このページは、数研出版：高等学校数学Ｃ[709]
第１章 平面のベクトル
第１章 平面のベクトル
それぞれの問題の解説はありませんが、類題の解説はリンク先にありますので参考にしてください。
また、解答は独自で解いたものですので、間違えやタイプミス等がありましたらご連絡ください。
数研出版：高等学校数学Ⅲ[709]の解答はこちらから↓
【新課程】数研出版：高等学校数学Ⅲ[709]
このページは、数研出版：高等学校数学Ⅲそれぞれの問題の解説はありませんが、類題の解説はリンク先にあり...
yorikuwa.com
教科書の復習から入試の入門まで｜数学入門問題精講
旺文社の入門問題精講シリーズの紹介高校生の皆さん、数学の勉強に困ったことはありませんか？教科書の内容...
yorikuwa.com
リンク
文字数が多く、重くなるのでページを分割しています。
各章は下のリンクまたはページ下の「次へ」をクリックしてください。
高等学校数学Ｃ 第１章 平面のベクトル
高等学校数学Ｃ 第２章 空間のベクトル
高等学校数学Ｃ 第３章 複素数平面
高等学校数学Ｃ 第４章 式と曲線
第１章 平面上のベクトル
第１節 ベクトルとその演算
p.9 練習1\({\small (1)}~\)①と⑧、③と⑤と⑥
\({\small (2)}~\)①と⑧、②と⑦、③と④
\({\small (3)}~\)①と⑧
\({\small (4)}~\)⑤と⑥
解法のPoint｜ベクトルの大きさと等しいベクトル
\({\small (2)}~\)①と⑧、②と⑦、③と④
\({\small (3)}~\)①と⑧
\({\small (4)}~\)⑤と⑥
解法のPoint｜ベクトルの大きさと等しいベクトル
p.11 練習3[証明] \(\vec{\rm AB}+\vec{\rm BD}+\vec{\rm CA}\)
\(=(\vec{\rm AB}+\vec{\rm BD})+\vec{\rm CA}\)
\(=\vec{\rm AD}+\vec{\rm CA}\)
\(=\vec{\rm CA}+\vec{\rm AD}\)
\(=\vec{\rm CD}\) [終]
解法のPoint｜ベクトルの等式の証明方法
\(=(\vec{\rm AB}+\vec{\rm BD})+\vec{\rm CA}\)
\(=\vec{\rm AD}+\vec{\rm CA}\)
\(=\vec{\rm CA}+\vec{\rm AD}\)
\(=\vec{\rm CD}\) [終]
解法のPoint｜ベクトルの等式の証明方法
p.12 練習4[証明] \(\vec{\rm AB}+\vec{\rm BC}+\vec{\rm CA}\)
\(=(\vec{\rm AB}+\vec{\rm BC})+\vec{\rm CA}\)
\(=\vec{\rm AC}+\vec{\rm CA}\)
\(=\vec{\rm AA}\)
\(=\vec{0}\) [終]
解法のPoint｜ベクトルの等式の証明方法
\(=(\vec{\rm AB}+\vec{\rm BC})+\vec{\rm CA}\)
\(=\vec{\rm AC}+\vec{\rm CA}\)
\(=\vec{\rm AA}\)
\(=\vec{0}\) [終]
解法のPoint｜ベクトルの等式の証明方法
p.13 練習6\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\) \({\small (2)}~-2\) \({\small (3)}~-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
解法のPoint｜ベクトルの実数倍の図示
解法のPoint｜ベクトルの実数倍の図示
p.13 練習7\({\small (1)}~\)
\({\small (2)}~\)
\({\small (3)}~\)
\({\small (4)}~\)
解法のPoint｜ベクトルの実数倍の図示
\({\small (2)}~\)
\({\small (3)}~\)
\({\small (4)}~\)
解法のPoint｜ベクトルの実数倍の図示
p.15 練習9\({\small (1)}~4\vec{e}~,~-4\vec{e}\)
解法のPoint｜単位ベクトルと平行なベクトルの表し方
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\vec{a}\)
解法のPoint｜ベクトルと平行な単位ベクトル
解法のPoint｜単位ベクトルと平行なベクトルの表し方
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\vec{a}\)
解法のPoint｜ベクトルと平行な単位ベクトル
p.16 練習10\({\small (1)}~2\vec{a}+\vec{b}\)
\({\small (2)}~-\vec{a}-\vec{b}\)
\({\small (3)}~-\vec{a}-2\vec{b}\)
解法のPoint｜正六角形のベクトルの表し方
\({\small (2)}~-\vec{a}-\vec{b}\)
\({\small (3)}~-\vec{a}-2\vec{b}\)
解法のPoint｜正六角形のベクトルの表し方
p.18 練習11\(~~~\vec{b}=(-1~,~3)~,~|\vec{b}|=\sqrt{10}\)
\(~~~\vec{c}=(-2~,~-2)~,~|\vec{c}|=2\sqrt{2}\)
\(~~~\vec{d}=(3~,~-4)~,~|\vec{d}|=5\)
\(~~~\vec{e}=(-1~,~0)~,~|\vec{e}|=1\)
解法のPoint｜ベクトルの成分と大きさ
\(~~~\vec{c}=(-2~,~-2)~,~|\vec{c}|=2\sqrt{2}\)
\(~~~\vec{d}=(3~,~-4)~,~|\vec{d}|=5\)
\(~~~\vec{e}=(-1~,~0)~,~|\vec{e}|=1\)
解法のPoint｜ベクトルの成分と大きさ
p.19 練習12\({\small (1)}~(-1~,~1)\)
\({\small (2)}~(12~,~-4)\)
\({\small (3)}~(24~,~-10)\)
\({\small (4)}~(-14~,~6)\)
解法のPoint｜ベクトルの成分を用いた計算
\({\small (2)}~(12~,~-4)\)
\({\small (3)}~(24~,~-10)\)
\({\small (4)}~(-14~,~6)\)
解法のPoint｜ベクトルの成分を用いた計算
p.20 練習15\({\small (1)}~\vec{\rm AB}=(-4~,~4)~,~|\vec{\rm AB}|=4\sqrt{2}\)
\({\small (2)}~\vec{\rm AB}=(5~,~-4)~,~|\vec{\rm AB}|=\sqrt{41}\)
解法のPoint｜2点の座標とベクトルの成分・大きさ
\({\small (2)}~\vec{\rm AB}=(5~,~-4)~,~|\vec{\rm AB}|=\sqrt{41}\)
解法のPoint｜2点の座標とベクトルの成分・大きさ
p.24 練習20\({\small (1)}~135^\circ\) \({\small (2)}~30^\circ\)
\({\small (3)}~90^\circ\) \({\small (4)}~180^\circ\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\({\small (3)}~90^\circ\) \({\small (4)}~180^\circ\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.25 練習22\({\small (1)}~\vec{b}=(\sqrt{2}~,~-2\sqrt{2})~,~(-\sqrt{2}~,~2\sqrt{2})\)
\({\small (2)}~\vec{e}=\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}~,~-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\right)~,~\left(-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}~,~\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\right)\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\({\small (2)}~\vec{e}=\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}~,~-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\right)~,~\left(-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}~,~\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\right)\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.25 練習23\({\small (1)}~\)[証明]
\(\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1a_2-a_2a_1=0\)
また、\(\vec{a}\neq\vec{0}\) より、\(a_1\neq0\) または \(a_2\neq0\)
よって、\(\vec{b}\neq\vec{0}\)
したがって、内積が \(0\) より \(\vec{a}\) と \(\vec{b}\) は垂直である [終]
\({\small (2)}~\vec{e}=\left(\displaystyle \frac{\,2\sqrt{5}\,}{5}~,~-\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}\,}{5}\right)\)
\(~~~~~,~\left(-\displaystyle \frac{\,2\sqrt{5}\,}{5}~,~\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}\,}{5}\right)\)
解法のPoint｜ベクトルの垂直と大きさの条件
\(\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1a_2-a_2a_1=0\)
また、\(\vec{a}\neq\vec{0}\) より、\(a_1\neq0\) または \(a_2\neq0\)
よって、\(\vec{b}\neq\vec{0}\)
したがって、内積が \(0\) より \(\vec{a}\) と \(\vec{b}\) は垂直である [終]
\({\small (2)}~\vec{e}=\left(\displaystyle \frac{\,2\sqrt{5}\,}{5}~,~-\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}\,}{5}\right)\)
\(~~~~~,~\left(-\displaystyle \frac{\,2\sqrt{5}\,}{5}~,~\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}\,}{5}\right)\)
