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第１章 平面のベクトル
第２章 空間のベクトル
第３章 複素数平面
第４章 式と曲線
第２章 空間のベクトル
p.51 練習1 $${\small (1)}~(-1~,~3~,~2)$$$${\small (2)}~(1~,~-3~,~2)$$$${\small (3)}~(-1~,~-3~,~2)$$$${\small (4)}~(-1~,~-3~,~-2)$$
p.51 練習2 $${\small (1)}~7$$$${\small (2)}~5\sqrt{2}$$→ 空間の点の座標
p.52 練習3 等しいベクトル \(\overrightarrow{\rm BF}~,~\overrightarrow{\rm CG}~,~\overrightarrow{\rm DH}\)
逆ベクトル \(\overrightarrow{\rm CB}~,~\overrightarrow{\rm GF}~,~\overrightarrow{\rm HE}\)
逆ベクトル \(\overrightarrow{\rm CB}~,~\overrightarrow{\rm GF}~,~\overrightarrow{\rm HE}\)
p.53 練習4 $${\small (1)}~{\rm C}$$$${\small (2)}~{\rm B}$$
p.53 練習5 $${\small (1)}~\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$$$${\small (2)}~-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$$$${\small (3)}~\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$$$${\small (4)}~\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$$→ 空間ベクトルの基本と分解
p.55 練習6 $$~~~x=6~,~y=-3~,~z=4$$
p.56 練習7 $${\small (1)}~3$$$${\small (2)}~5\sqrt{2}$$→ 空間ベクトルの成分と大きさ
p.57 練習8 $${\small (1)}~(5~,~0~,~-2)$$$${\small (2)}~(-3~,~6~,~-2)$$$${\small (3)}~(14~,~-3~,~-4)$$$${\small (4)}~(21~,~-27~,~6)$$→ 空間ベクトルの成分と式変形
p.57 練習9 $${\small (1)}~(1~,~-2~,~1)~,~\sqrt{6}$$$${\small (2)}~(-2~,~-4~,~4)~,~6$$→ 空間の点とベクトルの成分
p.59 練習10 $${\small (1)}~-7~,~120^\circ$$$${\small (2)}~0~,~90^\circ$$→ 空間ベクトルの内積②（成分利用）
p.59 練習11 $$~~~135^\circ$$
p.60 練習12 $$~~~(1~,~1~,~2)~,~(-1~,~-1~,~-2)$$→ 空間ベクトルの垂直条件
p.61 練習13 $$~~~\overrightarrow{p}={ \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}\,}{4}}$$→ 空間の位置ベクトル
p.62 練習14 [証明] \(\overrightarrow{\rm OD}={\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{\rm OE}={\large \frac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{2}}\) より、
\(\overrightarrow{\rm OM}={\large \frac{\overrightarrow{\rm OD}+\overrightarrow{\rm OE}}{2}}={\large \frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{4}}\)
次に、
\(\overrightarrow{\rm OG}\)
\(={\large \frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3}}\)
\(={\large \frac{4}{3}}\cdot{\large \frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{4}}\)
\(={\large \frac{4}{3}}\overrightarrow{\rm OM}\)
したがって、３点 \({\rm O~,~M~,~G}\) は同一直線上にある [終]
→ 空間の３点が同一直線上にある条件
\(\overrightarrow{\rm OM}={\large \frac{\overrightarrow{\rm OD}+\overrightarrow{\rm OE}}{2}}={\large \frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{4}}\)
次に、
\(\overrightarrow{\rm OG}\)
\(={\large \frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3}}\)
\(={\large \frac{4}{3}}\cdot{\large \frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{4}}\)
\(={\large \frac{4}{3}}\overrightarrow{\rm OM}\)
したがって、３点 \({\rm O~,~M~,~G}\) は同一直線上にある [終]
→ 空間の３点が同一直線上にある条件
p.63 練習15 $$~~~5$$→ 空間の４点が同一平面上にある条件
p.64 練習16 $$~~~\overrightarrow{\rm OP}={ \frac{1}{\,3\,}}\overrightarrow{a}+{ \frac{4}{\,9\,}}\overrightarrow{b}+{ \frac{2}{\,9\,}}\overrightarrow{c}$$→ 延長線が平面上にある条件
p.66 練習17 [証明]
\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{c}\)
\(\overrightarrow{\rm AD}=\overrightarrow{d}~,~\overrightarrow{\rm AG}=\overrightarrow{g}\)
とすると、
