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第１章 式と証明
第２章 複素数と方程式
第３章 図形と方程式
第４章 三角関数
第５章 指数関数と対数関数
第６章 微分法と積分法
第１節 微分係数と導関数
p.179
練習4
\({\small (1)}~2\) \({\small (2)}~-4\)
練習4
\({\small (1)}~2\) \({\small (2)}~-4\)
p.181
練習5
\({\small (1)}~\)$$~~~~~f'(x)$$$$~=\lim_{h\to0}\frac{3(x+h)-3x}{h}$$$$~=\lim_{h\to0}\frac{3h}{h}$$$$~=3$$
\({\small (2)}~\) $$~~~~~f'(x)$$$$~=\lim_{h\to0}\frac{-(x+h)^2-(-x^2)}{h}$$$$~=\lim_{h\to0}\frac{-2xh-h^2}{h}$$$$~=\lim_{h\to0}(-2x-h)$$$$~=-2x$$→ 導関数
練習5
\({\small (1)}~\)$$~~~~~f'(x)$$$$~=\lim_{h\to0}\frac{3(x+h)-3x}{h}$$$$~=\lim_{h\to0}\frac{3h}{h}$$$$~=3$$
\({\small (2)}~\) $$~~~~~f'(x)$$$$~=\lim_{h\to0}\frac{-(x+h)^2-(-x^2)}{h}$$$$~=\lim_{h\to0}\frac{-2xh-h^2}{h}$$$$~=\lim_{h\to0}(-2x-h)$$$$~=-2x$$→ 導関数
p.181
練習6
\({\small (1)}~y’=4x^3\)
\({\small (2)}~y’=5x^4\)
練習6
\({\small (1)}~y’=4x^3\)
\({\small (2)}~y’=5x^4\)
p.183
練習7
\({\small (1)}~y’=8x+3\)
\({\small (2)}~y’=-6x+1\)
\({\small (3)}~y’=12x^2-4x-5\)
\({\small (4)}~y’=-4x^3-1\)
\({\small (5)}~y’=2x^2+{\large \frac{3}{2}}x-{\large \frac{1}{2}}\)
\({\small (6)}~y’=-{\large \frac{3}{2}}x^2+3x\)
練習7
\({\small (1)}~y’=8x+3\)
\({\small (2)}~y’=-6x+1\)
\({\small (3)}~y’=12x^2-4x-5\)
\({\small (4)}~y’=-4x^3-1\)
\({\small (5)}~y’=2x^2+{\large \frac{3}{2}}x-{\large \frac{1}{2}}\)
\({\small (6)}~y’=-{\large \frac{3}{2}}x^2+3x\)
p.183
練習8
\({\small (1)}~y’=2x+5\)
\({\small (2)}~y’=3x^2-4\)
\({\small (3)}~y’=-6x^2+8x+6\)
\({\small (4)}~y’=12x^3-24x\)
→ 微分の計算
練習8
\({\small (1)}~y’=2x+5\)
\({\small (2)}~y’=3x^2-4\)
\({\small (3)}~y’=-6x^2+8x+6\)
\({\small (4)}~y’=12x^3-24x\)
→ 微分の計算
p.184
練習9
\({\small (1)}~0\) \({\small (2)}~0\) \({\small (3)}~24\)
練習9
\({\small (1)}~0\) \({\small (2)}~0\) \({\small (3)}~24\)
p.185
練習11
\({\small (1)}~s’=6t-4\)
\({\small (2)}~f'(t)=3at^2+2bt\)
練習11
\({\small (1)}~s’=6t-4\)
\({\small (2)}~f'(t)=3at^2+2bt\)
p.185
練習12
\({\large \frac{dV}{dr}}=4\pi r^2~,~{\large \frac{dS}{dr}}=8\pi r\)
練習12
\({\large \frac{dV}{dr}}=4\pi r^2~,~{\large \frac{dS}{dr}}=8\pi r\)
問題
p.188
1
\({\small (1)}~3\) \({\small (2)}~3\)
1
\({\small (1)}~3\) \({\small (2)}~3\)
p.188
2
\({\small (1)}~y’=1+2x+3x^2+4x^3\)
