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第１章 平面のベクトル
第２章 空間のベクトル
第３章 複素数平面
第４章 式と曲線
第１章 平面上のベクトル
第１節 ベクトルとその演算
p.9 練習1\({\small (1)}~\)①と⑧、③と⑤と⑥
\({\small (2)}~\)①と⑧、②と⑦、③と④
\({\small (3)}~\)①と⑧
\({\small (4)}~\)⑤と⑥
→ ベクトルの基本
\({\small (2)}~\)①と⑧、②と⑦、③と④
\({\small (3)}~\)①と⑧
\({\small (4)}~\)⑤と⑥
→ ベクトルの基本
p.11 練習3[証明] \(\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BD}+\overrightarrow{\rm CA}\)
\(=(\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BD})+\overrightarrow{\rm CA}\)
\(=\overrightarrow{\rm AD}+\overrightarrow{\rm CA}\)
\(=\overrightarrow{\rm CA}+\overrightarrow{\rm AD}\)
\(=\overrightarrow{\rm CD}\) [終]
\(=(\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BD})+\overrightarrow{\rm CA}\)
\(=\overrightarrow{\rm AD}+\overrightarrow{\rm CA}\)
\(=\overrightarrow{\rm CA}+\overrightarrow{\rm AD}\)
\(=\overrightarrow{\rm CD}\) [終]
p.12 練習4[証明] \(\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BC}+\overrightarrow{\rm CA}\)
\(=(\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BC})+\overrightarrow{\rm CA}\)
\(=\overrightarrow{\rm AC}+\overrightarrow{\rm CA}\)
\(=\overrightarrow{\rm AA}\)
\(=\overrightarrow{0}\) [終]
→ ベクトルの等式証明
\(=(\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BC})+\overrightarrow{\rm CA}\)
\(=\overrightarrow{\rm AC}+\overrightarrow{\rm CA}\)
\(=\overrightarrow{\rm AA}\)
\(=\overrightarrow{0}\) [終]
→ ベクトルの等式証明
p.13 練習6$${\small (1)}~{ \frac{1}{\,4\,}}$$$${\small (2)}~-2$$$${\small (3)}~-{ \frac{1}{\,2\,}}$$→ ベクトルの実数倍・加法・減法
p.13 練習7\({\small (1)}~\)
\({\small (2)}~\)
\({\small (3)}~\)
\({\small (4)}~\)
\({\small (2)}~\)
\({\small (3)}~\)
\({\small (4)}~\)
p.14 練習8$${\small (1)}~2\overrightarrow{a}$$$${\small (2)}~-7\overrightarrow{a}$$→ ベクトルの演算
p.15 練習9$${\small (1)}~4\overrightarrow{e}~,~-4\overrightarrow{e}$$$${\small (2)}~{ \frac{1}{\,3\,}}\overrightarrow{a}$$
p.16 練習10$${\small (1)}~2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$$$${\small (2)}~-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$$$${\small (3)}~-\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$$→ ベクトルの分解（正六角形のベクトル）
p.18 練習11$$~~~\overrightarrow{b}=(-1~,~3)~,~|\overrightarrow{b}|=\sqrt{10}$$$$~~~\overrightarrow{c}=(-2~,~-2)~,~|\overrightarrow{c}|=2\sqrt{2}$$$$~~~\overrightarrow{d}=(3~,~-4)~,~|\overrightarrow{d}|=5$$$$~~~\overrightarrow{e}=(-1~,~0)~,~|\overrightarrow{e}|=1$$→ ベクトルの成分と大きさ
p.19 練習12$${\small (1)}~(-1~,~1)$$$${\small (2)}~(12~,~-4)$$$${\small (3)}~(24~,~-10)$$$${\small (4)}~(-14~,~6)$$
p.19 練習13$$~~~\overrightarrow{c}=3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$$→ ベクトルの成分と式変形
p.19 練習14$${\small (1)}~x=6$$$${\small (2)}~x=4$$→ ベクトルの成分と平行条件
p.20 練習15$${\small (1)}~\overrightarrow{\rm AB}=(-4~,~4)~,~|\overrightarrow{\rm AB}|=4\sqrt{2}$$$${\small (2)}~\overrightarrow{\rm AB}=(5~,~-4)~,~|\overrightarrow{\rm AB}|=\sqrt{41}$$→ 点の座標とベクトルの成分
p.20 練習16$$~~~x=1~,~y=2$$→ 平行四辺形とベクトル
p.21 練習17$${\small (1)}~6\sqrt{2}$$$${\small (2)}~-18\sqrt{3}$$
p.22 練習18$${\small (1)}~-3$$$${\small (2)}~0$$→ ベクトルの内積①（基本）
p.23 練習19$${\small (1)}~-4$$$${\small (2)}~0$$→ ベクトルの内積②（成分利用）
p.24 練習20$${\small (1)}~135^\circ$$$${\small (2)}~30^\circ$$$${\small (3)}~90^\circ$$$${\small (4)}~180^\circ$$→ ベクトルのなす角
p.25 練習21$${\small (1)}~x=-8$$$${\small (2)}~x=2~,~-1$$
p.25 練習22$${\small (1)}~\overrightarrow{b}=(\sqrt{2}~,~-2\sqrt{2})~,~(-\sqrt{2}~,~2\sqrt{2})$$$${\small (2)}~\overrightarrow{e}=\left({ \frac{3}{\,5\,}}~,~-{ \frac{4}{\,5\,}}\right)~,~\left(-{ \frac{3}{\,5\,}}~,~{ \frac{4}{\,5\,}}\right)$$→ ベクトルの垂直条件
p.25 練習23\({\small (1)}~\)[証明]
\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=a_1a_2-a_2a_1=0\)
また、\(\overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0}\) より、\(a_1\neq0\) または \(a_2\neq0\)
よって、\(\overrightarrow{b}\neq\overrightarrow{0}\)
したがって、内積が \(0\) より \(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) は垂直である [終]
