【新課程】数研出版：数学Ⅱ[709]

p.193 練習1$$~~19.6~{\rm m/s}$$

p.193 練習2$${\small (1)}~2$$$${\small (2)}~2a+2b$$→ 平均変化率

p.194 練習3$${\small (1)}~5$$$${\small (2)}~12$$→ 極限値

p.195 練習4$$~~~3$$→ 微分係数

p.195 深める$$\begin{eqnarray}~~~f'(a)&=&\lim_{h\to0}\frac{\,(a+h)^2-a^2\,}{\,h\,}\\[3pt]~~~&=&\lim_{h\to0}\frac{\,2ah+h^2\,}{\,h\,}\\[3pt]~~~&=&\lim_{h\to0}(2a+h)\\[3pt]~~~&=&2a\end{eqnarray}$$

p.196 発展 練習1$${\small (1)}~1$$$${\small (2)}~3$$

p.197 発展 練習2$${\small (1)}~-6$$$${\small (2)}~0$$

p.197 発展 練習3$${\small (1)}~-4$$$${\small (2)}~{ \frac{1}{\,2\,}}$$$${\small (3)}~{ \frac{1}{\,2\,}}$$

p.199 練習5$$\begin{eqnarray}{\small (1)}~y’&=&\lim_{h\to0}\frac{\,3(x+h)^2-3x^2\,}{\,h\,}\\[3pt]~~~&=&\lim_{h\to0}\frac{\,6xh+3h^2\,}{\,h\,}\\[3pt]~~~&=&\lim_{h\to0}(6x+3h)\\[3pt]~~~&=&6x\end{eqnarray}$$$$\begin{eqnarray}{\small (2)}~y’&=&\lim_{h\to0}\frac{\,-(x+h)^2-(-x^2)\,}{\,h\,}\\[3pt]~~~&=&\lim_{h\to0}\frac{\,-2xh-h^2\,}{\,h\,}\\[3pt]~~~&=&\lim_{h\to0}(-2x-h)\\[3pt]~~~&=&-2x\end{eqnarray}$$→ 導関数

p.201 練習6$${\small (1)}~y’=2x-2$$$${\small (2)}~y’=-6x-5$$$${\small (3)}~y’=9x^2-4x+4$$$${\small (4)}~y’=-6x^2+5$$$${\small (5)}~y’=4x^3-9x^2+4$$$${\small (6)}~y’=4x^2-{ \frac{1}{\,3\,}}x+{ \frac{2}{\,3\,}}$$$${\small (7)}~y’=12x+7$$$${\small (8)}~y’=6x^2+6x+3$$→ 微分の計算

p.202 練習7$${\small (1)}~0$$$${\small (2)}~1$$$${\small (3)}~-39$$

p.202 練習8$$~~~f(x)=-2x^2+3x$$→ ２次関数の決定（微分係数の利用）

p.203 練習9$$~~~{ \frac{\,dS\,}{da}}=12a$$

p.204 問題2\({\small (1)}~a+b-1\)
\({\small (2)}~\)[証明] \(f(x)\) を微分すると、
　\(f'(x)=2x-1\)
\(x=c\) での微分係数は、
　\(f'(c)=2c-1\)
これと(1)の答えより、
　\(2c-1=a+b-1\)
したがって、
　\(c={\large \frac{a+b}{2}}\) [終]

p.204 問題3\({\small (1)}~\)[証明] \(y=a^2x^2+2abx+b^2\) より、微分すると、
　\(y’=2a^2x+2ab=2a(ax+b)\)
したがって、
\(y=(ax+b)^2\) のとき \(y’=2a(ax+b)\) [終]
 
\({\small (2)}~\)[証明]
\(y=a^3x^3+3a^2bx^2+3ab^2x+b^3\) より、微分すると、
　\(y’=3a^3x^2+6a^2bx+3a^2\)
　\(~~=3a(a^2x^2+2abx+b^2)\)
　\(~~=3a(ax+b)^2\)
したがって、
\(y=(ax+b)^3\) のとき \(y’=3a(ax+b)^2\) [終]