\({\small (2)}~y’=4x+1\)
\({\small (3)}~y’=3x^2\)
\({\small (4)}~y’=3x^2-4x+1\)
2
\({\small (1)}~y’=1+2x+3x^2+4x^3\)
\({\small (2)}~y’=4x+1\)
\({\small (3)}~y’=3x^2\)
\({\small (4)}~y’=3x^2-4x+1\)
p.188
3
\({\small (1)}~\)[証明] \(y=a^2x^2+2abx+b^2\) より、微分すると、
\(y’=2a^2x+2ab=2a(ax+b)\)
したがって、
\(y=(ax+b)^2\) のとき \(y’=2a(ax+b)\) [終]
\({\small (2)}~\)[証明]
\(y=a^3x^3+3a^2bx^2+3ab^2x+b^3\) より、微分すると、
\(y’=3a^3x^2+6a^2bx+3a^2\)
\(~~=3a(a^2x^2+2abx+b^2)\)
\(~~=3a(ax+b)^2\)
したがって、
\(y=(ax+b)^3\) のとき \(y’=3a(ax+b)^2\) [終]
3
\({\small (1)}~\)[証明] \(y=a^2x^2+2abx+b^2\) より、微分すると、
\(y’=2a^2x+2ab=2a(ax+b)\)
したがって、
\(y=(ax+b)^2\) のとき \(y’=2a(ax+b)\) [終]
\({\small (2)}~\)[証明]
\(y=a^3x^3+3a^2bx^2+3ab^2x+b^3\) より、微分すると、
\(y’=3a^3x^2+6a^2bx+3a^2\)
\(~~=3a(a^2x^2+2abx+b^2)\)
\(~~=3a(ax+b)^2\)
したがって、
\(y=(ax+b)^3\) のとき \(y’=3a(ax+b)^2\) [終]
p.188
4
\(f(x)=x^2-4x+8\)
4
\(f(x)=x^2-4x+8\)
p.188
5
\(y=4x-9\)
5
\(y=4x-9\)
p.188
6
ア:\(3\) イ:\(2\) ウ:\(2\) エ:\(3\) オ:\(2\)
カ:\(0\) キ:\(3\) ク:\(2\) ケ:\(2\) コ:\(7\)
サ:\(1\) シ:\(9\)
6
ア:\(3\) イ:\(2\) ウ:\(2\) エ:\(3\) オ:\(2\)
カ:\(0\) キ:\(3\) ク:\(2\) ケ:\(2\) コ:\(7\)
サ:\(1\) シ:\(9\)
第２節 関数の値の変化
p.191
練習15
\({\small (1)}~\)
\(x≦0\) で増加
\(0≦x≦4\) で減少
\(4≦x\) で増加
\({\small (2)}~\)
\(x≦-1\) で減少
\(-1≦x≦0\) で増加
\(0≦x\) で減少
\({\small (3)}~\)常に減少
\({\small (4)}~\)常に増加
練習15
\({\small (1)}~\)
\(x≦0\) で増加
\(0≦x≦4\) で減少
\(4≦x\) で増加
\({\small (2)}~\)
\(x≦-1\) で減少
\(-1≦x≦0\) で増加
\(0≦x\) で減少
\({\small (3)}~\)常に減少
\({\small (4)}~\)常に増加
p.192
練習16
\({\small (1)}~\)
\(x=1\) で極大値 \(4\)
\(x=3\) で極小値 \(0\)
\({\small (2)}~\)
\(x=2\) で極大値 \(5\)
\(x=0\) で極小値 \(1\)
→ ３次関数のグラフと増減表
練習16
\({\small (1)}~\)
\(x=1\) で極大値 \(4\)
\(x=3\) で極小値 \(0\)
\({\small (2)}~\)
\(x=2\) で極大値 \(5\)
\(x=0\) で極小値 \(1\)
→ ３次関数のグラフと増減表
p.193
練習17
\({\small (1)}~\)
\(x=-2\) で極小値 \(-27\)
\(x=0\) で極大値 \(5\)
\(x=1\) で極小値 \(0\)
\({\small (2)}~\)
\(x=0\) で極大値 \(2\)
\(x=\pm2\) で極小値 \(-14\)
\({\small (3)}~\)
\(x=0\) で極大値 \(0\)
\(x=1\) で極小値 \(-1\)
\(x=2\) で極大値 \(0\)
\({\small (4)}~\)
\(x=3\) で極小値 \(-15\)
→ ４次関数のグラフと増減表
練習17
\({\small (1)}~\)
\(x=-2\) で極小値 \(-27\)
\(x=0\) で極大値 \(5\)
\(x=1\) で極小値 \(0\)
\({\small (2)}~\)
\(x=0\) で極大値 \(2\)