$${\small (2)}~\overrightarrow{e}=\left({ \frac{\,2\sqrt{5}\,}{5}}~,~-{ \frac{\,\sqrt{5}\,}{5}}\right)$$$$~~~~~~~~~,~\left(-{ \frac{\,2\sqrt{5}\,}{5}}~,~{ \frac{\,\sqrt{5}\,}{5}}\right)$$
\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=a_1a_2-a_2a_1=0\)
また、\(\overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0}\) より、\(a_1\neq0\) または \(a_2\neq0\)
よって、\(\overrightarrow{b}\neq\overrightarrow{0}\)
したがって、内積が \(0\) より \(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) は垂直である [終]
$${\small (2)}~\overrightarrow{e}=\left({ \frac{\,2\sqrt{5}\,}{5}}~,~-{ \frac{\,\sqrt{5}\,}{5}}\right)$$$$~~~~~~~~~,~\left(-{ \frac{\,2\sqrt{5}\,}{5}}~,~{ \frac{\,\sqrt{5}\,}{5}}\right)$$
p.26 練習24\({\small (1)}~\)[証明]
(左辺)
\(=|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|^2\)
\(=(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b})\)
\(=\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b})+2\overrightarrow{b}(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b})\)
\(=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\)
\(+2\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}+4\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}\)
\(=|\overrightarrow{a}|^2+4\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+4|\overrightarrow{b}|^2\)
\(=\) (右辺)
したがって、
\(|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|^2=|\overrightarrow{a}|^2+4\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+4|\overrightarrow{b}|^2\) [終]
\({\small (2)}~\)[証明]
(左辺)
\(=(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\)
\(=\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})+\overrightarrow{b}(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\)
\(=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}\)
\(=|\overrightarrow{a}|^2-|\overrightarrow{b}|^2\)
\(=\) (右辺)
したがって、
\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})=|\overrightarrow{a}|^2-|\overrightarrow{b}|^2\)
[終]
→ 内積を用いた等式証明
(左辺)
\(=|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|^2\)
\(=(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b})\)
\(=\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b})+2\overrightarrow{b}(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b})\)
\(=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\)
\(+2\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}+4\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}\)
\(=|\overrightarrow{a}|^2+4\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+4|\overrightarrow{b}|^2\)
\(=\) (右辺)
したがって、
\(|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|^2=|\overrightarrow{a}|^2+4\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+4|\overrightarrow{b}|^2\) [終]
\({\small (2)}~\)[証明]
(左辺)
\(=(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\)
\(=\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})+\overrightarrow{b}(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\)
\(=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}\)
\(=|\overrightarrow{a}|^2-|\overrightarrow{b}|^2\)
\(=\) (右辺)
したがって、
\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})=|\overrightarrow{a}|^2-|\overrightarrow{b}|^2\)
[終]
→ 内積を用いた等式証明
p.27 練習25$${\small (1)}~\sqrt{7}$$$${\small (2)}~\sqrt{37}$$→ 内積の性質の利用（ベクトルの大きさと内積）
p.27 練習26$$~~~\theta=60^\circ$$
p.28 研究 練習1 $$~~~3$$→ ベクトルと三角形の面積
問題
p.30 問題 3\({\small (1)}~\)[証明]
ベクトル \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}\) のなす角を \(\theta\) とすると、
\(\overrightarrow{a}\,//\,\overrightarrow{b}\)
\(~\Leftrightarrow~\theta=0^\circ\) または \(\theta=180^\circ\)
\(~\Leftrightarrow~\cos{\theta}=1\) または \(\cos{\theta}=-1\)
\(~\Leftrightarrow~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\) または \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=-|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\)