p.205 練習10$${\small (1)}~y=4x+5$$$${\small (2)}~y=12x+16$$→ 接線の方程式①

p.206 練習11\({\small (1)}~\)
　\(y=-x-1~,~(1,-2)\)
または
　\(y=7x-25~,~(5,10)\)
\({\small (2)}~\)
　\(y=3x-2~,~(1,1)\)
→ 接線の方程式②（外部の点から引いた接線）

p.206 深める\(y=x^2+4\) と \(y=-2x+3\) について、$$\begin{eqnarray}~~~x^2+4&=&-2x+3\\[2pt]~~~x^2+2x+1&=&0\end{eqnarray}$$判別式は、$$~~~D_1=2^2-4\cdot1\cdot1=0$$よって、重解をもつ
また、\(y=x^2+4\) と \(y=6x-5\) について、$$\begin{eqnarray}~~~x^2+4&=&6x-5\\[2pt]~~~x^2-6x+9&=&0\end{eqnarray}$$判別式は、$$~~~D_2=(-6)^2-4\cdot1\cdot9=0$$よって、重解をもつ

p.209 問1[証明] \(f(x)=x^3+2x\) の導関数は、
　\(f'(x)=3x^2+2\)
これは任意の \(x\) に対して \(f'(x)>0\)
したがって、関数 \(f(x)=x^3+2x\) は常に単調に増加する [終]

p.209 練習12\({\small (1)}~\)
　\(x≦-3\) で増加
　\(-3≦x≦-1\) で減少
　\(-1≦x\) で増加
\({\small (2)}~\)
　\(x≦-1\) で減少
　\(-1≦x≦1\) で増加
　\(1≦x\) で減少
\({\small (3)}~\)常に減少

p.211 練習13\({\small (1)}~\)\(x=-1\) で極大値 \(1\)、\(x=0\) で極小値 \(0\)

\({\small (2)}~\)\(x=1\) で極大値 \(1\)、\(x=-{\large \frac{1}{\,3\,}}\) で極小値 \(-{\large \frac{5}{\,27\,}}\)

→ ３次関数のグラフと増減表

p.212 練習14\({\small (1)}~\)

\({\small (2)}~\)

p.213 練習15\({\small (1)}~\)\(x=-2\) で極小値 \(-27\)
　\(x=0\) で極大値 \(5\)
　\(x=1\) で極小値 \(0\)

\({\small (2)}~\)\(x=0\) で極大値 \(16\)、\(x=\pm2\) で極小値 \(0\)

\({\small (3)}~\)\(x=0\) で極大値 \(2\)
　\(x=1\) で極小値 \(1\)
　\(x=2\) で極大値 \(2\)

\({\small (4)}~\)\(x=-{\large \frac{\,3\,}{2}}\) で極小値 \(-{\large \frac{11}{\,16\,}}\)

→ ４次関数のグラフと増減表

p.214 練習16　\(a=0~,~b=-3~,~c=3\)、極小値 \(1\)
→ 極値の条件と関数の決定

p.215 練習17\({\small (1)}~\)\(x=3\) で最大値 \(22\)、\(x=-2~,~1\) で最小値 \(2\)
\({\small (2)}~\)\(x=2\) で最大値 \(0\)、\(x=3\) で最小値 \(-8\)
\({\small (3)}~\)\(x=-1\) で最大値 \(17\)、\(x=3\) で最小値 \(-15\)
→ ３次関数の最大値・最小値

p.216 練習18$$~~~6~{\rm cm}$$

p.217 練習19\({\small (1)}~\)１個
\({\small (2)}~\)３個
\({\small (3)}~\)２個
\({\small (4)}~\)２個
→ ３次方程式の解の個数①

p.218 問2$${\small (1)}~a=0~,~4$$$${\small (2)}~a<0~,~4<a$$

p.218 練習20\({\small (1)}~\)
　\(a<-1~,~0<a\) のとき１個
　\(a=-1~,~0\) のとき２個
　\(-1<a<0\) のとき３個
\({\small (2)}~\)
　\(a<2~,~a=3\) のとき２個
　\(a=2\) のとき３個
　\(2<a<3\) のとき４個
　\(a>3\) のとき０個
→ ３次方程式の解の個数②（定数分離法）

p.219 練習21[証明] \(f(x)=2x^3-9x^2+12x-4\) とすると、
　\(f'(x)=6x^2-18x+12\)
　　　\(=6(x-1)(x-2)\)
よって、\(x≧1\) での増減表は