解法のPoint｜ベクトルの垂直と大きさの条件
p.26 練習24\({\small (1)}~\)[証明]
(左辺)
\(=|\vec{a}+2\vec{b}|^2\)
\(=(\vec{a}+2\vec{b})\cdot(\vec{a}+2\vec{b})\)
\(=\vec{a}\cdot(\vec{a}+2\vec{b})+2\vec{b}(\vec{a}+2\vec{b})\)
\(=\vec{a}\cdot\vec{a}+2\vec{a}\cdot\vec{b}\)
\(+2\vec{b}\cdot\vec{a}+4\vec{b}\cdot\vec{b}\)
\(=|\vec{a}|^2+4\vec{a}\cdot\vec{b}+4|\vec{b}|^2\)
\(=\) (右辺)
したがって、
\(|\vec{a}+2\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+4\vec{a}\cdot\vec{b}+4|\vec{b}|^2\) [終]
\({\small (2)}~\)[証明]
(左辺)
\(=(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b})\)
\(=\vec{a}\cdot(\vec{a}-\vec{b})+\vec{b}(\vec{a}-\vec{b})\)
\(=\vec{a}\cdot\vec{a}-\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{a}-\vec{b}\cdot\vec{b}\)
\(=|\vec{a}|^2-|\vec{b}|^2\)
\(=\) (右辺)
したがって、
\((\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b})=|\vec{a}|^2-|\vec{b}|^2\)
[終]
解法のPoint｜ベクトルの等式の証明
(左辺)
\(=|\vec{a}+2\vec{b}|^2\)
\(=(\vec{a}+2\vec{b})\cdot(\vec{a}+2\vec{b})\)
\(=\vec{a}\cdot(\vec{a}+2\vec{b})+2\vec{b}(\vec{a}+2\vec{b})\)
\(=\vec{a}\cdot\vec{a}+2\vec{a}\cdot\vec{b}\)
\(+2\vec{b}\cdot\vec{a}+4\vec{b}\cdot\vec{b}\)
\(=|\vec{a}|^2+4\vec{a}\cdot\vec{b}+4|\vec{b}|^2\)
\(=\) (右辺)
したがって、
\(|\vec{a}+2\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+4\vec{a}\cdot\vec{b}+4|\vec{b}|^2\) [終]
\({\small (2)}~\)[証明]
(左辺)
\(=(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b})\)
\(=\vec{a}\cdot(\vec{a}-\vec{b})+\vec{b}(\vec{a}-\vec{b})\)
\(=\vec{a}\cdot\vec{a}-\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{a}-\vec{b}\cdot\vec{b}\)
\(=|\vec{a}|^2-|\vec{b}|^2\)
\(=\) (右辺)
したがって、
\((\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b})=|\vec{a}|^2-|\vec{b}|^2\)
[終]
解法のPoint｜ベクトルの等式の証明
問題
p.30 問題 1\({\small (1)}~\) \( \vec{x}=2\vec{a}-\vec{b} \)
\({\small (2)}~\) \( \vec{x}=-2\vec{a}-\displaystyle \frac{\,10\,}{\,3\,}\vec{b} \)
解法のPoint｜等式を満たすベクトルの表し方
\({\small (2)}~\) \( \vec{x}=-2\vec{a}-\displaystyle \frac{\,10\,}{\,3\,}\vec{b} \)
解法のPoint｜等式を満たすベクトルの表し方
p.30 問題 2\({\small (1)}~\) \( -2 \) \({\small (2)}~\) \( 0 \)
\({\small (3)}~\) \( 6 \) \({\small (4)}~\) \( -6 \)
解法のPoint｜正六角形における内積
\({\small (3)}~\) \( 6 \) \({\small (4)}~\) \( -6 \)
解法のPoint｜正六角形における内積
p.30 問題 3\({\small (1)}~\)[証明] 2つのベクトル \( \vec{a}=\left(\,\begin{array}{c}a_1\\[2pt]a_2\end{array}\,\right) \) , \( \vec{b}=\left(\,\begin{array}{c}b_1\\[2pt]b_2\end{array}\,\right) \) が平行のとき、
\( \vec{a} \) と \( \vec{b} \) のなす角を \( \theta \) とすると、\( \theta=0^\circ \) または \( \theta=180^\circ \) となり、
\( \cos 0^\circ=1 ~,~ \cos 180^\circ=-1 \) であるので、
\(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\,\vec{a}\,|\,|\,\vec{b}\,|\cos 0^\circ=|\,\vec{a}\,|\,|\,\vec{b}\,|\)
\(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\,\vec{a}\,|\,|\,\vec{b}\,|\cos 180^\circ=-|\,\vec{a}\,|\,|\,\vec{b}\,|\)
よって、\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\pm \, |\,\vec{a}\,|\,|\,\vec{b}\,|\) となり、両辺を2乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(\,\vec{a}\cdot\vec{b}\,)^{2}&=&|\,\vec{a}\,|^{2}|\,\vec{b}\,|^{2}
\end{eqnarray}\)
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~~~\vec{a}\cdot\vec{b}&=&a_1\,b_1+a_2\,b_2\\[3pt]
|\,\vec{a}\,|&=&\sqrt{{a_1}^{2}+{a_2}^{2}}\\[3pt]
|\,\vec{b}\,|&=&\sqrt{{b_1}^{2}+{b_2}^{2}}
\end{eqnarray}\)
であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(a_1\,b_1+a_2\,b_2\right)^{2}&=&\left({a_1}^{2}+{a_2}^{2}\right)\left({b_1}^{2}+{b_2}^{2}\right)\end{eqnarray}\)
両辺をそれぞれ展開して、整理すると、
\(\begin{eqnarray}~~~{a_1}^{2}\,{b_2}^{2}-2a_1\,a_2\,b_1\,b_2+{a_2}^{2}\,{b_1}^{2}&=&0
\\[3pt]~~~\left(a_1\,b_2-a_2\,b_1\right)^{2}&=&0
\\[3pt]~~~a_1\,b_2-a_2\,b_1&=&0
\end{eqnarray}\)
逆に、\( a_1\,b_2-a_2\,b_1=0 \) のとき、上の式変形を逆にたどると、
\(\begin{eqnarray}~~~(\,\vec{a}\cdot\vec{b}\,)^{2}&=&|\,\vec{a}\,|^{2}|\,\vec{b}\,|^{2}
\end{eqnarray}\)
\( |\,\vec{a}\,| \gt 0~,~|\,\vec{b}\,| \gt 0 \) より、\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\pm \, |\,\vec{a}\,|\,|\,\vec{b}\,|\) となり、
\(\cos\theta=\displaystyle\frac{\,\vec{a}\cdot\vec{b}\,}{|\,\vec{a}\,|\,|\,\vec{b}\,|}=\pm\,1\)
よって、\( \theta=0^\circ \) または \( \theta=180^\circ \) となり、\(\vec{a}\,//\,\vec{b}\)
したがって、
\(\vec{a}\,//\,\vec{b}~~ \Longleftrightarrow ~~a_1\,b_2-a_2\,b_1=0\) [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\( \vec{a} \) と \( \vec{b} \) のなす角を \( \theta \) とすると、\( \theta=0^\circ \) または \( \theta=180^\circ \) となり、
\( \cos 0^\circ=1 ~,~ \cos 180^\circ=-1 \) であるので、
\(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\,\vec{a}\,|\,|\,\vec{b}\,|\cos 0^\circ=|\,\vec{a}\,|\,|\,\vec{b}\,|\)
\(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\,\vec{a}\,|\,|\,\vec{b}\,|\cos 180^\circ=-|\,\vec{a}\,|\,|\,\vec{b}\,|\)
よって、\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\pm \, |\,\vec{a}\,|\,|\,\vec{b}\,|\) となり、両辺を2乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(\,\vec{a}\cdot\vec{b}\,)^{2}&=&|\,\vec{a}\,|^{2}|\,\vec{b}\,|^{2}
\end{eqnarray}\)
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~~~\vec{a}\cdot\vec{b}&=&a_1\,b_1+a_2\,b_2\\[3pt]
|\,\vec{a}\,|&=&\sqrt{{a_1}^{2}+{a_2}^{2}}\\[3pt]
|\,\vec{b}\,|&=&\sqrt{{b_1}^{2}+{b_2}^{2}}