よって、\(|\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\)
\(|\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}|≧0~,~|\overrightarrow{a}|≧0~,~|\overrightarrow{b}|≧0\) であるので、
\(|\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}|^2=|\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2\)
それぞれの成分より、
\((a_1b_1+a_2b_2)^2=(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)\)
展開して計算すると、
\((a_1b_2-a_2b_1)^2=0\)
よって、
\(a_1b_2-a_2b_1=0\)
したがって、\(\overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0}~,~\overrightarrow{b}\neq\overrightarrow{0}\) で、
\(\overrightarrow{a}=(a_1,a_2)~,~\overrightarrow{b}=(b_1,b_2)\) のとき、
\(\overrightarrow{a}\,//\,\overrightarrow{b}~\Leftrightarrow~a_1b_2-a_2b_1=0\) [終]$${\small (2)}~x=-3$$
ベクトル \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}\) のなす角を \(\theta\) とすると、
\(\overrightarrow{a}\,//\,\overrightarrow{b}\)
\(~\Leftrightarrow~\theta=0^\circ\) または \(\theta=180^\circ\)
\(~\Leftrightarrow~\cos{\theta}=1\) または \(\cos{\theta}=-1\)
\(~\Leftrightarrow~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\) または \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=-|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\)
よって、\(|\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\)
\(|\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}|≧0~,~|\overrightarrow{a}|≧0~,~|\overrightarrow{b}|≧0\) であるので、
\(|\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}|^2=|\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2\)
それぞれの成分より、
\((a_1b_1+a_2b_2)^2=(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)\)
展開して計算すると、
\((a_1b_2-a_2b_1)^2=0\)
よって、
\(a_1b_2-a_2b_1=0\)
したがって、\(\overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0}~,~\overrightarrow{b}\neq\overrightarrow{0}\) で、
\(\overrightarrow{a}=(a_1,a_2)~,~\overrightarrow{b}=(b_1,b_2)\) のとき、
\(\overrightarrow{a}\,//\,\overrightarrow{b}~\Leftrightarrow~a_1b_2-a_2b_1=0\) [終]$${\small (2)}~x=-3$$
p.30 問題 6\({\small (1)}~\)[証明]
\(|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|\) の両辺を２乗すると、$$~~~|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|^2=|\overrightarrow{a}|^2+2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^2$$$$~~~|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|^2=|\overrightarrow{a}|^2-2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^2$$これより、$$\begin{eqnarray}~~~2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&-2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\\[2pt]~~~4\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&0\\[2pt]~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&0\end{eqnarray}$$したがって、$$~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0$$$$~~~~~~~\Leftrightarrow~|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$$[終]
\({\small (2)}~\)対角線 \({\rm OC}\) と \({\rm AB}\) の長さが等しい
\(|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|\) の両辺を２乗すると、$$~~~|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|^2=|\overrightarrow{a}|^2+2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^2$$$$~~~|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|^2=|\overrightarrow{a}|^2-2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^2$$これより、$$\begin{eqnarray}~~~2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&-2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\\[2pt]~~~4\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&0\\[2pt]~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&0\end{eqnarray}$$したがって、$$~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0$$$$~~~~~~~\Leftrightarrow~|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$$[終]
\({\small (2)}~\)対角線 \({\rm OC}\) と \({\rm AB}\) の長さが等しい
第２節 ベクトルと平面図形
p.31 練習27 $${\small (1)}~\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}$$$${\small (2)}~\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$$$${\small (3)}~\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$$