\(x\)	\(1\)	\(\cdots\)	\(2\)	\(\cdots\)
\(f'(x)\)		\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(f(x)\)	\(1\)	↘︎	\(0\)	↗︎

よって、\(x≧1\) で最小値が \(0\) であるので、
　\(f(x)≧0\)
したがって、\(x≧1\) のとき
　\(2x^3-9x^2+12x-4≧0\) [終]
→ ３次不等式の証明

p.219 練習22[証明] \(f(x)=x^4-4x+3\) とすると、
　\(f'(x)=4x^3-4\)
　　　\(=4(x-1)(x^2+x+1)\)
ここで、\(f'(x)=0\) となるのは \(x=1\)
増減表は、

\(x\)	\(\cdots\)	\(1\)	\(\cdots\)
\(f'(x)\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(f(x)\)	↘︎	\(0\)	↗︎

最小値が \(0\) であるので、\(f(x)≧0\)
したがって、
　\(x^4+3≧4x\) [終]

p.220 問題14[証明] \(f(x)=x^4+4x^3+28\) とすると、
　\(f'(x)=4x^3+12x^2\)
　　　\(=4x^2(x+3)\)
ここで、\(f'(x)=0\) となるのは \(x=-3~,~0\)
増減表は、

\(x\)	\(\cdots\)	\(-3\)	\(\cdots\)	\(0\)	\(\cdots\)
\(f'(x)\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)	\(0\)	\(+\)
\(f(x)\)	↘︎	\(1\)	↗︎	\(28\)	↗︎

よって、\(x=-3\) で最小値が \(1\) であるので、\(f(x)>0\)
したがって、
　\(x^4+4x^3+28>0\) [終]

p.224 練習23\(C\) を積分定数として、$${\small (1)}~2x^3+C$$$${\small (2)}~{ \frac{\,1\,}{\,2\,}}x^4+C$$$${\small (3)}~3x^3-x^2-x+C$$$${\small (4)}~-x^4-{ \frac{2}{\,3\,}}x^3+x+C$$

p.224 練習24\(C\) を積分定数として、$${\small (1)}~2x^3+{ \frac{1}{\,2\,}}x^2-x+C$$$${\small (2)}~-{ \frac{1}{\,4\,}}x^4+x^3+C$$$${\small (3)}~3t^3-t+C$$$${\small (4)}~{ \frac{\,4\,}{3}}t^3-2t^2+t+C$$→ 不定積分

p.225 練習25$$~~~F(x)=-2x^3+2x^2+5x-2$$→ 不定積分と関数の決定

p.225 練習26$$~~~y=x^2-4x+5$$

p.225 練習27$$~~~a=-4~,~y=x^3+2x^2-x-2$$→ 接線の傾きの条件と関数の決定

p.226 練習28[証明] \(a>-1\) として、４点が
　\({\rm A}(a,0)~,~{\rm B}(a,a+1)\)
　\({\rm P}(x,0)~,~{\rm Q}(x,x+1)\)
となるので、

図の台形 \({\rm ABQP}\) の面積 \(S(x)\) は、$$~S(x)=\frac{1}{2}\{(a+1)+(x+1)\}(x-a)$$$$~~~=\frac{1}{2}(x^2+2x-a^2-2a)$$これを微分すると、$$~S'(x)=x+1$$したがって、\(S'(x)=f(x)\) が成り立つ [終]

p.229 練習29$${\small (1)}~27$$$${\small (2)}~{ \frac{\,32\,}{3}}$$$${\small (3)}~-11$$→ 定積分の計算

p.230 問3[証明] 性質２
\(f(x)~,~g(x)\) の原始関数の１つをそれぞれ \(F(x)~,~G(x)\) とすると、
　\(\int \{f(x)+g(x)\}dx\)
\(~=\int f(x)dx+\int g(x)dx\)
\(~=F(x)+G(x)\)
よって、
　\(\int_{a}^{b}\{f(x)+g(x)\}dx\)
\(~=\left[ F(x)+G(x) \right]_{a}^{b}\)
\(~=\{F(b)+G(b)\}-\{F(a)+G(a)\}\)
\(~=F(b)-F(a)+G(b)-G(a)\)
\(~=\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{a}^{b}g(x)dx\)
[終]
 