\(x=\pm2\) で極小値 \(-14\)
\({\small (3)}~\)
\(x=0\) で極大値 \(0\)
\(x=1\) で極小値 \(-1\)
\(x=2\) で極大値 \(0\)
\({\small (4)}~\)
\(x=3\) で極小値 \(-15\)
→ ４次関数のグラフと増減表
p.195
練習19
\({\small (1)}~\)
\(x=2\) で最大値 \(20\)
\(x=-3~,~0\) で最小値 \(0\)
\({\small (2)}~\)
\(x=1\) で最大値 \(1\)
\(x=2\) で最小値 \(-2\)
\({\small (3)}~\)
\(x=-1\) で最大値 \(6\)
\(x={\large \frac{3}{2}}\) で最小値 \({\large \frac{21}{16}}\)
→ ３次関数の最大値・最小値
練習19
\({\small (1)}~\)
\(x=2\) で最大値 \(20\)
\(x=-3~,~0\) で最小値 \(0\)
\({\small (2)}~\)
\(x=1\) で最大値 \(1\)
\(x=2\) で最小値 \(-2\)
\({\small (3)}~\)
\(x=-1\) で最大値 \(6\)
\(x={\large \frac{3}{2}}\) で最小値 \({\large \frac{21}{16}}\)
→ ３次関数の最大値・最小値
p.196
練習20
\(2\) ㎝
練習20
\(2\) ㎝
p.197
練習21
\({\small (1)}~\)３個 \({\small (2)}~\)１個
\({\small (3)}~\)２個 \({\small (4)}~\)４個
→ ３次方程式の解の個数①
練習21
\({\small (1)}~\)３個 \({\small (2)}~\)１個
\({\small (3)}~\)２個 \({\small (4)}~\)４個
→ ３次方程式の解の個数①
p.198
練習23
[証明]
\(f(x)=(x^3+3x^2+5)-9x\) とすると、
\(f'(x)=3x^2+6x-9\)
\(=3(x+3)(x-1)\)
よって、\(x≧0\) での増減表は
練習23
[証明]
\(f(x)=(x^3+3x^2+5)-9x\) とすると、
\(f'(x)=3x^2+6x-9\)
\(=3(x+3)(x-1)\)
よって、\(x≧0\) での増減表は
| \(x\) | \(0\) | \(\cdots\) | \(1\) | \(\cdots\) |
| \(f'(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | |
| \(f(x)\) | \(5\) | ↘︎ | \(0\) | ↗︎ |
よって、\(x≧0\) で最小値が \(0\) であるので、
\(f(x)≧0\)
したがって、\(x≧0\) のとき
\(x^3+3x^2+5≧9x\)
また、等号が成り立つときは \(x=1\) のとき [終]
→ ３次不等式の証明
問題
p.200
7
\({\small (1)}~\)
\(x=-\sqrt{2}\) で極大値 \(2+4\sqrt{2}\)
\(x=\sqrt{2}\) で極小値 \(2-4\sqrt{2}\)
\({\small (2)}~\)極値なし
\({\small (3)}~\)
\(x=-{\large \frac{3}{2}}\) で極小値 \(-{\large \frac{11}{16}}\)
7
\({\small (1)}~\)
\(x=-\sqrt{2}\) で極大値 \(2+4\sqrt{2}\)
\(x=\sqrt{2}\) で極小値 \(2-4\sqrt{2}\)
\({\small (2)}~\)極値なし
\({\small (3)}~\)
\(x=-{\large \frac{3}{2}}\) で極小値 \(-{\large \frac{11}{16}}\)
p.200
8
\(a=3~,~b=-9~,~c=-7\)
8
\(a=3~,~b=-9~,~c=-7\)
p.200
9
\({\small (1)}~\)
\(V=\pi x^2(18-2x)~~~(0<x<9)\)
\({\small (2)}~6\) ㎝
9
\({\small (1)}~\)
\(V=\pi x^2(18-2x)~~~(0<x<9)\)
\({\small (2)}~6\) ㎝
p.200
10
\(0<a<32\)
10
\(0<a<32\)
p.200
11
ア:\(3\) イ:\(2\) ウ:\(3\) エ:\(4\) オ:\(9\)
11
ア:\(3\) イ:\(2\) ウ:\(3\) エ:\(4\) オ:\(9\)
第３節 積分法
p.201
練習24
②、④
練習24
②、④
p.201
練習25
[証明]
\(n\) が \(0\) または正の整数のとき、