p.33 練習28 $${\small (1)}~{ \frac{3}{\,5\,}}\overrightarrow{a}+{ \frac{2}{\,5\,}}\overrightarrow{b}$$$${\small (2)}~{ \frac{1}{\,4\,}}\overrightarrow{a}+{ \frac{3}{\,4\,}}\overrightarrow{b}$$$${\small (3)}~-{ \frac{1}{\,3\,}}\overrightarrow{a}+{ \frac{\,4\,}{3}}\overrightarrow{b}$$$${\small (4)}~2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$$→ 内分点・外分点の位置ベクトル
p.35 練習29 $${\small (1)}~\overrightarrow{g’}={ \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{3}}$$\({\small (2)}~\)[証明] \({\rm G}\) の位置ベクトルが
\(\overrightarrow{g}={\large \frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3}}\)
であるので、
\(\overrightarrow{\rm GA}+\overrightarrow{\rm GB}+\overrightarrow{\rm GC}\)
\(=(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{g})+(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{g})+(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{g})\)
\(=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}-3\overrightarrow{g}\)
\(=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}-3\left({\large \frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3}}\right)\)
\(=\overrightarrow{0}\)
したがって、
\(\overrightarrow{\rm GA}+\overrightarrow{\rm GB}+\overrightarrow{\rm GC}=\overrightarrow{0}\) [終]
→ 重心の位置ベクトル
\(\overrightarrow{g}={\large \frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3}}\)
であるので、
\(\overrightarrow{\rm GA}+\overrightarrow{\rm GB}+\overrightarrow{\rm GC}\)
\(=(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{g})+(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{g})+(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{g})\)
\(=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}-3\overrightarrow{g}\)
\(=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}-3\left({\large \frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3}}\right)\)
\(=\overrightarrow{0}\)
したがって、
\(\overrightarrow{\rm GA}+\overrightarrow{\rm GB}+\overrightarrow{\rm GC}=\overrightarrow{0}\) [終]
→ 重心の位置ベクトル
p.36 練習30 [証明] \(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{c}\) とすると
点 \({\rm E}\) は辺 \({\rm BC}\) を \(3:1\) に内分するので、
\(\overrightarrow{\rm AE}={\large \frac{\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}}{3+1}}\)
\(={\large \frac{\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}}{4}}\)
また、\(\overrightarrow{\rm AD}={\large \frac{1}{3}}\overrightarrow{b}\) で、点 \({\rm F}\) は辺 \({\rm CD}\) の中点であるので、
\(\overrightarrow{\rm AF}={\large \frac{1}{2}}\left({\large \frac{1}{3}}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)\)
\(={\large \frac{\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}}{6}}\)
よって、
\(\overrightarrow{\rm AF}={\large \frac{\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}}{6}}={\large \frac{4}{6}}\cdot{\large \frac{\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}}{4}}\)
これより、
\(\overrightarrow{\rm AF}={\large \frac{2}{3}}\overrightarrow{\rm AE}\)
したがって、３点 \({\rm A~,~F~,~E}\) は一直線上にある [終]
→ ３点が同一直線上にある条件
点 \({\rm E}\) は辺 \({\rm BC}\) を \(3:1\) に内分するので、
\(\overrightarrow{\rm AE}={\large \frac{\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}}{3+1}}\)
\(={\large \frac{\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}}{4}}\)
また、\(\overrightarrow{\rm AD}={\large \frac{1}{3}}\overrightarrow{b}\) で、点 \({\rm F}\) は辺 \({\rm CD}\) の中点であるので、
\(\overrightarrow{\rm AF}={\large \frac{1}{2}}\left({\large \frac{1}{3}}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)\)
\(={\large \frac{\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}}{6}}\)
よって、
\(\overrightarrow{\rm AF}={\large \frac{\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}}{6}}={\large \frac{4}{6}}\cdot{\large \frac{\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}}{4}}\)
これより、