\(\overrightarrow{g}={\large \frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3}}\)
よって、
\(\overrightarrow{\rm AG}\cdot\overrightarrow{\rm BC}\)
\(=\overrightarrow{g}\cdot(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b})\)
\(=\left({\large \frac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}}{3}}\right)\cdot(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b})\)
\(={\large \frac{1}{3}}(-|\overrightarrow{b}|^2+|\overrightarrow{c}|^2\)
\(+\overrightarrow{d}\cdot\overrightarrow{c}-\overrightarrow{d}\cdot\overrightarrow{b})\)
ここで、正四面体であるので
\(|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|\)
また、それぞれのなす角が \(60^\circ\) で等しく長さも等しいので
\(\overrightarrow{d}\cdot\overrightarrow{c}=\overrightarrow{d}\cdot\overrightarrow{b}\)
よって、
\(\overrightarrow{\rm AG}\cdot\overrightarrow{\rm BC}=0\)
\(\overrightarrow{\rm AG}\neq\overrightarrow{0}~,~\overrightarrow{\rm BC}\neq\overrightarrow{0}\) であるので、\(\overrightarrow{\rm AG}\perp\overrightarrow{\rm BC}\)
したがって、\({\rm AG\perp BC}\) [終]
→ 空間ベクトルの内積と証明
\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{c}\)
\(\overrightarrow{\rm AD}=\overrightarrow{d}~,~\overrightarrow{\rm AG}=\overrightarrow{g}\)
とすると、
\(\overrightarrow{g}={\large \frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3}}\)
よって、
\(\overrightarrow{\rm AG}\cdot\overrightarrow{\rm BC}\)
\(=\overrightarrow{g}\cdot(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b})\)
\(=\left({\large \frac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}}{3}}\right)\cdot(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b})\)
\(={\large \frac{1}{3}}(-|\overrightarrow{b}|^2+|\overrightarrow{c}|^2\)
\(+\overrightarrow{d}\cdot\overrightarrow{c}-\overrightarrow{d}\cdot\overrightarrow{b})\)
ここで、正四面体であるので
\(|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|\)
また、それぞれのなす角が \(60^\circ\) で等しく長さも等しいので
\(\overrightarrow{d}\cdot\overrightarrow{c}=\overrightarrow{d}\cdot\overrightarrow{b}\)
よって、
\(\overrightarrow{\rm AG}\cdot\overrightarrow{\rm BC}=0\)
\(\overrightarrow{\rm AG}\neq\overrightarrow{0}~,~\overrightarrow{\rm BC}\neq\overrightarrow{0}\) であるので、\(\overrightarrow{\rm AG}\perp\overrightarrow{\rm BC}\)
したがって、\({\rm AG\perp BC}\) [終]
→ 空間ベクトルの内積と証明
p.67 練習18 $${\small (1)}~3\sqrt{6}$$$${\small (2)}~\left({ \frac{\,5\,}{2}},0,-{ \frac{1}{\,2\,}}\right)$$$${\small (3)}~(3~,~-1~,~0)$$$${\small (4)}~(7~,~-9~,~4)$$
p.67 練習19 $$~~~(2~,~1~,~2)$$
p.68 練習20 $${\small (1)}~z=3$$$${\small (2)}~x=1$$$${\small (3)}~y=2$$
p.69 練習21 $${\small (1)}~x^2+y^2+z^2=9$$$${\small (2)}~(x-1)^2+(y-2)^2+(z+3)^2=16$$$${\small (3)}~x^2+(y-4)^2+(z-1)^2=20$$$${\small (4)}~x^2+(y-3)^2+(z+1)^2=17$$→ 球面の方程式
p.70 練習22 中心 \((0~,~-2~,~3)\)、半径 \(3\)
p.70 発展 練習1 $$~~~2x-y+4z=1$$
問題
p.72 問題 3 [証明] \({\rm DM}\) を \(2:1\) に内分する点を \({\rm P}\) とすると、
\(\overrightarrow{\rm OP}={\large \frac{\overrightarrow{\rm OD}+2\overrightarrow{\rm OM}}{3}}\)
ここで、
\(\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{\rm OD}\)
\(2\overrightarrow{\rm OM}=\overrightarrow{\rm OC}\)
これらより、
\(\overrightarrow{\rm OP}={\large \frac{\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm OB}+\overrightarrow{\rm OC}}{3}}\)