\(F(x)={\large \frac{1}{n+1}}x^{n+1}\)
とすると、
\(F'(x)=(n+1)\cdot{\large \frac{1}{n+1}}x^{n}=x^n\)
よって、\(x^n\) の不定積分の１つは \(F(x)\) である
したがって、
\(\int x^n dx={\large \frac{1}{n+1}}x^{n+1}+C\)
[終]
また、\(C\) を積分定数として
\(\int x^3 dx={\large \frac{1}{4}}x^4+C\)
練習25
[証明]
\(n\) が \(0\) または正の整数のとき、
\(F(x)={\large \frac{1}{n+1}}x^{n+1}\)
とすると、
\(F'(x)=(n+1)\cdot{\large \frac{1}{n+1}}x^{n}=x^n\)
よって、\(x^n\) の不定積分の１つは \(F(x)\) である
したがって、
\(\int x^n dx={\large \frac{1}{n+1}}x^{n+1}+C\)
[終]
また、\(C\) を積分定数として
\(\int x^3 dx={\large \frac{1}{4}}x^4+C\)
p.203
練習26
\(C\) を積分定数として、
\({\small (1)}~{\large \frac{5}{3}}x^3+C\)
\({\small (2)}~{\large \frac{1}{3}}x^3+{\large \frac{1}{2}}x^2-x+C\)
\({\small (3)}~{\large \frac{1}{4}}x^4-2x^3-x^2+5x+C\)
\({\small (4)}~-{\large \frac{2}{3}}x^3-{\large \frac{1}{2}}x^2+7x+C\)
練習26
\(C\) を積分定数として、
\({\small (1)}~{\large \frac{5}{3}}x^3+C\)
\({\small (2)}~{\large \frac{1}{3}}x^3+{\large \frac{1}{2}}x^2-x+C\)
\({\small (3)}~{\large \frac{1}{4}}x^4-2x^3-x^2+5x+C\)
\({\small (4)}~-{\large \frac{2}{3}}x^3-{\large \frac{1}{2}}x^2+7x+C\)
p.204
練習27
\(C\) を積分定数として、
\({\small (1)}~t^3+{\large \frac{5}{2}}t^2-2t+C\)
\({\small (2)}~t^3-3t^2+3t+C\)
→ 不定積分
練習27
\(C\) を積分定数として、
\({\small (1)}~t^3+{\large \frac{5}{2}}t^2-2t+C\)
\({\small (2)}~t^3-3t^2+3t+C\)
→ 不定積分
p.206
練習29
\({\small (1)}~4\) \({\small (2)}~3\)
\({\small (3)}~-{\large \frac{15}{4}}\) \({\small (4)}~-6\)
練習29
\({\small (1)}~4\) \({\small (2)}~3\)
\({\small (3)}~-{\large \frac{15}{4}}\) \({\small (4)}~-6\)
p.206
練習30
\({\small (1)}~{\large \frac{2}{3}}\) \({\small (2)}~-{\large \frac{1}{6}}\)
\({\small (3)}~-{\large \frac{3}{4}}\) \({\small (4)}~{\large \frac{64}{3}}\)
→ 定積分の計算
練習30
\({\small (1)}~{\large \frac{2}{3}}\) \({\small (2)}~-{\large \frac{1}{6}}\)
\({\small (3)}~-{\large \frac{3}{4}}\) \({\small (4)}~{\large \frac{64}{3}}\)
→ 定積分の計算
p.207
練習31
\(12\)
練習31
\(12\)
p.208
練習32
\(0\)
練習32
\(0\)
p.208
練習33
\({\small [1]}~\)[証明] \(f(x)\)の原始関数の１つを \(F(x)\) とすると、
\(\int_{a}^{a}f(x)dx\)
\(=\left[ F(x) \right]_{a}^{a}\)
\(=F(a)-F(a)=0\)
したがって、
\(\int_{a}^{a}f(x)dx=0\) [終]
\({\small [2]}~\)[証明] \(f(x)\)の原始関数の１つを \(F(x)\) とすると、