\(\overrightarrow{\rm AF}={\large \frac{2}{3}}\overrightarrow{\rm AE}\)
したがって、３点 \({\rm A~,~F~,~E}\) は一直線上にある [終]
→ ３点が同一直線上にある条件
p.37 練習31 $$~~~\overrightarrow{\rm OP}={ \frac{1}{\,2\,}}\overrightarrow{a}+{ \frac{1}{\,6\,}}\overrightarrow{b}$$→ ２直線の交点とベクトル
p.38 練習32 [証明] \(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm AD}=\overrightarrow{d}\) とすると、\({\rm AB=AD}\) より \(|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{d}|\)
次に、
\(\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d}~,~\overrightarrow{\rm DB}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{d}\)
これより、
\(\overrightarrow{\rm AC}\cdot\overrightarrow{\rm DB}\)
\(=(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d})\cdot(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{d})\)
\(=|\overrightarrow{b}|^2-|\overrightarrow{d}|^2\)
\(=0\)
よって、\(\overrightarrow{\rm AC}\neq\overrightarrow{0}~,~\overrightarrow{\rm DB}\neq\overrightarrow{0}\) であるので、
\(\overrightarrow{\rm AC}\perp\overrightarrow{\rm DB}\)
よって、\({\rm AC\perp DB}\)
したがって、
\({\rm AB=AD}\) ならば \({\rm AC\perp DB}\) [終]
次に、
\(\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d}~,~\overrightarrow{\rm DB}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{d}\)
これより、
\(\overrightarrow{\rm AC}\cdot\overrightarrow{\rm DB}\)
\(=(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d})\cdot(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{d})\)
\(=|\overrightarrow{b}|^2-|\overrightarrow{d}|^2\)
\(=0\)
よって、\(\overrightarrow{\rm AC}\neq\overrightarrow{0}~,~\overrightarrow{\rm DB}\neq\overrightarrow{0}\) であるので、
\(\overrightarrow{\rm AC}\perp\overrightarrow{\rm DB}\)
よって、\({\rm AC\perp DB}\)
したがって、
\({\rm AB=AD}\) ならば \({\rm AC\perp DB}\) [終]
p.40 練習33 $$\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x=2-4t \\y=-1+3t
\end{array}\right.\end{eqnarray}$$$$~~~3x+4y-2=0$$→ 直線のベクトル方程式
x=2-4t \\y=-1+3t
\end{array}\right.\end{eqnarray}$$$$~~~3x+4y-2=0$$→ 直線のベクトル方程式
p.41 練習34 \(\overrightarrow{\rm OA’}={\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{\rm OA}~,~\overrightarrow{\rm OB’}={\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{\rm OB}\) となる点を \({\rm A’~,~B’}\) とすると、線分 \({\rm A’B’}\)
→ ベクトルと点の存在範囲
→ ベクトルと点の存在範囲
p.42 練習35 \({\small (1)}~\)\(\overrightarrow{\rm OA’}=2\overrightarrow{\rm OA}~,~\overrightarrow{\rm OB’}=2\overrightarrow{\rm OB}\) となる \({\rm A’~,~B’}\) とすると、\({\rm \triangle {\rm OA’B’}}\) の周と内部
\({\small (2)}~\)\(\overrightarrow{\rm OA’}={\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{\rm OA}~,~\overrightarrow{\rm OB’}={\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{\rm OB}\) となる点を \({\rm A’~,~B’}\) とすると、\({\rm \triangle {\rm OA’B’}}\) の周と内部
→ ベクトルと点の存在範囲
\({\small (2)}~\)\(\overrightarrow{\rm OA’}={\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{\rm OA}~,~\overrightarrow{\rm OB’}={\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{\rm OB}\) となる点を \({\rm A’~,~B’}\) とすると、\({\rm \triangle {\rm OA’B’}}\) の周と内部
→ ベクトルと点の存在範囲
p.43 練習36 $${\small (1)}~x+2y-11=0$$$${\small (2)}~3x-4y+11=0$$→ 法線ベクトル
p.44 練習37 \({\small (1)}~\)中心 \(\overrightarrow{a}\)、半径 \(3\)
\({\small (2)}~\)中心 \({\large \frac{1}{\,2\,}}\overrightarrow{a}\)、半径 \(2\)
→ 円のベクトル方程式
\({\small (2)}~\)中心 \({\large \frac{1}{\,2\,}}\overrightarrow{a}\)、半径 \(2\)
→ 円のベクトル方程式
p.44 練習38 [証明]
(ⅰ) \({\rm P}\) が \({\rm O}\) に一致するとき、
\(\overrightarrow{p}=\overrightarrow{0}\)
よって、
\(\overrightarrow{p}\cdot(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})=0\)
(ⅱ) \({\rm P}\) が \({\rm A}\) に一致するとき、
\(\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}\)
よって、
\(\overrightarrow{p}\cdot(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})=0\)
(ⅲ) \({\rm P}\) が \({\rm O~,~A}\) に一致しないとき、
\({\rm OP\perp AP}~\Leftrightarrow~\overrightarrow{\rm OP}\cdot\overrightarrow{\rm AP}=0\)
よって、
