループ \({\rm B}\) にも参加している確率は、

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\(\begin{eqnarray}~~~P_A(B)&=&\displaystyle \frac{\,P(A \cap B)\,}{\,P(A)\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,10\,}{\,100\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,30\,}{\,100\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,10\,}{\,100\,}{\, \small \times \,}100\,}{\,\displaystyle \frac{\,30\,}{\,100\,}{\, \small \times \,}100\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,10\,}{\,30\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) となる