\end{eqnarray}\)
であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(a_1\,b_1+a_2\,b_2\right)^{2}&=&\left({a_1}^{2}+{a_2}^{2}\right)\left({b_1}^{2}+{b_2}^{2}\right)\end{eqnarray}\)
両辺をそれぞれ展開して、整理すると、
\(\begin{eqnarray}~~~{a_1}^{2}\,{b_2}^{2}-2a_1\,a_2\,b_1\,b_2+{a_2}^{2}\,{b_1}^{2}&=&0
\\[3pt]~~~\left(a_1\,b_2-a_2\,b_1\right)^{2}&=&0
\\[3pt]~~~a_1\,b_2-a_2\,b_1&=&0
\end{eqnarray}\)
逆に、\( a_1\,b_2-a_2\,b_1=0 \) のとき、上の式変形を逆にたどると、
\(\begin{eqnarray}~~~(\,\vec{a}\cdot\vec{b}\,)^{2}&=&|\,\vec{a}\,|^{2}|\,\vec{b}\,|^{2}
\end{eqnarray}\)
\( |\,\vec{a}\,| \gt 0~,~|\,\vec{b}\,| \gt 0 \) より、\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\pm \, |\,\vec{a}\,|\,|\,\vec{b}\,|\) となり、
\(\cos\theta=\displaystyle\frac{\,\vec{a}\cdot\vec{b}\,}{|\,\vec{a}\,|\,|\,\vec{b}\,|}=\pm\,1\)
よって、\( \theta=0^\circ \) または \( \theta=180^\circ \) となり、\(\vec{a}\,//\,\vec{b}\)
したがって、
\(\vec{a}\,//\,\vec{b}~~ \Longleftrightarrow ~~a_1\,b_2-a_2\,b_1=0\) [終]
\({\small (2)}~x=-3\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.30 問題 4\({\small (1)}~\) \( \theta=150^{\circ} \) \({\small (2)}~\) \( t=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,9\,} \)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.30 問題 5\({\small (1)}~\) \( 5\sqrt{3} \) \({\small (2)}~\) \( \displaystyle \frac{\,11\,}{\,2\,} \)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.30 問題 6\({\small (1)}~\)[証明] \(|\vec{a}+\vec{b}|\) と \(|\vec{a}-\vec{b}|\) をそれぞれ2乗すると、
\(\begin{split}&|\,\vec{a}+\vec{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~=~&(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}+\vec{b})
\\[3pt]~~=~&|\,\vec{a}\,|^{2}+2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\,\vec{b}\,|^{2}
\end{split}\)
\(\begin{split}&|\,\vec{a}-\vec{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~=~&(\vec{a}-\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b})
\\[3pt]~~=~&|\,\vec{a}\,|^{2}-2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\,\vec{b}\,|^{2}
\end{split}\)
よって、
したがって、
\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0~~\Leftrightarrow~~|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|\)
[終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\(\begin{split}&|\,\vec{a}+\vec{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~=~&(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}+\vec{b})
\\[3pt]~~=~&|\,\vec{a}\,|^{2}+2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\,\vec{b}\,|^{2}
\end{split}\)
\(\begin{split}&|\,\vec{a}-\vec{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~=~&(\vec{a}-\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b})
\\[3pt]~~=~&|\,\vec{a}\,|^{2}-2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\,\vec{b}\,|^{2}
\end{split}\)
よって、
\(\begin{split}&|\,\vec{a}+\vec{b}\,|=|\,\vec{a}-\vec{b}\,|
\\[3pt]~~\Leftrightarrow~&|\,\vec{a}\,|^{2}+2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\,\vec{b}\,|^{2}=|\,\vec{a}\,|^{2}-2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\,\vec{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~\Leftrightarrow~&4\vec{a}\cdot\vec{b}=0
\\[3pt]~~\Leftrightarrow~&\vec{a}\cdot\vec{b}=0
\end{split}\)
\\[3pt]~~\Leftrightarrow~&|\,\vec{a}\,|^{2}+2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\,\vec{b}\,|^{2}=|\,\vec{a}\,|^{2}-2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\,\vec{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~\Leftrightarrow~&4\vec{a}\cdot\vec{b}=0
\\[3pt]~~\Leftrightarrow~&\vec{a}\cdot\vec{b}=0
\end{split}\)
したがって、
\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0~~\Leftrightarrow~~|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|\)
[終]
\({\small (2)}~\)対角線 \({\rm OC}\) と \({\rm AB}\) の長さが等しい
■ この問題の詳しい解説はこちら！
第２節 ベクトルと平面図形
p.31 練習27 \({\small (1)}~\vec{c}-\vec{b}\)
\({\small (2)}~\vec{a}-\vec{c}\)
\({\small (3)}~\vec{a}-\vec{b}\)
解法のPoint｜位置ベクトルと2点を結ぶベクトル
\({\small (2)}~\vec{a}-\vec{c}\)
\({\small (3)}~\vec{a}-\vec{b}\)
解法のPoint｜位置ベクトルと2点を結ぶベクトル
p.33 練習28 \({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\vec{a}+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\vec{b}\)
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\vec{a}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\vec{b}\)
\({\small (3)}~-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\vec{a}+\displaystyle \frac{\,4\,}{3}\vec{b}\)
\({\small (4)}~2\vec{a}-\vec{b}\)
解法のPoint｜位置ベクトルの内分点・外分点・中点
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\vec{a}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\vec{b}\)
\({\small (3)}~-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\vec{a}+\displaystyle \frac{\,4\,}{3}\vec{b}\)
\({\small (4)}~2\vec{a}-\vec{b}\)
解法のPoint｜位置ベクトルの内分点・外分点・中点
p.35 練習29 \({\small (1)}~\vec{g’}=\displaystyle \frac{\,\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\,}{3}\)
\({\small (2)}~\)[証明] それぞれの位置ベクトルを、
\({\rm A}(\vec{a})~,~{\rm B}(\vec{b})~,~{\rm C}(\vec{c})~,~{\rm G}(\vec{g})\)
とおく
\(\triangle \rm ABC\) の重心 \(\rm G\) について、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{g}&=&\displaystyle \frac{\,\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}&=&3\vec{g}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\vec{\rm GA}+\vec{\rm GB}+\vec{\rm GC}