\(\overrightarrow{p}\cdot(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})=0\)
したがって、このベクトル方程式は、
\(\overrightarrow{p}\cdot(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})=0\) [終]
→ 円のベクトル方程式
(ⅰ) \({\rm P}\) が \({\rm O}\) に一致するとき、
\(\overrightarrow{p}=\overrightarrow{0}\)
よって、
\(\overrightarrow{p}\cdot(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})=0\)
(ⅱ) \({\rm P}\) が \({\rm A}\) に一致するとき、
\(\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}\)
よって、
\(\overrightarrow{p}\cdot(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})=0\)
(ⅲ) \({\rm P}\) が \({\rm O~,~A}\) に一致しないとき、
\({\rm OP\perp AP}~\Leftrightarrow~\overrightarrow{\rm OP}\cdot\overrightarrow{\rm AP}=0\)
よって、
\(\overrightarrow{p}\cdot(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})=0\)
したがって、このベクトル方程式は、
\(\overrightarrow{p}\cdot(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})=0\) [終]
→ 円のベクトル方程式
問題
p.46 問題 7 [証明] \(\overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{\rm OC}=\overrightarrow{c}\) とすると
\(\overrightarrow{\rm OD}={\large \frac{2}{3}}\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{\rm OE}={\large \frac{2}{3}}\overrightarrow{c}\)
よって、
\(\overrightarrow{\rm DE}=\overrightarrow{\rm OE}-\overrightarrow{\rm OD}={\large \frac{2}{3}}\overrightarrow{c}-{\large \frac{2}{3}}\overrightarrow{a}\)
次に、
\(\overrightarrow{\rm OF}={\large \frac{1}{3}}\overrightarrow{\rm OB}={\large \frac{1}{3}}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c})\)
これより、
\(\overrightarrow{\rm DF}=\overrightarrow{\rm OF}-\overrightarrow{\rm OD}={\large \frac{1}{3}}\overrightarrow{c}-{\large \frac{1}{3}}\overrightarrow{a}\)
よって、
\(\overrightarrow{\rm DE}=2\left({\large \frac{1}{3}}\overrightarrow{c}-{\large \frac{1}{3}}\overrightarrow{a}\right)\)
これより、
\(\overrightarrow{\rm DE}=2\overrightarrow{\rm DF}\)
したがって、３点 \({\rm D~,~F~,~E}\) は一直線上にある [終]
\(\overrightarrow{\rm OD}={\large \frac{2}{3}}\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{\rm OE}={\large \frac{2}{3}}\overrightarrow{c}\)
よって、
\(\overrightarrow{\rm DE}=\overrightarrow{\rm OE}-\overrightarrow{\rm OD}={\large \frac{2}{3}}\overrightarrow{c}-{\large \frac{2}{3}}\overrightarrow{a}\)
次に、
\(\overrightarrow{\rm OF}={\large \frac{1}{3}}\overrightarrow{\rm OB}={\large \frac{1}{3}}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c})\)
これより、
\(\overrightarrow{\rm DF}=\overrightarrow{\rm OF}-\overrightarrow{\rm OD}={\large \frac{1}{3}}\overrightarrow{c}-{\large \frac{1}{3}}\overrightarrow{a}\)
よって、
\(\overrightarrow{\rm DE}=2\left({\large \frac{1}{3}}\overrightarrow{c}-{\large \frac{1}{3}}\overrightarrow{a}\right)\)
これより、
\(\overrightarrow{\rm DE}=2\overrightarrow{\rm DF}\)
したがって、３点 \({\rm D~,~F~,~E}\) は一直線上にある [終]
p.46 問題 10 [証明]
(ⅰ) \({\rm A}\) と \({\rm P}\) が一致するとき、
\(\overrightarrow{\rm AP}=\overrightarrow{0}\)
よって、
\(\overrightarrow{\rm AP}\cdot\overrightarrow{\rm CA}=0\)
(ⅱ) \({\rm A}\) と \({\rm P}\) が一致しないとき、
\(\overrightarrow{\rm AP}\perp\overrightarrow{\rm CA}\)
よって、
\(\overrightarrow{\rm AP}\cdot\overrightarrow{\rm CA}=0\)
これらより、
\((\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})=0\) …①
次に、\(|\overrightarrow{\rm CA}|=r\) より、
\(|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}|^2=r^2\)
また、
\((\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})=r^2\) …②
よって、①＋②より
\((\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})\)
\(+(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})=r^2\)
\((\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})=r^2\)
\((\overrightarrow{p}-\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})=r^2\)
したがって、接線のベクトル方程式は、
\((\overrightarrow{p}-\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})=r^2\) [終]
(ⅰ) \({\rm A}\) と \({\rm P}\) が一致するとき、
\(\overrightarrow{\rm AP}=\overrightarrow{0}\)
よって、
\(\overrightarrow{\rm AP}\cdot\overrightarrow{\rm CA}=0\)
