【新課程】数研出版：新編数学Ｃ[710]

p.9 練習1\({\small (1)}~\)①と⑧
\({\small (2)}~\)①と⑧、③と⑤と⑥
\({\small (3)}~\)①と⑧、②と⑦、③と④
\({\small (4)}~\)⑤と⑥
→ ベクトルの基本

p.10 練習2\({\small (1)}~\)

\({\small (2)}~\)

\({\small (3)}~\)

\({\small (4)}~\)

→ ベクトルの実数倍・加法・減法

p.11 練習3[証明] \(\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BD}+\overrightarrow{\rm CA}\)
　\(=(\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BD})+\overrightarrow{\rm CA}\)
　\(=\overrightarrow{\rm AD}+\overrightarrow{\rm CA}\)
　\(=\overrightarrow{\rm CA}+\overrightarrow{\rm AD}\)
　\(=\overrightarrow{\rm CD}\) [終]

p.12 練習4[証明] \(\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BC}+\overrightarrow{\rm CA}\)
　\(=(\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BC})+\overrightarrow{\rm CA}\)
　\(=\overrightarrow{\rm AC}+\overrightarrow{\rm CA}\)
　\(=\overrightarrow{\rm AA}\)
　\(=\overrightarrow{0}\) [終]
→ ベクトルの等式証明

p.12 練習5\({\small (1)}~\)

\({\small (2)}~\)

\({\small (3)}~\)

\({\small (4)}~\)

→ ベクトルの実数倍・加法・減法

p.13 練習6$${\small (1)}~{ \frac{\,1\,}{\,3\,}}$$$${\small (2)}~{ \frac{\,3\,}{\,2\,}}$$$${\small (3)}~-{ \frac{\,2\,}{\,3\,}}$$→ ベクトルの実数倍・加法・減法

p.13 練習7\({\small (1)}~\)

\({\small (2)}~\)

\({\small (3)}~\)

\({\small (4)}~\)

p.14 練習8$${\small (1)}~2\overrightarrow{a}$$$${\small (2)}~-2\overrightarrow{a}+5\overrightarrow{b}$$$${\small (3)}~10\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b}$$$${\small (4)}~-7\overrightarrow{a}$$→ ベクトルの演算

p.15 練習9$${\small (1)}~4\overrightarrow{e}~,~-4\overrightarrow{e}$$$${\small (2)}~{ \frac{\,1\,}{\,3\,}}\overrightarrow{a}$$

p.16 練習10$${\small (1)}~2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$$$${\small (2)}~-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$$$${\small (3)}~-\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$$→ ベクトルの分解（正六角形のベクトル）

p.18 練習11$$~~~\overrightarrow{b}=(-2,4)~,~|\overrightarrow{b}|=2\sqrt{5}$$$$~~~\overrightarrow{c}=(-2,-2)~,~|\overrightarrow{c}|=2\sqrt{2}$$$$~~~\overrightarrow{d}=(3,-4)~,~|\overrightarrow{d}|=5$$$$~~~\overrightarrow{e}=(-1,0)~,~|\overrightarrow{e}|=1$$→ ベクトルの成分と大きさ

p.19 練習12$${\small (1)}~(6~,~-2)$$$${\small (2)}~(4~,~-2)$$$${\small (3)}~\left(-1~,~{ \frac{\,1\,}{\,2\,}}\right)$$$${\small (4)}~(1~,~1)$$$${\small (5)}~(24~,~-10)$$$${\small (6)}~(-26~,~10)$$

p.19 練習13$$~~~\overrightarrow{c}=3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$$→ ベクトルの成分と式変形

p.20 練習14$${\small (1)}~x=6$$$${\small (2)}~x=4$$→ ベクトルの成分と平行条件

p.21 練習15$${\small (1)}~\overrightarrow{\rm AB}=(-4~,~4)~,~|\overrightarrow{\rm AB}|=4\sqrt{2}$$$${\small (2)}~\overrightarrow{\rm AB}=(5~,~-4)~,~|\overrightarrow{\rm AB}|=\sqrt{41}$$→ 点の座標とベクトルの成分