\\[5pt]~~~&=&(\vec{a}-\vec{g})+(\vec{b}-\vec{g})+(\vec{c}-\vec{g})
\\[5pt]~~~&=&(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})-3\vec{g}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm GA}+\vec{\rm GB}+\vec{\rm GC}&=&3\vec{g}-3\vec{g}
\\[5pt]~~~&=&\vec{0}
\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\vec{\rm GA}+\vec{\rm GB}+\vec{\rm GC}=\vec{0}\) が成り立つ [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\({\small (2)}~\)[証明] それぞれの位置ベクトルを、
\({\rm A}(\vec{a})~,~{\rm B}(\vec{b})~,~{\rm C}(\vec{c})~,~{\rm G}(\vec{g})\)
とおく
\(\triangle \rm ABC\) の重心 \(\rm G\) について、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{g}&=&\displaystyle \frac{\,\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}&=&3\vec{g}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\vec{\rm GA}+\vec{\rm GB}+\vec{\rm GC}
\\[5pt]~~~&=&(\vec{a}-\vec{g})+(\vec{b}-\vec{g})+(\vec{c}-\vec{g})
\\[5pt]~~~&=&(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})-3\vec{g}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm GA}+\vec{\rm GB}+\vec{\rm GC}&=&3\vec{g}-3\vec{g}
\\[5pt]~~~&=&\vec{0}
\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\vec{\rm GA}+\vec{\rm GB}+\vec{\rm GC}=\vec{0}\) が成り立つ [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.36 練習30 [証明]
\(\triangle {\rm ABC}\) で、\(\vec{\rm AB}=\vec{b}~,~\vec{\rm AC}=\vec{c}\) とおくと、
\(\vec{\rm AD}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\vec{b}\)
点 \( \rm E \) は辺 \( \rm BC \) を \(3:1\) に内分するので、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AE}
&=&\displaystyle \frac{\,1{\, \small \times \,}\vec{\rm AB}+3{\, \small \times \,}\vec{\rm AC}\,}{\,3+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\vec{b}+3\vec{c}\,}{\,4\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
また、点 \( \rm F \) は線分 \( \rm CD \) の中点なので、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AF}
&=&\displaystyle \frac{\,1{\, \small \times \,}\vec{\rm AC}+1{\, \small \times \,}\vec{\rm AD}\,}{\,1+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\vec{c}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\vec{b}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\vec{b}+3\vec{c}\,}{\,6\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を式変形して、\({\small [\,2\,]}\) と比較すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AF}
&=&\displaystyle \frac{\,\vec{b}+3\vec{c}\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,4\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\vec{b}+3\vec{c}\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,6\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\vec{b}+3\vec{c}\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\,\vec{\rm AE} \hspace{20pt}(\,∵~ {\small [\,1\,]}\,)
\end{eqnarray}\)
したがって、点 \( \rm A~,~F~,~E \) は一直線上にある [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\(\triangle {\rm ABC}\) で、\(\vec{\rm AB}=\vec{b}~,~\vec{\rm AC}=\vec{c}\) とおくと、
\(\vec{\rm AD}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\vec{b}\)
点 \( \rm E \) は辺 \( \rm BC \) を \(3:1\) に内分するので、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AE}
&=&\displaystyle \frac{\,1{\, \small \times \,}\vec{\rm AB}+3{\, \small \times \,}\vec{\rm AC}\,}{\,3+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\vec{b}+3\vec{c}\,}{\,4\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
また、点 \( \rm F \) は線分 \( \rm CD \) の中点なので、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AF}
&=&\displaystyle \frac{\,1{\, \small \times \,}\vec{\rm AC}+1{\, \small \times \,}\vec{\rm AD}\,}{\,1+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\vec{c}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\vec{b}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\vec{b}+3\vec{c}\,}{\,6\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を式変形して、\({\small [\,2\,]}\) と比較すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AF}
&=&\displaystyle \frac{\,\vec{b}+3\vec{c}\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,4\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\vec{b}+3\vec{c}\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,6\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\vec{b}+3\vec{c}\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\,\vec{\rm AE} \hspace{20pt}(\,∵~ {\small [\,1\,]}\,)
\end{eqnarray}\)
したがって、点 \( \rm A~,~F~,~E \) は一直線上にある [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.37 練習31 \(~~~\vec{\rm OP}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{a}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\vec{b}\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.38 練習32 [証明]
\(\vec{\rm AB}=\vec{b}~,~\vec{\rm AD}=\vec{d}\) とおくと、
\({\rm AB}={\rm AD}\) より、
\(|\vec{b}|=|\vec{d}|~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
四角形 \({\rm ABCD}\) は平行四辺形より、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AC}&=&\vec{\rm AB}+\vec{\rm AD}\\[5pt]~~~&=&\vec{b}+\vec{d}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm DB}&=&\vec{\rm AB}-\vec{\rm AD}\\[5pt]~~~&=&\vec{b}-\vec{d}\end{eqnarray}\)