\(\int_{b}^{a}f(x)dx\)
\(=\left[ F(x) \right]_{b}^{a}\)
\(=F(a)-F(b)\)
\(=-\left(F(b)-F(a)\right)\)
\(=-\left[ F(x) \right]_{a}^{b}\)
\(=-\int_{a}^{b}f(x)dx\)
したがって、
\(\int_{b}^{a}f(x)dx=-\int_{a}^{b}f(x)dx\) [終]
練習33
\({\small [1]}~\)[証明] \(f(x)\)の原始関数の１つを \(F(x)\) とすると、
\(\int_{a}^{a}f(x)dx\)
\(=\left[ F(x) \right]_{a}^{a}\)
\(=F(a)-F(a)=0\)
したがって、
\(\int_{a}^{a}f(x)dx=0\) [終]
\({\small [2]}~\)[証明] \(f(x)\)の原始関数の１つを \(F(x)\) とすると、
\(\int_{b}^{a}f(x)dx\)
\(=\left[ F(x) \right]_{b}^{a}\)
\(=F(a)-F(b)\)
\(=-\left(F(b)-F(a)\right)\)
\(=-\left[ F(x) \right]_{a}^{b}\)
\(=-\int_{a}^{b}f(x)dx\)
したがって、
\(\int_{b}^{a}f(x)dx=-\int_{a}^{b}f(x)dx\) [終]
p.210
練習36
\(3x^2-2x-1\)
練習36
\(3x^2-2x-1\)
p.214
練習39
\({\small (1)}~{\large \frac{4}{3}}\) \({\small (2)}~{\large \frac{27}{4}}\)
→ 定積分と面積①（x軸と囲まれた面積）
練習39
\({\small (1)}~{\large \frac{4}{3}}\) \({\small (2)}~{\large \frac{27}{4}}\)
→ 定積分と面積①（x軸と囲まれた面積）
p.216
練習40
\({\small (1)}~{\large \frac{9}{2}}\) \({\small (2)}~{\large \frac{32}{3}}\)
\({\small (3)}~{\large \frac{64}{3}}\)
→ 定積分と面積②（２つの関数で囲まれた面積）
練習40
\({\small (1)}~{\large \frac{9}{2}}\) \({\small (2)}~{\large \frac{32}{3}}\)
\({\small (3)}~{\large \frac{64}{3}}\)
→ 定積分と面積②（２つの関数で囲まれた面積）
p.217
練習41
\({\large \frac{37}{12}}\)
練習41
\({\large \frac{37}{12}}\)
p.219
研究1
\({\large \frac{64}{3}}\)
研究1
\({\large \frac{64}{3}}\)
p.220
研究1
\({\large \frac{8\sqrt{2}}{3}}\)
研究1
\({\large \frac{8\sqrt{2}}{3}}\)
問題
p.221
12
\(y=x^2+x\)
12
\(y=x^2+x\)
p.221
13
\({\small (1)}~8\) \({\small (2)}~-{\large \frac{9}{2}}\)
\({\small (3)}~3\)
13
\({\small (1)}~8\) \({\small (2)}~-{\large \frac{9}{2}}\)
\({\small (3)}~3\)
p.221
14
\({\small (1)}~{\large \frac{16}{3}}\) \({\small (2)}~{\large \frac{4}{3}}\)
14
\({\small (1)}~{\large \frac{16}{3}}\) \({\small (2)}~{\large \frac{4}{3}}\)
章末問題 微分法と積分法
章末問題Ａ
p.222
1
\({\small (1)}~y’=-6x^2-2x+2\)
\({\small (2)}~y’=3x^2\)
1
\({\small (1)}~y’=-6x^2-2x+2\)
\({\small (2)}~y’=3x^2\)
p.222
2
\({\small (1)}~y=3x-18\)
\({\small (2)}~-{\large \frac{1}{3}}\)
2
\({\small (1)}~y=3x-18\)
\({\small (2)}~-{\large \frac{1}{3}}\)
p.222
3
\({\small (1)}~x=0\) で極大値 \(0\)
\({\small (2)}~\)極値なし