p.21 練習16$${\small (1)}~x=2~,~y=3$$$${\small (2)}~x=0~,~y=-1$$→ 平行四辺形とベクトル

p.23 練習17$${\small (1)}~6\sqrt{2}$$$${\small (2)}~-18\sqrt{3}$$

p.23 練習18$${\small (1)}~-3$$$${\small (2)}~0$$→ ベクトルの内積①（基本）

p.24 練習19$${\small (1)}~-4$$$${\small (2)}~4\sqrt{3}$$$${\small (3)}~0$$→ ベクトルの内積②（成分利用）

p.25 練習20$${\small (1)}~135^\circ$$$${\small (2)}~30^\circ$$$${\small (3)}~90^\circ$$$${\small (4)}~180^\circ$$$${\small (5)}~0^\circ$$→ ベクトルのなす角

p.25 練習21$${\small (1)}~x=-8$$$${\small (2)}~x=-1~,~2$$

p.26 練習22$${\small (1)}~\overrightarrow{b}=(\sqrt{2},-2\sqrt{2})~,~(-\sqrt{2},2\sqrt{2})$$$${\small (2)}~\overrightarrow{e}=\left({ \frac{\,3\,}{\,5\,}},-{ \frac{\,4\,}{\,5\,}}\right)~,~\left(-{ \frac{\,3\,}{\,5\,}},{ \frac{\,4\,}{\,5\,}}\right)$$→ ベクトルの垂直条件

p.26 練習23$$~~~(-2,-4)$$

p.27 練習24[証明]
\(\overrightarrow{a}=(a_1,a_2)\)
\(\overrightarrow{b}=(b_1,b_2)\)
\(\overrightarrow{c}=(c_1,c_2)\)
とすると、
　\(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}=(b_1-c_1,b_2-c_2)\)
となる
　(左辺)
\(=\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})\)
\(=a_1(b_1-c_1)+a_2(b_2-c_2)\)
\(=a_1b_1+a_2b_2-a_1c_1-a_2c_2\)
　(右辺)
\(=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}\)
\(=(a_1b_1+a_2b_2)-(a_1c_1+a_2c_2)\)
したがって、
\(\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}\)
[終]

p.28 練習25\({\small (1)}~\)[証明]
　(左辺)
\(=|2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|^2\)
\(=(2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot(2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\)
\(=2\overrightarrow{a}\cdot(2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{b}(2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\)
\(=2\overrightarrow{a}\cdot2\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\)
　　　　\(+2\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}\)
\(=4|\overrightarrow{a}|^2+4\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^2\)
\(=\) (右辺)
したがって、
\(|2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|^2\)
　　　\(=4|\overrightarrow{a}|^2+4\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^2\)
[終]
 
\({\small (2)}~\)[証明]
　(左辺)
\(=(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\)
\(=\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})+\overrightarrow{b}(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\)
\(=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\)
　　　　\(+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}\)
\(=|\overrightarrow{a}|^2-|\overrightarrow{b}|^2\)
\(=\) (右辺)
したがって、
\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\)
　　　\(=|\overrightarrow{a}|^2-|\overrightarrow{b}|^2\)
[終]
→ 内積を用いた等式証明

p.28 練習26$${\small (1)}~\sqrt{7}$$$${\small (2)}~\sqrt{37}$$→ 内積の性質の利用（ベクトルの大きさと内積）