ここで、\(\vec{\rm AC}\) と \(\vec{\rm DB}\) の内積は、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AC}\cdot\vec{\rm DB}&=&(\vec{b}+\vec{d})\cdot(\vec{b}-\vec{d})\\[5pt]~~~&=&|\vec{b}|^2-\vec{b}\cdot\vec{d}+\vec{d}\cdot\vec{b}-|\vec{d}|^2\\[5pt]~~~&=&|\vec{b}|^2-|\vec{d}|^2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{37pt}~~~&=&|\vec{b}|^2-|\vec{b}|^2\\[5pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
\(\vec{\rm AC}\neq\vec{0}~,~\vec{\rm DB}\neq\vec{0}\) より、\(\vec{\rm AC}\perp \vec{\rm DB}\)
したがって、\({\rm AC}\perp {\rm DB}\) [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\(\vec{\rm AB}=\vec{b}~,~\vec{\rm AD}=\vec{d}\) とおくと、
\({\rm AB}={\rm AD}\) より、
\(|\vec{b}|=|\vec{d}|~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
四角形 \({\rm ABCD}\) は平行四辺形より、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AC}&=&\vec{\rm AB}+\vec{\rm AD}\\[5pt]~~~&=&\vec{b}+\vec{d}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm DB}&=&\vec{\rm AB}-\vec{\rm AD}\\[5pt]~~~&=&\vec{b}-\vec{d}\end{eqnarray}\)
ここで、\(\vec{\rm AC}\) と \(\vec{\rm DB}\) の内積は、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AC}\cdot\vec{\rm DB}&=&(\vec{b}+\vec{d})\cdot(\vec{b}-\vec{d})\\[5pt]~~~&=&|\vec{b}|^2-\vec{b}\cdot\vec{d}+\vec{d}\cdot\vec{b}-|\vec{d}|^2\\[5pt]~~~&=&|\vec{b}|^2-|\vec{d}|^2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{37pt}~~~&=&|\vec{b}|^2-|\vec{b}|^2\\[5pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
\(\vec{\rm AC}\neq\vec{0}~,~\vec{\rm DB}\neq\vec{0}\) より、\(\vec{\rm AC}\perp \vec{\rm DB}\)
したがって、\({\rm AC}\perp {\rm DB}\) [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.40 練習33 \(\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}x=2-4t \\y=-1+3t\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\(~~~3x+4y-2=0\)
解法のPoint｜方向ベクトルと直線の媒介変数表示
\(~~~3x+4y-2=0\)
解法のPoint｜方向ベクトルと直線の媒介変数表示
p.41 練習34 \(\vec{\rm OA’}=\displaystyle \frac{1}{2}\vec{\rm OA}~,~\vec{\rm OB’}=\displaystyle \frac{1}{2}\vec{\rm OB}\) となる点を \({\rm A’~,~B’}\) とすると、線分 \({\rm A’B’}\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.42 練習35 \({\small (1)}~\)\(\vec{\rm OA’}=2\vec{\rm OA}~,~\vec{\rm OB’}=2\vec{\rm OB}\) となる \({\rm A’~,~B’}\) とすると、\({\rm \triangle {\rm OA’B’}}\) の周と内部
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\({\small (2)}~\)\(\vec{\rm OA’}=\displaystyle \frac{1}{2}\vec{\rm OA}~,~\vec{\rm OB’}=\displaystyle \frac{1}{2}\vec{\rm OB}\) となる点を \({\rm A’~,~B’}\) とすると、\({\rm \triangle {\rm OA’B’}}\) の周と内部
■ この問題の詳しい解説はこちら！
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\({\small (2)}~\)\(\vec{\rm OA’}=\displaystyle \frac{1}{2}\vec{\rm OA}~,~\vec{\rm OB’}=\displaystyle \frac{1}{2}\vec{\rm OB}\) となる点を \({\rm A’~,~B’}\) とすると、\({\rm \triangle {\rm OA’B’}}\) の周と内部
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.44 練習37 \({\small (1)}~\)中心 \(\vec{a}\)、半径 \(3\)
\({\small (2)}~\)中心 \(\displaystyle \frac{1}{\,2\,}\vec{a}\)、半径 \(2\)
解法のPoint｜中心と半径が条件の円のベクトル方程式
\({\small (2)}~\)中心 \(\displaystyle \frac{1}{\,2\,}\vec{a}\)、半径 \(2\)
解法のPoint｜中心と半径が条件の円のベクトル方程式
p.44 練習38 [証明] 線分 \({\rm OA}\) を直径とする円より、\(\angle {\rm OPA}=90^\circ\) となり、\(\vec{\rm PO}\) と \(\vec{\rm PA}\) の内積は \(0\) となる
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm PO}\cdot\vec{\rm PA}&=&0\\[3pt]~~~(-\vec{p})\cdot(\vec{a}-\vec{p})&=&0\\[3pt]~~~\vec{p}\cdot(\vec{p}-\vec{a})&=&0\end{eqnarray}\)
[終]
解法のPoint｜直径が条件の円のベクトル方程式
\(\vec{\rm PO}=-\vec{p}~,~\vec{\rm PA}=\vec{a}-\vec{p}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm PO}\cdot\vec{\rm PA}&=&0\\[3pt]~~~(-\vec{p})\cdot(\vec{a}-\vec{p})&=&0\\[3pt]~~~\vec{p}\cdot(\vec{p}-\vec{a})&=&0\end{eqnarray}\)
[終]
解法のPoint｜直径が条件の円のベクトル方程式
問題
p.46 問題 7[証明]
平行四辺形 \({\rm OABC}\) で、\(\vec{\rm OA}=\vec{a}~,~\vec{\rm OC}=\vec{c}\) とおくと、
\(\vec{\rm OB}=\vec{a}+\vec{c}\)
点 \( \rm D \) は辺 \( \rm OA \) を \(2:1\) に内分するので、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm OD}
&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\vec{a}
\end{eqnarray}\)
点 \( \rm E \) は辺 \( \rm OC \) を \(2:1\) に内分するので、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm OE}
&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\vec{c}
\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm DE}
&=&\vec{\rm OE}-\vec{\rm OD}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\vec{c}-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\vec{a}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}(-\vec{a}+\vec{c})~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
また、点 \( \rm F \) は対角線 \( \rm OB \) を \(1:2\) に内分するので、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm OF}
&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\vec{\rm OB}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\vec{a}+\vec{c}\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm DF}
&=&\vec{\rm OF}-\vec{\rm OD}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\vec{a}+\vec{c}\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\vec{a}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-\vec{a}+\vec{c}\,}{\,3\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を式変形して、\({\small [\,2\,]}\) と比較すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm DF}