\({\small (3)}~x={\large \frac{2}{3}}a\) で極大値 \(-{\large \frac{4}{27}}a^3\)
3
\({\small (1)}~x=0\) で極大値 \(0\)
\({\small (2)}~\)極値なし
\({\small (3)}~x={\large \frac{2}{3}}a\) で極大値 \(-{\large \frac{4}{27}}a^3\)
p.222
4
\(a=1~,~b=-6~,~c=9~,~d=1\)
4
\(a=1~,~b=-6~,~c=9~,~d=1\)
p.222
5
\(-1<a<3\)
5
\(-1<a<3\)
p.222
6
\({\small (1)}~{\large \frac{172}{3}}\) \({\small (2)}~-{\large \frac{8\sqrt{2}}{3}}\)
6
\({\small (1)}~{\large \frac{172}{3}}\) \({\small (2)}~-{\large \frac{8\sqrt{2}}{3}}\)
p.222
7
\(f(x)=x^2-{\large \frac{2}{3}}\)
7
\(f(x)=x^2-{\large \frac{2}{3}}\)
p.222
8
\(x=1\) で極大値 \(0\)
8
\(x=1\) で極大値 \(0\)
p.222
9
\({\small (1)}~{\large \frac{49}{3}}\) \({\small (2)}~{\large \frac{39}{2}}\)
9
\({\small (1)}~{\large \frac{49}{3}}\) \({\small (2)}~{\large \frac{39}{2}}\)
章末問題Ｂ
p.223
10
\(k≧3\)
10
\(k≧3\)
p.223
11
\(k=32\)
11
\(k=32\)
p.223
12
\(V_1:V_2=8:27\)
12
\(V_1:V_2=8:27\)
p.223
13
[証明]
\(a\neq0\) として１次関数を
\(f(x)=ax+b\)
とすると、$$~~~~~~\int_{0}^{1}(ax+b)dx$$$$~=\left[ \frac{a}{2}x^2+bx \right]_{0}^{1}$$$$~=\frac{a}{2}+b$$次に、$$~~~~~~\int_{0}^{1}(ax+b)^2dx$$$$~=\int_{0}^{1}(a^2x^2+2abx+b^2)dx$$$$~=\left[ \frac{a^2}{3}x^3+abx^2+b^2x \right]_{0}^{1}$$$$~=\frac{a^2}{3}+ab+b^2$$よって、
(右辺)−(左辺)$$~=\left(\frac{a^2}{3}+ab+b^2\right)-\left(\frac{a}{2}+b\right)^2$$$$~=\frac{a^2}{12}>0$$したがって、$$~\left\{\int_{0}^{1}f(x)dx\right\}^2<\int_{0}^{1}\left\{f(x)\right\}^2dx$$[終]
13
[証明]
\(a\neq0\) として１次関数を
\(f(x)=ax+b\)
とすると、$$~~~~~~\int_{0}^{1}(ax+b)dx$$$$~=\left[ \frac{a}{2}x^2+bx \right]_{0}^{1}$$$$~=\frac{a}{2}+b$$次に、$$~~~~~~\int_{0}^{1}(ax+b)^2dx$$$$~=\int_{0}^{1}(a^2x^2+2abx+b^2)dx$$$$~=\left[ \frac{a^2}{3}x^3+abx^2+b^2x \right]_{0}^{1}$$$$~=\frac{a^2}{3}+ab+b^2$$よって、
(右辺)−(左辺)$$~=\left(\frac{a^2}{3}+ab+b^2\right)-\left(\frac{a}{2}+b\right)^2$$$$~=\frac{a^2}{12}>0$$したがって、$$~\left\{\int_{0}^{1}f(x)dx\right\}^2<\int_{0}^{1}\left\{f(x)\right\}^2dx$$[終]
p.223
14
\(a=2~,~-2\)
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\(a=2~,~-2\)
p.223
15
\({\large \frac{16}{3}}\)
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16
\({\large \frac{64}{3}}\)
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