p.29 研究 練習1$$~~~5\sqrt{3}$$

p.29 研究 練習2$$~~~3$$→ ベクトルと三角形の面積

p.30 補充問題 2\({\small (1)}~\)[証明]
ベクトル \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}\) のなす角を \(\theta\) とすると、
　\(\overrightarrow{a}\,//\,\overrightarrow{b}\)
\(~\Leftrightarrow~\theta=0^\circ\) または \(\theta=180^\circ\)
\(~\Leftrightarrow~\cos{\theta}=1\) または \(\cos{\theta}=-1\)
\(~\Leftrightarrow~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\) または \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=-|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\)
よって、\(|\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\)
\(|\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}|≧0~,~|\overrightarrow{a}|≧0~,~|\overrightarrow{b}|≧0\) であるので、
　\(|\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}|^2=|\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2\)
それぞれの成分より、
　\((a_1b_1+a_2b_2)^2\)
　　　\(=(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)\)
展開して計算すると、
　\((a_1b_2-a_2b_1)^2=0\)
よって、
　\(a_1b_2-a_2b_1=0\)
したがって、\(\overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0}~,~\overrightarrow{b}\neq\overrightarrow{0}\) で、
\(\overrightarrow{a}=(a_1,a_2)~,~\overrightarrow{b}=(b_1,b_2)\) のとき、
　\(\overrightarrow{a}\,//\,\overrightarrow{b}~\Leftrightarrow~a_1b_2-a_2b_1=0\)
[終]
$${\small (2)}~x=-3$$

p.31 練習27$${\small (1)}~\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}$$$${\small (2)}~\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$$$${\small (3)}~\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$$

p.33 練習28$${\small (1)}~{ \frac{\,3\,}{\,5\,}}\overrightarrow{a}+{ \frac{\,2\,}{\,5\,}}\overrightarrow{b}$$$${\small (2)}~{ \frac{1}{\,4\,}}\overrightarrow{a}+{ \frac{\,3\,}{\,4\,}}\overrightarrow{b}$$$${\small (3)}~-{ \frac{1}{\,3\,}}\overrightarrow{a}+{ \frac{\,4\,}{\,3\,}}\overrightarrow{b}$$$${\small (4)}~2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$$→ 内分点・外分点の位置ベクトル

p.35 練習29$${\small (1)}~\overrightarrow{g}={ \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{3}}$$\({\small (2)}~\)[証明] \({\rm G}\) の位置ベクトルが
　\(\overrightarrow{g}={\large \frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3}}\)
であるので、
　　\(\overrightarrow{\rm GA}+\overrightarrow{\rm GB}+\overrightarrow{\rm GC}\)
　\(=(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{g})+(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{g})+(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{g})\)
　\(=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}-3\overrightarrow{g}\)
　\(=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}-3\left({\large \frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3}}\right)\)
　\(=\overrightarrow{0}\)
したがって、
　\(\overrightarrow{\rm GA}+\overrightarrow{\rm GB}+\overrightarrow{\rm GC}=\overrightarrow{0}\) [終]
→ 重心の位置ベクトル

p.36 練習30$${\small (1)}~\overrightarrow{\rm AE}={ \frac{1}{\,3\,}}\overrightarrow{\rm AB}+{ \frac{\,2\,}{\,3\,}}\overrightarrow{\rm AC}$$$${\small (2)}~\overrightarrow{\rm AF}=-2\overrightarrow{\rm AB}+3\overrightarrow{\rm AC}$$$${\small (3)}~\overrightarrow{\rm EF}=-{ \frac{\,7\,}{\,3\,}}\overrightarrow{\rm AB}+{ \frac{\,7\,}{\,3\,}}\overrightarrow{\rm AC}$$→ 内分点・外分点の位置ベクトル