[証明] 性質３
性質１より、
　\(k\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}kf(x)dx\)
　\(l\int_{a}^{b}g(x)dx=\int_{a}^{b}lg(x)dx\)
性質２より、
　\(k\int_{a}^{b}f(x)dx+l\int_{a}^{b}g(x)dx\)
\(~=\int_{a}^{b}kf(x)dx+\int_{a}^{b}lg(x)dx\)
\(~=\int_{a}^{b}\{kf(x)+lg(x)\}dx\)
[終]

p.230 練習30$${\small (1)}~50$$$${\small (2)}~{ \frac{3}{\,4\,}}$$

p.230 問4[証明] 性質４
\(f(x)\)の原始関数の１つを \(F(x)\) とすると、
　　\(\int_{a}^{a}f(x)dx\)
　\(=\left[ F(x) \right]_{a}^{a}\)
　\(=F(a)-F(a)=0\)
したがって、
　\(\int_{a}^{a}f(x)dx=0\) [終]
 
[証明] 性質５
\(f(x)\)の原始関数の１つを \(F(x)\) とすると、
　　\(\int_{b}^{a}f(x)dx\)
　\(=\left[ F(x) \right]_{b}^{a}\)
　\(=F(a)-F(b)\)
　\(=-\left(F(b)-F(a)\right)\)
　\(=-\left[ F(x) \right]_{a}^{b}\)
　\(=-\int_{a}^{b}f(x)dx\)
したがって、
　\(\int_{b}^{a}f(x)dx=-\int_{a}^{b}f(x)dx\) [終]
 
[証明] 性質６
\(f(x)\)の原始関数の１つを \(F(x)\) とすると、
　　\(\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx\)
　\(=\left[ F(x) \right]_{a}^{c}+\left[ F(x) \right]_{c}^{b}\)
　\(=F(c)-F(a)+F(b)-F(c)\)
　\(=F(b)-F(a)\)
　\(=\int_{a}^{b}f(x)dx\)
したがって、
\(\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx\)
　　　\(=\int_{a}^{b}f(x)dx\) [終]

p.231 練習31$${\small (1)}~{ \frac{\,7\,}{3}}$$$${\small (2)}~-1$$$${\small (3)}~-{ \frac{\,3\,}{2}}$$→ 定積分の計算

p.231 練習32$$~~~f(x)=3x^2-{ \frac{4}{\,5\,}}$$→ 定積分を含む式

p.232 問5$$~~~g'(x)=3x^2-x$$

p.232 練習33$$~~~f(x)=2x-3~,~a=1~,~2$$→ 定積分で表された関数

p.233 練習34$${\small (1)}~6$$$${\small (2)}~{ \frac{\,32\,}{3}}$$$${\small (3)}~{ \frac{\,27\,}{4}}$$→ 定積分と面積①（x軸と囲まれた面積）

p.235 練習35$${\small (1)}~{ \frac{\,32\,}{3}}$$$${\small (2)}~{ \frac{\,8\,}{3}}$$→ 定積分と面積②（２つの関数で囲まれた面積）

p.236 練習36$$~~~{ \frac{\,125\,}{6}}$$

p.236 練習37$$~~~{ \frac{\,64\,}{3}}$$

p.237 練習38$$~~~{ \frac{1}{\,2\,}}$$

p.237 練習39$$~~~{ \frac{\,38\,}{3}}$$→ 定積分と面積③（区間付きの面積）

p.238 練習40$${\small (1)}~5$$$${\small (2)}~2$$→ 絶対値を含む関数の定積分

p.238 深める$$~~~\int_{-2}^2|x-1|dx$$$$~~~~~~~~~>\left|\int_{-2}^2(x-1)dx\right|>\int_{-2}^2(x-1)dx$$

