数学A｜場合の数と確率｜問題一覧 ＞ 問題解説 67
67｜数字を並べて整数をつくる順列
67
\(0~,~1~,~2~,~3~,~4~,~5\) から異なる \(3\) 個を使って \(3\) 桁の整数をつくる。
\({\small (1)}~\)\(3\) 桁の整数は \(\fbox{アイウ}\) 個
\({\small (2)}~\)そのうち偶数は \(\fbox{エオ}\) 個
\({\small (3)}~\)そのうち奇数は \(\fbox{カキ}\) 個
\({\small (4)}~\)そのうち \(5\) の倍数は \(\fbox{クケ}\) 個
\({\small (5)}~\)\(240\) 以上の整数は \(\fbox{コサ}\) 個
\(0~,~1~,~2~,~3~,~4~,~5\) から異なる \(3\) 個を使って \(3\) 桁の整数をつくる。
\({\small (1)}~\)\(3\) 桁の整数は \(\fbox{アイウ}\) 個
\({\small (2)}~\)そのうち偶数は \(\fbox{エオ}\) 個
\({\small (3)}~\)そのうち奇数は \(\fbox{カキ}\) 個
\({\small (4)}~\)そのうち \(5\) の倍数は \(\fbox{クケ}\) 個
\({\small (5)}~\)\(240\) 以上の整数は \(\fbox{コサ}\) 個
共通テスト数学ⅠA｜場合の数と確率
67 数学IA【解答】
\({\small (1)}~\)\(100\) 個
\({\small (2)}~\)\(52\) 個
\({\small (3)}~\)\(48\) 個
\({\small (4)}~\)\(36\) 個
\({\small (5)}~\)\(68\) 個
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)\(3\) 桁の整数は、
百の位には \(0\) 以外の \(5\) つの数字から \(1\) つが入り、
十の位と一の位は、百の位に使った数字以外の残りの \(5\) つの数字から \(2\) 個を並べるので、
\(\begin{array}{ccc}
百 & 十 & 一
\\[-3pt]\boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]5通り & 5通り & 4通り
\end{array}\)
\(5 {\, \small \times \,} 5 {\, \small \times \,} 4=100\) 通り
したがって、\(100\) 個
\({\small (2)}~\)\(3\) 桁の偶数は、
偶数は末尾が \(0\) か \(2\) or \(4\) だが、\(0\) のときと \(2\) or \(4\) のときで百の位の選び方が変わるため場合分けする。
\(\small [\,1\,]\) 一の位が \(0\) のとき
百の位と十の位には、残りの \(5\) つの数字から \(2\) 個を並べるので、
\(\begin{array}{ccc}
百 & 十 & 一
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]5通り & 4通り & 0\text{が入る}
\end{array}\)
\(5 {\, \small \times \,} 4 {\, \small \times \,} 1=20\) 通り
\(\small [\,2\,]\) 一の位が \(2\) or \(4\) のとき
百の位には一の位の数字と \(0\) 以外の \(4\) つの数字が入り、十の位には残りの \(4\) つの数字から \(1\) つ選ぶので、
\(\begin{array}{ccc}
百 & 十 & 一
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]4通り & 4通り & 2\,\text{or}\,4
\end{array}\)
\(4 {\, \small \times \,} 4 {\, \small \times \,} 2=32\) 通り
\(\small [\,1\,]\) と \(\small [\,2\,]\) は同時に起こらないので、和の法則より、
\(20+32=52\) 通り
したがって、\(52\) 個
\({\small (3)}~\)\(3\) 桁の奇数は、
一の位には \(1\) or \(3\) or \(5\) の \(3\) つのいずれかが入る
百の位には、一の位に使った数字と \(0\) 以外の \(4\) つの数字から \(1\) つ選び、十の位には残りの \(4\) つの数字から \(1\) つ選ぶので、
\(\begin{array}{ccc}
百 & 十 & 一
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]4通り & 4通り & 1\,\text{or}\,3\,\text{or}\,5
\end{array}\)
\(4 {\, \small \times \,} 4 {\, \small \times \,} 3=48\) 通り
したがって、\(48\) 個
【別解】
\({\small (1)}\) より \(3\) 桁の整数が \(100\) 通り、\({\small (2)}\) より \(3\) 桁の偶数が \(52\) 通りであるので、\(3\) 桁の奇数は、
\(100-52=48\) 個
\({\small (4)}~\)\(3\) 桁の \(5\) の倍数は、
\(5\) の倍数は末尾が \(0\) か \(5\) だが、\(0\) のときと \(5\) のときで百の位の選び方が変わるため場合分けする。
\(\small [\,1\,]\) 一の位が \(0\) のとき
百の位と十の位には、残りの \(5\) つの数字から \(2\) 個を並べるので、
\(\begin{array}{ccc}
百 & 十 & 一
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]5通り & 4通り & 0\text{が入る}
\end{array}\)
\(5 {\, \small \times \,} 4 {\, \small \times \,} 1=20\) 通り
\(\small [\,2\,]\) 一の位が \(5\) のとき
百の位には一の位の \(5\) と \(0\) 以外の \(4\) つの数字が入り、十の位には残りの \(4\) つの数字から \(1\) つ選ぶので、
\(\begin{array}{ccc}
百 & 十 & 一
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]4通り & 4通り & 5\text{が入る}
\end{array}\)
\(4 {\, \small \times \,} 4 {\, \small \times \,} 1=16\) 通り
\(\small [\,1\,]\) と \(\small [\,2\,]\) は同時に起こらないので、和の法則より、
\(20+16=36\) 通り
したがって、\(36\) 個
\({\small (5)}~\)\(3\) 桁の整数で百の位が \(3\) or \(4\) or \(5\) のとき、十の位と一の位は残りの \(5\) つの数字から \(2\) つ選んで並べるので、
\(\begin{array}{ccc}
百 & 十 & 一
\\[-3pt]\boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]3\,\text{or}\,4\,\text{or}\,5 & 5通り & 4通り
\end{array}\)
よって、
\(3 {\, \small \times \,} 5 {\, \small \times \,} 4=60\) 通り \(\cdots {\small [\,1\,]}\)
次に、百の位が \(2\) で、十の位が \(4\) or \(5\) のとき、一の位は残りの \(4\) つの数字から選ぶので、
\(\begin{array}{ccc}
百 & 十 & 一
\\[-3pt]\boxed{\phantom{0}2\phantom{0}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]& \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]& 4\,\text{or}\,5 & 4通り
\end{array}\)
よって、
\(2 {\, \small \times \,} 4=8\) 通り \(\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) は同時に起こらないので、和の法則より、
\(60+8=68\) 通り
したがって、\(68\) 個
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