p.37 練習31[証明] \(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm AD}=\overrightarrow{d}\) とすると
点 \({\rm E}\) は辺 \({\rm BC}\) を \(3:2\) に内分し、\(\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d}\) より、
　\(\overrightarrow{\rm AE}={\large \frac{2\overrightarrow{b}+3(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d})}{3+2}}\)
　　\(={\large \frac{5\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{d}}{5}}\)
また、点 \({\rm F}\) は辺 \({\rm BD}\) を \(3:5\) に内分するので、
　\(\overrightarrow{\rm AF}={\large \frac{5\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{d}}{3+5}}\)
　　\(={\large \frac{5\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{d}}{8}}\)
よって、
　\(\overrightarrow{\rm AF}={\large \frac{5}{8}}\cdot{\large \frac{5\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{d}}{5}}\)
これより、
　\(\overrightarrow{\rm AF}={\large \frac{5}{8}}\overrightarrow{\rm AE}\)
したがって、３点 \({\rm A~,~F~,~E}\) は一直線上にある [終]
→ ３点が同一直線上にある条件

p.38 練習32$$~~~\overrightarrow{\rm OP}={ \frac{1}{\,2\,}}\overrightarrow{a}+{ \frac{1}{\,6\,}}\overrightarrow{b}$$→ ２直線の交点とベクトル

p.39 練習33[証明] \(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm AD}=\overrightarrow{d}\) とすると、\({\rm AB=AD}\) より \(|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{d}|\)
次に、
　\(\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d}~,~\overrightarrow{\rm DB}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{d}\)
これより、
　　\(\overrightarrow{\rm AC}\cdot\overrightarrow{\rm DB}\)
　\(=(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d})\cdot(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{d})\)
　\(=|\overrightarrow{b}|^2-|\overrightarrow{d}|^2\)
　\(=0\)
よって、\(\overrightarrow{\rm AC}\neq\overrightarrow{0}~,~\overrightarrow{\rm DB}\neq\overrightarrow{0}\) であるので、
　\(\overrightarrow{\rm AC}\perp\overrightarrow{\rm DB}\)
よって、\({\rm AC\perp DB}\)
したがって、
　\({\rm AB=AD}\) ならば \({\rm AC\perp DB}\) [終]

p.40 練習34

p.41 練習35$$~~~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x=2-4t \\ y=-1+3t
\end{array}\right.\end{eqnarray}$$$$~~~3x+4y-2=0$$→ 直線のベクトル方程式

p.42 練習36

p.43 練習37\(\overrightarrow{\rm OA’}={\large \frac{1}{\,2\,}}\overrightarrow{\rm OA}~,~\overrightarrow{\rm OB’}={\large \frac{1}{\,2\,}}\overrightarrow{\rm OB}\) となる点を \({\rm A’~,~B’}\) とすると、線分 \({\rm A’B’}\)
→ ベクトルと点の存在範囲

p.44 練習38$${\small (1)}~x+2y-11=0$$$${\small (2)}~3x-4y+11=0$$

p.44 練習39$${\small (1)}~\overrightarrow{n}=(3~,~-2)$$$${\small (2)}~\overrightarrow{n}=(2~,~1)$$→ 法線ベクトル

p.45 研究 練習1\({\small (1)}~\)中心 \(\overrightarrow{a}\)、半径 \(3\)
\({\small (2)}~\)中心 \({\large \frac{1}{\,2\,}}\overrightarrow{a}\)、半径 \(2\)
→ 円のベクトル方程式

p.45 研究 練習2(ⅰ) \({\rm P}\) が \({\rm O}\) に一致するとき、
　\(\overrightarrow{p}=\overrightarrow{0}\)
よって、
　\(\overrightarrow{p}\cdot(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})=0\)
(ⅱ) \({\rm P}\) が \({\rm A}\) に一致するとき、
　\(\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}\)
よって、
　\(\overrightarrow{p}\cdot(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})=0\)
(ⅲ) \({\rm P}\) が \({\rm O~,~A}\) に一致しないとき、
　\({\rm OP\perp AP}~\Leftrightarrow~\overrightarrow{\rm OP}\cdot\overrightarrow{\rm AP}=0\)
よって、
　\(\overrightarrow{p}\cdot(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})=0\)
したがって、このベクトル方程式は、
　\(\overrightarrow{p}\cdot(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})=0\) [終]