&=&\displaystyle \frac{\,-\vec{a}+\vec{c}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}(-\vec{a}+\vec{c})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,\vec{\rm DE} \hspace{20pt}(\,∵~ {\small [\,1\,]}\,)
\end{eqnarray}\)
したがって、点 \( \rm D~,~F~,~E \) は一直線上にある [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
平行四辺形 \({\rm OABC}\) で、\(\vec{\rm OA}=\vec{a}~,~\vec{\rm OC}=\vec{c}\) とおくと、
\(\vec{\rm OB}=\vec{a}+\vec{c}\)
点 \( \rm D \) は辺 \( \rm OA \) を \(2:1\) に内分するので、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm OD}
&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\vec{a}
\end{eqnarray}\)
点 \( \rm E \) は辺 \( \rm OC \) を \(2:1\) に内分するので、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm OE}
&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\vec{c}
\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm DE}
&=&\vec{\rm OE}-\vec{\rm OD}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\vec{c}-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\vec{a}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}(-\vec{a}+\vec{c})~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
また、点 \( \rm F \) は対角線 \( \rm OB \) を \(1:2\) に内分するので、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm OF}
&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\vec{\rm OB}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\vec{a}+\vec{c}\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm DF}
&=&\vec{\rm OF}-\vec{\rm OD}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\vec{a}+\vec{c}\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\vec{a}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-\vec{a}+\vec{c}\,}{\,3\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を式変形して、\({\small [\,2\,]}\) と比較すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm DF}
&=&\displaystyle \frac{\,-\vec{a}+\vec{c}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}(-\vec{a}+\vec{c})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,\vec{\rm DE} \hspace{20pt}(\,∵~ {\small [\,1\,]}\,)
\end{eqnarray}\)
したがって、点 \( \rm D~,~F~,~E \) は一直線上にある [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.46 問題 8 \( \vec{\rm OP}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\vec{a}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,8\,}\vec{b} \)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.46 問題 10[証明]
点 \({\rm A}\) と点 \({\rm P}\) が一致するとき、\(\vec{\rm AP}=\vec{0}\) より、
\(\vec{\rm AP}\cdot\vec{\rm CA}=0\)
また、点 \({\rm A}\) と点 \({\rm P}\) が一致しないとき、\({\rm AP\perp CA}\) より、
\(\vec{\rm AP}\cdot\vec{\rm CA}=0\)
よって、どちらの場合でも、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AP}\cdot\vec{\rm CA}&=&0
\\[3pt]~~~(\vec{p}-\vec{a})\cdot(\vec{a}-\vec{c})&=&0~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\vec{a}-\vec{c}\,|&=&r
\\[3pt]~~~|\,\vec{a}-\vec{c}\,|^2&=&r^2
\\[3pt]~~~(\vec{a}-\vec{c})\cdot(\vec{a}-\vec{c})&=&r^2~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~&&(\vec{p}-\vec{a})\cdot(\vec{a}-\vec{c})
\\[3pt]&&\hspace{20pt}~~~+(\vec{a}-\vec{c})\cdot(\vec{a}-\vec{c})=r^2\end{eqnarray}\)
\((\vec{a}-\vec{c})\) でくくると、
\(\begin{eqnarray}~~~(\vec{p}-\vec{a}+\vec{a}-\vec{c})\cdot(\vec{a}-\vec{c})&=&r^2
\\[3pt]~~~(\vec{p}-\vec{c})\cdot(\vec{a}-\vec{c})&=&r^2
\end{eqnarray}\)
\((\vec{p}-\vec{c})\cdot(\vec{a}-\vec{c})=r^2\) [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
点 \({\rm A}\) と点 \({\rm P}\) が一致するとき、\(\vec{\rm AP}=\vec{0}\) より、
\(\vec{\rm AP}\cdot\vec{\rm CA}=0\)
また、点 \({\rm A}\) と点 \({\rm P}\) が一致しないとき、\({\rm AP\perp CA}\) より、
\(\vec{\rm AP}\cdot\vec{\rm CA}=0\)
よって、どちらの場合でも、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AP}\cdot\vec{\rm CA}&=&0
\\[3pt]~~~(\vec{p}-\vec{a})\cdot(\vec{a}-\vec{c})&=&0~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
また、\(|\,\vec{\rm CA}\,|=r\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\vec{a}-\vec{c}\,|&=&r
\\[3pt]~~~|\,\vec{a}-\vec{c}\,|^2&=&r^2
\\[3pt]~~~(\vec{a}-\vec{c})\cdot(\vec{a}-\vec{c})&=&r^2~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}+{\small [\,2\,]}\) より、両辺をそれぞれ加えると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(\vec{p}-\vec{a})\cdot(\vec{a}-\vec{c})
\\[3pt]&&\hspace{20pt}~~~+(\vec{a}-\vec{c})\cdot(\vec{a}-\vec{c})=r^2\end{eqnarray}\)
\((\vec{a}-\vec{c})\) でくくると、
\(\begin{eqnarray}~~~(\vec{p}-\vec{a}+\vec{a}-\vec{c})\cdot(\vec{a}-\vec{c})&=&r^2
\\[3pt]~~~(\vec{p}-\vec{c})\cdot(\vec{a}-\vec{c})&=&r^2
\end{eqnarray}\)
したがって、この円の接線のベクトル方程式は、
\((\vec{p}-\vec{c})\cdot(\vec{a}-\vec{c})=r^2\) [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.46 問題 11\({\small (1)}~\) \( \displaystyle \frac{\,5\sqrt{2}+5\,}{\,2\,} \) 時間後
\({\small (2)}~\) 時速 \( 20\sqrt{2} ~{\rm km}\)
\({\small (2)}~\) 時速 \( 20\sqrt{2} ~{\rm km}\)
章末問題 平面のベクトル
章末問題A
p.47 章末問題A 1\({\small (1)}~\) \( \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{b}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{d} \)
\({\small (2)}~\) \( -\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{b}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{d} \)
\({\small (3)}~\) \( -\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{b}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{d} \)