(ⅱ) \({\rm A}\) と \({\rm P}\) が一致しないとき、
\(\overrightarrow{\rm AP}\perp\overrightarrow{\rm CA}\)
よって、
\(\overrightarrow{\rm AP}\cdot\overrightarrow{\rm CA}=0\)
これらより、
\((\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})=0\) …①
次に、\(|\overrightarrow{\rm CA}|=r\) より、
\(|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}|^2=r^2\)
また、
\((\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})=r^2\) …②
よって、①＋②より
\((\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})\)
\(+(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})=r^2\)
\((\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})=r^2\)
\((\overrightarrow{p}-\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})=r^2\)
したがって、接線のベクトル方程式は、
\((\overrightarrow{p}-\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})=r^2\) [終]
章末問題 平面上のベクトル
章末問題Ａ
p.47 章末問題Ａ 4 \({\small (1)}~\)[証明] \({\rm G}\) は \(\triangle {\rm ABC}\) の重心であるので、
\(\overrightarrow{\rm OG}={\large \frac{\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm OB}+\overrightarrow{\rm OC}}{3}}\)
よって、
\(\overrightarrow{\rm OG}={\large \frac{1}{3}}\overrightarrow{\rm OH}\)
したがって、３点 \({\rm O~,~G~,~H}\) は同一直線上にある [終]
\({\small (2)}~\)[証明]
(ⅰ) \(\triangle {\rm ABC}\) が直角三角形であるとき、
\(\angle{\rm A}=90^\circ\) のとき、\({\rm BC}\) が外接円の直径となり \(\overrightarrow{\rm OB}=-\overrightarrow{\rm OC}\)
よって、
\(\overrightarrow{\rm OH}=\overrightarrow{\rm OA}\)
\({\rm H}\) と \({\rm A}\) は一致して \({\rm H}\) は \(\triangle {\rm ABC}\) の垂心となる
\(\angle{\rm B}=90^\circ~,~\angle{\rm C}=90^\circ\) の場合でも \({\rm H}\) は \(\triangle {\rm ABC}\) の垂心となる
(ⅱ) \(\triangle {\rm ABC}\) が直角三角形でないとき、
\(\overrightarrow{\rm AH}=\overrightarrow{\rm OH}-\overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{\rm OB}+\overrightarrow{\rm OC}\)
また、
\(\overrightarrow{\rm BC}=\overrightarrow{\rm OC}-\overrightarrow{\rm OB}\)
よって、
\(\overrightarrow{\rm AH}\cdot\overrightarrow{\rm BC}\)
\(=(\overrightarrow{\rm OB}+\overrightarrow{\rm OC})\cdot(\overrightarrow{\rm OC}-\overrightarrow{\rm OB})\)
\(=|\overrightarrow{\rm OC}|^2-|\overrightarrow{\rm OB}|^2\)
ここで、\({\rm OB~,~OC}\) は外接円の半径より、
\(=0\)
よって、\(\overrightarrow{\rm AH}\neq\overrightarrow{0}~,~\overrightarrow{\rm BC}\neq\overrightarrow{0}\) より
\({\rm AH\perp BC}\)
また、他でも同様に、
\({\rm BH\perp CA~,~CH\perp AB}\)
したがって、\({\rm H}\) は \(\triangle {\rm ABC}\) の垂心である [終]
\(\overrightarrow{\rm OG}={\large \frac{\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm OB}+\overrightarrow{\rm OC}}{3}}\)
よって、
\(\overrightarrow{\rm OG}={\large \frac{1}{3}}\overrightarrow{\rm OH}\)
したがって、３点 \({\rm O~,~G~,~H}\) は同一直線上にある [終]
\({\small (2)}~\)[証明]
(ⅰ) \(\triangle {\rm ABC}\) が直角三角形であるとき、
\(\angle{\rm A}=90^\circ\) のとき、\({\rm BC}\) が外接円の直径となり \(\overrightarrow{\rm OB}=-\overrightarrow{\rm OC}\)
よって、
\(\overrightarrow{\rm OH}=\overrightarrow{\rm OA}\)
\({\rm H}\) と \({\rm A}\) は一致して \({\rm H}\) は \(\triangle {\rm ABC}\) の垂心となる
\(\angle{\rm B}=90^\circ~,~\angle{\rm C}=90^\circ\) の場合でも \({\rm H}\) は \(\triangle {\rm ABC}\) の垂心となる
(ⅱ) \(\triangle {\rm ABC}\) が直角三角形でないとき、
\(\overrightarrow{\rm AH}=\overrightarrow{\rm OH}-\overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{\rm OB}+\overrightarrow{\rm OC}\)
また、
\(\overrightarrow{\rm BC}=\overrightarrow{\rm OC}-\overrightarrow{\rm OB}\)
よって、
\(\overrightarrow{\rm AH}\cdot\overrightarrow{\rm BC}\)
\(=(\overrightarrow{\rm OB}+\overrightarrow{\rm OC})\cdot(\overrightarrow{\rm OC}-\overrightarrow{\rm OB})\)
\(=|\overrightarrow{\rm OC}|^2-|\overrightarrow{\rm OB}|^2\)
ここで、\({\rm OB~,~OC}\) は外接円の半径より、
\(=0\)
よって、\(\overrightarrow{\rm AH}\neq\overrightarrow{0}~,~\overrightarrow{\rm BC}\neq\overrightarrow{0}\) より
\({\rm AH\perp BC}\)
また、他でも同様に、
\({\rm BH\perp CA~,~CH\perp AB}\)
したがって、\({\rm H}\) は \(\triangle {\rm ABC}\) の垂心である [終]