p.47 補充問題 4[証明] \(\overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{\rm OC}=\overrightarrow{c}\) とすると
　\(\overrightarrow{\rm OD}={\large \frac{2}{3}}\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{\rm OE}={\large \frac{2}{3}}\overrightarrow{c}\)
よって、
　\(\overrightarrow{\rm DE}=\overrightarrow{\rm OE}-\overrightarrow{\rm OD}={\large \frac{2}{3}}\overrightarrow{c}-{\large \frac{2}{3}}\overrightarrow{a}\)
次に、
　\(\overrightarrow{\rm OF}={\large \frac{1}{3}}\overrightarrow{\rm OB}={\large \frac{1}{3}}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c})\)
これより、
　\(\overrightarrow{\rm DF}=\overrightarrow{\rm OF}-\overrightarrow{\rm OD}={\large \frac{1}{3}}\overrightarrow{c}-{\large \frac{1}{3}}\overrightarrow{a}\)
よって、
　\(\overrightarrow{\rm DE}=2\left({\large \frac{1}{3}}\overrightarrow{c}-{\large \frac{1}{3}}\overrightarrow{a}\right)\)
これより、
　\(\overrightarrow{\rm DE}=2\overrightarrow{\rm DF}\)
したがって、３点 \({\rm D~,~F~,~E}\) は一直線上にある [終]

p.47 補充問題 5[証明]
\(\overrightarrow{\rm HA}=\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{\rm HB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm HC}=\overrightarrow{c}\) とすると、
\({\rm HB}\perp {\rm CA}\) より、\(\overrightarrow{\rm HB}\cdot\overrightarrow{\rm CA}=0\)
よって、
　\(\overrightarrow{b}\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})=0\)
これより、
　\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}\) …①
また、同様に \({\rm HC}\perp {\rm AB}\) より、\(\overrightarrow{\rm HC}\cdot\overrightarrow{\rm AB}=0\)
よって、
　\(\overrightarrow{c}\cdot(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})=0\)
これより、
　\(\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}\) …②
ここで、
\(~~~~~~\overrightarrow{\rm HA}\cdot\overrightarrow{\rm BC}\)
\(~=\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b})\)
\(~=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\)
①、②を代入すると、
\(~=\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}\)
\(~=0\)
したがって、\(\overrightarrow{\rm HA}\neq\overrightarrow{0}~,~\overrightarrow{\rm BC}\neq\overrightarrow{0}\) であるから \(\overrightarrow{\rm HA}\perp\overrightarrow{\rm BC}\) より、
　\({\rm HA}\perp{\rm BC}\) [終]

p.48 章末問題Ａ 2$${\small (1)}~t=-3~,~1$$\({\small (2)}~\)[証明]
　\(|\overrightarrow{c}|^2\)
\(=(3+t)^2+(1+2t)^2\)
\(=5t^2+10t+10\)
\(=5(t+1)^2+5\)
ここで、\(|\overrightarrow{c}|≧0\) であるので \(|\overrightarrow{c}|^2\) が最小のとき \(|\overrightarrow{c}|\) も最小となる
よって、\(t=-1\) のとき \(|\overrightarrow{c}|\) が最小となる
これより、
　\(\overrightarrow{c}\)
\(=(3-1,1+2\times(-1))\)
\(=(2,-1)\)
よって、
　\(\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}\)
\(=1\times2+2\times(-1)\)
\(=0\)
したがって、\(\overrightarrow{b}\neq\overrightarrow{0}~,~\overrightarrow{c}\neq\overrightarrow{0}\) であるので、
　\(\overrightarrow{b}\perp\overrightarrow{c}\) [終]