よって、点 \({\rm P}\) は \(\triangle {\rm ABC}\) の重心 \({\rm G}\) と一致する
したがって、点 \({\rm G}\) は線分 \({\rm DM}\) 上にあり、\({\rm DM}\) を \(2:1\) に内分する [終]
\(\overrightarrow{\rm OP}={\large \frac{\overrightarrow{\rm OD}+2\overrightarrow{\rm OM}}{3}}\)
ここで、
\(\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{\rm OD}\)
\(2\overrightarrow{\rm OM}=\overrightarrow{\rm OC}\)
これらより、
\(\overrightarrow{\rm OP}={\large \frac{\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm OB}+\overrightarrow{\rm OC}}{3}}\)
よって、点 \({\rm P}\) は \(\triangle {\rm ABC}\) の重心 \({\rm G}\) と一致する
したがって、点 \({\rm G}\) は線分 \({\rm DM}\) 上にあり、\({\rm DM}\) を \(2:1\) に内分する [終]
章末問題 空間のベクトル
p.74 章末問題Ｂ 11 [証明]
\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{c}~,~\overrightarrow{\rm AD}=\overrightarrow{d}\)
とすると、\({\rm AC\perp BD}\) より、
\(\overrightarrow{\rm AC}\cdot\overrightarrow{\rm BD}=0\)
よって、
\(\overrightarrow{c}\cdot(\overrightarrow{d}-\overrightarrow{b})=0\)
これより、
\(\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{d}=\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}\) …①
次に、
\({\rm AD^2+BC^2}\)
\(=|\overrightarrow{d}|^2+|\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}|^2\)
\(=|\overrightarrow{d}|^2+|\overrightarrow{c}|^2-2\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^2\)
\(=|\overrightarrow{b}|^2+|\overrightarrow{c}|^2 +|\overrightarrow{d}|^2-2\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{b}\)
また、
\({\rm AB^2+CD^2}\)
\(=|\overrightarrow{b}|^2+|\overrightarrow{d}-\overrightarrow{c}|^2\)
\(=|\overrightarrow{b}|^2+|\overrightarrow{d}|^2-2\overrightarrow{d}\cdot\overrightarrow{c}+|\overrightarrow{c}|^2\)
\(=|\overrightarrow{b}|^2+|\overrightarrow{c}|^2 +|\overrightarrow{d}|^2-2\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{d}\)
よって、①より
\({\rm AD^2+BC^2=AB^2+CD^2}\)
したがって、\({\rm AC\perp BD}\) ならば
\({\rm AD^2+BC^2=AB^2+CD^2}\) [終]
\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{c}~,~\overrightarrow{\rm AD}=\overrightarrow{d}\)
とすると、\({\rm AC\perp BD}\) より、
\(\overrightarrow{\rm AC}\cdot\overrightarrow{\rm BD}=0\)
よって、
\(\overrightarrow{c}\cdot(\overrightarrow{d}-\overrightarrow{b})=0\)
これより、
\(\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{d}=\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}\) …①
次に、
\({\rm AD^2+BC^2}\)
\(=|\overrightarrow{d}|^2+|\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}|^2\)
\(=|\overrightarrow{d}|^2+|\overrightarrow{c}|^2-2\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^2\)
\(=|\overrightarrow{b}|^2+|\overrightarrow{c}|^2 +|\overrightarrow{d}|^2-2\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{b}\)
また、
\({\rm AB^2+CD^2}\)
\(=|\overrightarrow{b}|^2+|\overrightarrow{d}-\overrightarrow{c}|^2\)
\(=|\overrightarrow{b}|^2+|\overrightarrow{d}|^2-2\overrightarrow{d}\cdot\overrightarrow{c}+|\overrightarrow{c}|^2\)
\(=|\overrightarrow{b}|^2+|\overrightarrow{c}|^2 +|\overrightarrow{d}|^2-2\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{d}\)
よって、①より
\({\rm AD^2+BC^2=AB^2+CD^2}\)
したがって、\({\rm AC\perp BD}\) ならば
\({\rm AD^2+BC^2=AB^2+CD^2}\) [終]
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