解法のPoint｜正六角形のベクトルの表し方
\({\small (2)}~\) \( -\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{b}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{d} \)
\({\small (3)}~\) \( -\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{b}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{d} \)
解法のPoint｜正六角形のベクトルの表し方
p.47 章末問題A 2\({\small (1)}~\) 最大値 \( 2 \)、最小値 \( -2 \)
\({\small (2)}~\) 最大値 \( 3 \)、最小値 \( 1 \)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\({\small (2)}~\) 最大値 \( 3 \)、最小値 \( 1 \)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.47 章末問題A 3\({\small (1)}~\) \( x=-\displaystyle \frac{\,18\,}{\,19\,} \) \({\small (2)}~\) \( x=2~,~-3 \)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.47 章末問題A 4[証明] \(\vec{\rm OA}=\vec{a}~,~\vec{\rm OB}=\vec{b}~,~\vec{\rm OC}=\vec{c}\) とおくと、
重心 \(\rm G\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm OG}=\displaystyle \frac{\,\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
また、\(\vec{\rm OH}=\vec{\rm OA}+\vec{\rm OB}+\vec{\rm OC}\) より、
\(\vec{\rm OH}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}
\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm OG}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\,\vec{\rm OH}
\end{eqnarray}\)
点 \(\rm O\) は外心であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\vec{a}\,|=|\,\vec{b}\,|=|\,\vec{c}\,|~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{h}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AH}&=&\vec{h}-\vec{a}
\\[3pt]~~~&=&(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})-\vec{a}\hspace{20pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&\vec{b}+\vec{c}
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm BC}=\vec{c}-\vec{b}
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AH}\cdot\vec{\rm BC}
&=&(\vec{b}+\vec{c})\cdot(\vec{c}-\vec{b})
\\[5pt]~~~&=&(\vec{c}+\vec{b})\cdot(\vec{c}-\vec{b})
\\[5pt]~~~&=&|\,\vec{c}\,|^{2}-|\,\vec{b}\,|^{2}
\\[5pt]~~~&=&0\hspace{25pt}(\,∵~ {\small [\,1\,]}\,)
\end{eqnarray}\)
同様に、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm BH}\perp{\rm CA}~,~{\rm CH}\perp{\rm AB}
\end{eqnarray}\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
重心 \(\rm G\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm OG}=\displaystyle \frac{\,\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
また、\(\vec{\rm OH}=\vec{\rm OA}+\vec{\rm OB}+\vec{\rm OC}\) より、
\(\vec{\rm OH}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}
\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm OG}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\,\vec{\rm OH}
\end{eqnarray}\)
したがって、 \(\rm O~,~G~,~H\) は一直線上にある [終]
[証明] \(\vec{\rm OA}=\vec{a}~,~\vec{\rm OB}=\vec{b}~,~\vec{\rm OC}=\vec{c}~,~\vec{\rm OH}=\vec{h}\) とおくと、
点 \(\rm O\) は外心であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\vec{a}\,|=|\,\vec{b}\,|=|\,\vec{c}\,|~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
また、\(\vec{\rm OH}=\vec{\rm OA}+\vec{\rm OB}+\vec{\rm OC}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{h}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
ここで、\(\vec{\rm AH}\) と \(\vec{\rm BC}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AH}&=&\vec{h}-\vec{a}
\\[3pt]~~~&=&(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})-\vec{a}\hspace{20pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&\vec{b}+\vec{c}
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm BC}=\vec{c}-\vec{b}
\end{eqnarray}\)
よって、内積を計算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AH}\cdot\vec{\rm BC}
&=&(\vec{b}+\vec{c})\cdot(\vec{c}-\vec{b})
\\[5pt]~~~&=&(\vec{c}+\vec{b})\cdot(\vec{c}-\vec{b})
\\[5pt]~~~&=&|\,\vec{c}\,|^{2}-|\,\vec{b}\,|^{2}
\\[5pt]~~~&=&0\hspace{25pt}(\,∵~ {\small [\,1\,]}\,)
\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm AH}\perp{\rm BC}\)
同様に、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm BH}\perp{\rm CA}~,~{\rm CH}\perp{\rm AB}
\end{eqnarray}\)
以上より、点 \(\rm H\) は \(\triangle {\rm ABC}\) の垂心である [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.47 章末問題A 6\({\small (1)}~\) \( 2 \) \({\small (2)}~\) \( \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,} \)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.48 章末問題B 7\({\small (1)}~\)点 \({\rm P}\) は、辺 \({\rm BC}\) を \(5:4\) に内分する点を \({\rm D}\) としたとき、線分 \({\rm AD}\) を \(3:1\) に内分する点
\({\small (2)}~3:4:5\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\({\small (2)}~3:4:5\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.48 章末問題B 8[証明] \(\vec{\rm AB}=\vec{b}~,~\vec{\rm AC}=\vec{c}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~| \vec{\rm AB} |^2+| \vec{\rm AC} |^2=| \vec{b} |^2+| \vec{c} |^2~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
また、\( \vec{\rm AM} \) は中点の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AM}&=&\displaystyle \frac{\,\vec{b}+\vec{c}\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~| \vec{\rm AM} |^2
&=&\left| \displaystyle \frac{\,\vec{b}+\vec{c}\,}{\,2\,} \right|^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,| \vec{b}+\vec{c} |^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,(\vec{b}+\vec{c})\cdot(\vec{b}+\vec{c})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,( | \vec{b} |^2 + 2\,\vec{b}\cdot\vec{c} + | \vec{c} |^2 )