p.48 章末問題Ａ 4

p.48 章末問題Ａ 5$${\small (1)}~\overrightarrow{\rm AP}={ \frac{1}{\,6\,}}\overrightarrow{b}+{ \frac{1}{\,2\,}}\overrightarrow{c}$$\({\small (2)}~\)[証明] \(\overrightarrow{\rm AF}={\large \frac{3}{5}}\overrightarrow{c}\) より、
　　\(\overrightarrow{\rm BF}\)
　\(=\overrightarrow{\rm AF}-\overrightarrow{\rm AB}\)
　\(={\large \frac{3}{5}}\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}\)
　\(={\large \frac{-5\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}}{5}}\)
次に、
　　\(\overrightarrow{\rm BP}\)
　\(=\overrightarrow{\rm AP}-\overrightarrow{\rm AB}\)
　\(={\large \frac{1}{6}}\overrightarrow{b}+{\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}\)
　\(={\large \frac{-5\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}}{6}}\)
　\(={\large \frac{5}{6}}\cdot{\large \frac{-5\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}}{5}}\)
よって、
　\(\overrightarrow{\rm BP}={\large \frac{5}{6}}\overrightarrow{\rm BF}\)
したがって、３点 \({\rm B~,~P~,~F}\) は同一直線上にある [終]

p.49 章末問題Ｂ 7\({\small (1)}~\)[証明] \({\rm G}\) は \(\triangle {\rm ABC}\) の重心であるので、
　\(\overrightarrow{\rm OG}={\large \frac{\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm OB}+\overrightarrow{\rm OC}}{3}}\)
よって、
　\(\overrightarrow{\rm OG}={\large \frac{1}{3}}\overrightarrow{\rm OH}\)
したがって、３点 \({\rm O~,~G~,~H}\) は同一直線上にある [終]
\({\small (2)}~\)[証明]
　\(\overrightarrow{\rm BH}\)
\(=\overrightarrow{\rm OH}-\overrightarrow{\rm OB}\)
\(=(\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm OB}+\overrightarrow{\rm OC})-\overrightarrow{\rm OB}\)
\(=\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm OC}\)
よって、
　\(\overrightarrow{\rm BH}\cdot\overrightarrow{\rm CA}\)
\(=(\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm OC})\cdot(\overrightarrow{\rm OA}-\overrightarrow{\rm OC})\)
\(=|\overrightarrow{\rm OA}|^2-|\overrightarrow{\rm OC}|^2\)
ここで、\({\rm OA~,~OC}\) は外接円の半径より、
\(=0\)
よって、
　\(\overrightarrow{\rm BH}\cdot\overrightarrow{\rm CA}=0\)　…①
また、
　\(\overrightarrow{\rm CH}\)
\(=\overrightarrow{\rm OH}-\overrightarrow{\rm OB}\)
\(=(\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm OB}+\overrightarrow{\rm OC})-\overrightarrow{\rm OC}\)
\(=\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm OB}\)
よって、
　\(\overrightarrow{\rm CH}\cdot\overrightarrow{\rm AB}\)
\(=(\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm OB})\cdot(\overrightarrow{\rm OA}-\overrightarrow{\rm OB})\)
\(=|\overrightarrow{\rm OA}|^2-|\overrightarrow{\rm OB}|^2\)
ここで、\({\rm OA~,~OB}\) は外接円の半径より、
\(=0\)
よって、
　\(\overrightarrow{\rm CH}\cdot\overrightarrow{\rm AB}=0\)　…②
①と②と\(\overrightarrow{\rm BH}~,~\overrightarrow{\rm CA}~,~\overrightarrow{\rm CH}~,~\overrightarrow{\rm AB}\) が \(\overrightarrow{0}\) でないことより、
　\(\overrightarrow{\rm BH}\perp\overrightarrow{\rm CA}\) かつ \(\overrightarrow{\rm CH}\perp\overrightarrow{\rm AB}\)
したがって、
　\({\rm BH\perp CA}\) かつ \({\rm CH\perp AB}\)
[終]