p.239 練習41$$~~~{ \frac{\,64\,}{3}}$$

p.242 研究 練習1$$~~~y’=4(x-2)^3$$

p.243 研究 練習2$$~~~{ \frac{\,65\,}{4}}$$

p.243 研究 練習3$$~~~-{ \frac{\,625\,}{12}}$$

p.243 研究 練習4[証明]
　(左辺)
\(=\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^2(x-\beta)dx\)
\(=\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^2\{(x-\alpha)-(\beta-\alpha)\}dx\)
\(=\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^3dx\)
　　\(-(\beta-\alpha)\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^2dx\)
\(={\Large [} {\large \frac{1}{\,4\,}}(x-\alpha)^4 {\Large ]}_{\alpha}^{\beta}\)
　　\(-(\beta-\alpha){\Large [} {\large \frac{1}{\,3\,}}(x-\alpha)^3 {\Large ]}_{\alpha}^{\beta}\)
\(={\large \frac{1}{\,4\,}}(\beta-\alpha)^4\)
　　\(-(\beta-\alpha)\cdot{\large \frac{1}{\,3\,}}(\beta-\alpha)^3\)
\(=-{\large \frac{1}{\,12\,}}(\beta-\alpha)^4\) [終]

p.244 問題18

p.244 22[証明] この放物線と直線の交点の \(x\) 座標は、
　\(x(x-1)=(\sqrt[\large 3]{2}-1)x\)
　\(~\Leftrightarrow~x(x-\sqrt[\large 3]{2})=0\)
よって、\(x=0~,~\sqrt[\large 3]{2}\)
放物線と直線で囲まれた面積は、$$~~~~~~\int_{0}^{\sqrt[\large 3]{2}}\{(\sqrt[\large 3]{2}-1)x-x(x-1)\}dx$$$$~=\int_{0}^{\sqrt[\large 3]{2}}(\sqrt[\large 3]{2}x-x^2)dx$$$$~={\Large [} \frac{\sqrt[\large 3]{2}}{2}x^2-\frac{1}{3}x^3 {\Large ]}_{0}^{\sqrt[\large 3]{2}}=\frac{1}{3}$$
また、放物線と \(x\) 軸で囲まれた面積は、$$~~~~~~-\int_{0}^{1}x(x-1)dx$$$$~=-{\Large [} \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2 {\Large ]}_{0}^{1}=\frac{1}{6}$$したがって、放物線と直線で囲まれた図形の面積は \(x\) 軸で２等分される [終]

p.245 演習問題Ａ 3[証明]
　(左辺)
\(=\int_{0}^{1}(p^2x^2+2pqx+q^2)dx\)
\(={\Large [} {\large \frac{\,p^2\,}{3}}x^3+pqx^+q^2x {\Large ]}_{0}^{1}\)
\(={\large \frac{\,p^2\,}{3}}+pq+q^2\)
　(右辺)
\(=\left\{{\Large [} {\large \frac{\,p\,}{2}}x^2+qx {\Large ]}_{0}^{1}\right\}^2\)
\(=\left({\large \frac{\,p\,}{2}}+q\right)^2\)
\(={\large \frac{\,p^2\,}{4}}+pq+q^2\)
よって、
　(左辺)\(-\)(右辺)
\(=\left({\large \frac{\,p^2\,}{3}}+pq+q^2\right)\)
　　\(-\left({\large \frac{\,p^2\,}{4}}+pq+q^2\right)\)
\(={\large \frac{\,p^2\,}{12}}≧0\)
したがって、
　\(\int_{0}^{1}(px+q)^2dx\)
　　　\(≧\left\{\int_{0}^{1}(px+q)dx\right\}^2\)
また、等号が成立するのは \(p=0\) のとき [終]

p.245 演習問題Ａ 4[証明]
\(f(x)=x^2+1\) とすると、点 \((a,b)\) を通るので、\(b=a^2+1\)
また、微分すると \(f'(x)=2x\) より、接線の傾きが \(2a\)
よって、接戦の方程式は
　\(y-(a^2+1)=2a(x-a)\)
　\(~\Leftrightarrow~y=2ax-a^2+1\)
この接線と放物線 \(y=x^2\) の交点は
　\(2ax-a^2+1=x^2\)
　\(~\Leftrightarrow~\{x-(a-1)\}\{x-(a+1)\}=0\)
これより、\(x\) 座標は \(x=a-1~,~a+1\)
直線と放物線との面積 \(S\) は、
　\(\int_{a-1}^{a+1}\{2ax-a^2+1-x^2\}dx\)
\(={\Large [} {\large \frac{1}{\,3\,}}x^3+ax^2-(a^2-1)x {\Large ]}_{a-1}^{a+1}\)
\(={\large \frac{\,4\,}{3}}\)
したがって、\(a\) の値に関係なく面積は一定となる [終]