p.47 章末問題Ａ 5 $${\small (1)}~\overrightarrow{\rm AP}={ \frac{1}{\,6\,}}\overrightarrow{b}+{ \frac{1}{\,2\,}}\overrightarrow{c}$$\({\small (2)}~\)[証明] \(\overrightarrow{\rm AF}={\large \frac{3}{5}}\overrightarrow{c}\) より、
\(\overrightarrow{\rm BF}\)
\(=\overrightarrow{\rm AF}-\overrightarrow{\rm AB}\)
\(={\large \frac{3}{5}}\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}\)
\(={\large \frac{-5\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}}{5}}\)
次に、
\(\overrightarrow{\rm BP}\)
\(=\overrightarrow{\rm AP}-\overrightarrow{\rm AB}\)
\(={\large \frac{1}{6}}\overrightarrow{b}+{\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}\)
\(={\large \frac{-5\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}}{6}}\)
\(={\large \frac{5}{6}}\cdot{\large \frac{-5\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}}{5}}\)
よって、
\(\overrightarrow{\rm BP}={\large \frac{5}{6}}\overrightarrow{\rm BF}\)
したがって、３点 \({\rm B~,~P~,~F}\) は同一直線上にある [終]
\(\overrightarrow{\rm BF}\)
\(=\overrightarrow{\rm AF}-\overrightarrow{\rm AB}\)
\(={\large \frac{3}{5}}\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}\)
\(={\large \frac{-5\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}}{5}}\)
次に、
\(\overrightarrow{\rm BP}\)
\(=\overrightarrow{\rm AP}-\overrightarrow{\rm AB}\)
\(={\large \frac{1}{6}}\overrightarrow{b}+{\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}\)
\(={\large \frac{-5\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}}{6}}\)
\(={\large \frac{5}{6}}\cdot{\large \frac{-5\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}}{5}}\)
よって、
\(\overrightarrow{\rm BP}={\large \frac{5}{6}}\overrightarrow{\rm BF}\)
したがって、３点 \({\rm B~,~P~,~F}\) は同一直線上にある [終]
p.48 章末問題Ｂ 8 [証明]
\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{c}\) とすると、
\(\overrightarrow{\rm AM}={\large \frac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{2}}\)
これより、
\(|\overrightarrow{\rm AM}|^2={\large \frac{1}{4}}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\)
また、
\(\overrightarrow{\rm BM}={\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{\rm BC}={\large \frac{\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}}{2}}\)
これより、
\(|\overrightarrow{\rm BM}|^2={\large \frac{1}{4}}(\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b})\)
よって、
\(2({\rm AM}^2+{\rm BM}^2)\)
\(={\large \frac{1}{2}}(|\overrightarrow{b}|^2+2\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}+|\overrightarrow{c}|^2\)
\(+|\overrightarrow{c}|^2-2\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}+|\overrightarrow{b}|^2)\)
\(={\large \frac{1}{2}}(2|\overrightarrow{b}|^2+2|\overrightarrow{c}|^2)\)
\(=|\overrightarrow{b}|^2+|\overrightarrow{c}|^2\)
\(={\rm AB^2+AC^2}\)
したがって、
\(2({\rm AM}^2+{\rm BM}^2)={\rm AB^2+AC^2}\) [終]
\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{c}\) とすると、
\(\overrightarrow{\rm AM}={\large \frac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{2}}\)
これより、
\(|\overrightarrow{\rm AM}|^2={\large \frac{1}{4}}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\)
また、
\(\overrightarrow{\rm BM}={\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{\rm BC}={\large \frac{\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}}{2}}\)
これより、
\(|\overrightarrow{\rm BM}|^2={\large \frac{1}{4}}(\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b})\)
よって、
\(2({\rm AM}^2+{\rm BM}^2)\)
\(={\large \frac{1}{2}}(|\overrightarrow{b}|^2+2\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}+|\overrightarrow{c}|^2\)
\(+|\overrightarrow{c}|^2-2\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}+|\overrightarrow{b}|^2)\)
\(={\large \frac{1}{2}}(2|\overrightarrow{b}|^2+2|\overrightarrow{c}|^2)\)
\(=|\overrightarrow{b}|^2+|\overrightarrow{c}|^2\)
\(={\rm AB^2+AC^2}\)
したがって、
\(2({\rm AM}^2+{\rm BM}^2)={\rm AB^2+AC^2}\) [終]
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