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm BM}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(\vec{c}-\vec{b})
\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~| \vec{\rm BM} |^2
&=&\left| \displaystyle \frac{\,\vec{c}-\vec{b}\,}{\,2\,} \right|^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,| \vec{c}-\vec{b} |^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,(\vec{c}-\vec{b})\cdot(\vec{c}-\vec{b})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,( | \vec{c} |^2 – 2\,\vec{b}\cdot\vec{c} + | \vec{b} |^2 )
\end{eqnarray}\)
以上より、右辺は、
\(\begin{eqnarray}~~~| \vec{\rm AB} |^2+| \vec{\rm AC} |^2=2( | \vec{\rm AM} |^2+| \vec{\rm BM} |^2 )
\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)}\) [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\(\begin{eqnarray}~~~| \vec{\rm AB} |^2+| \vec{\rm AC} |^2=| \vec{b} |^2+| \vec{c} |^2~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
また、\( \vec{\rm AM} \) は中点の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AM}&=&\displaystyle \frac{\,\vec{b}+\vec{c}\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~| \vec{\rm AM} |^2
&=&\left| \displaystyle \frac{\,\vec{b}+\vec{c}\,}{\,2\,} \right|^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,| \vec{b}+\vec{c} |^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,(\vec{b}+\vec{c})\cdot(\vec{b}+\vec{c})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,( | \vec{b} |^2 + 2\,\vec{b}\cdot\vec{c} + | \vec{c} |^2 )
\end{eqnarray}\)
次に、\( \vec{\rm BM}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{\rm BC} \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm BM}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(\vec{c}-\vec{b})
\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~| \vec{\rm BM} |^2
&=&\left| \displaystyle \frac{\,\vec{c}-\vec{b}\,}{\,2\,} \right|^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,| \vec{c}-\vec{b} |^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,(\vec{c}-\vec{b})\cdot(\vec{c}-\vec{b})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,( | \vec{c} |^2 – 2\,\vec{b}\cdot\vec{c} + | \vec{b} |^2 )
\end{eqnarray}\)
以上より、右辺は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&2( | \vec{\rm AM} |^2 + | \vec{\rm BM} |^2 )
\\[5pt]~~~&=&2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,( | \vec{b} |^2 + 2\,\vec{b}\cdot\vec{c} + | \vec{c} |^2+ | \vec{c} |^2 – 2\,\vec{b}\cdot\vec{c} + | \vec{b} |^2 )
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,( 2\,| \vec{b} |^2 + 2\,| \vec{c} |^2 )
\\[5pt]~~~&=&| \vec{b} |^2 + | \vec{c} |^2~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,( | \vec{b} |^2 + 2\,\vec{b}\cdot\vec{c} + | \vec{c} |^2+ | \vec{c} |^2 – 2\,\vec{b}\cdot\vec{c} + | \vec{b} |^2 )
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,( 2\,| \vec{b} |^2 + 2\,| \vec{c} |^2 )
\\[5pt]~~~&=&| \vec{b} |^2 + | \vec{c} |^2~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
よって、\(\small [\,1\,]\) と \(\small [\,2\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~| \vec{\rm AB} |^2+| \vec{\rm AC} |^2=2( | \vec{\rm AM} |^2+| \vec{\rm BM} |^2 )
\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)}\) [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.48 章末問題B 9\({\small (1)}~\) \( k=\displaystyle \frac{\,6\,}{\,5\,} \) \({\small (2)}~\) \( 2:3 \)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.48 章末問題B 10\({\small (1)}~\)\(\vec{\rm OB^{\prime}}=2\vec{\rm OB}\) を満たす点 \({\rm B^{\prime}}\) をおくとき、点 \(\rm P\) の存在範囲は線分 \(\rm AB^{\prime}\)
\({\small (2)}~\)\(\vec{\rm OA^{\prime}}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\vec{\rm OA}~,~\vec{\rm OB^{\prime}}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{\rm OB}\) を満たす点 \({\rm A^{\prime}}~,~{\rm B^{\prime}}\) をおくとき、点 \(\rm P\) の存在範囲は \(\triangle {\rm OA^{\prime}B^{\prime}}\) の周および内部
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\({\small (2)}~\)\(\vec{\rm OA^{\prime}}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\vec{\rm OA}~,~\vec{\rm OB^{\prime}}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{\rm OB}\) を満たす点 \({\rm A^{\prime}}~,~{\rm B^{\prime}}\) をおくとき、点 \(\rm P\) の存在範囲は \(\triangle {\rm OA^{\prime}B^{\prime}}\) の周および内部
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.48 章末問題B 11\({\small (1)}~\) \( k=-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,} \)
\({\small (2)}~\) \( {\rm H}\left(\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}~,~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\,\right)~,~{\rm AH}=2 \)
解法のPoint｜法線ベクトルと直線の方程式
\({\small (2)}~\) \( {\rm H}\left(\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}~,~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\,\right)~,~{\rm AH}=2 \)
解法のPoint｜法線ベクトルと直線の方程式
p.48 章末問題B 12\({\small (1)}~\)点 \({\rm O}\) が中心で、半径 \(|\,\vec{a}\,|\) の円
\({\small (2)}~\)点 \({\rm O}\) を通り、直線 \({\rm OA}\) に垂直な直線
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\({\small (2)}~\)点 \({\rm O}\) を通り、直線 \({\rm OA}\) に垂直な直線
■ この問題の詳しい解説はこちら！
次のページ「第２章 空間のベクトル」
