数学Ⅱ｜図形と方程式｜問題一覧 ＞ 問題解説 37
37｜円の方程式と通る点の条件
37
次の円の方程式を求めよ。
\({\small (1)}~\)中心が点 \((-3~,~4)\) で、原点を通る円は、
\((x+\fbox{ア})^2+(y-\fbox{イ})^2=\fbox{ウエ}\)
\({\small (2)}~\)2点 \((1~,~-1)~,~\)\((3~,~3)\) を直径の両端とする円は、
\((x-\fbox{オ})^2+(y-\fbox{カ})^2=\fbox{キ}\)
\({\small (3)}~\)3点 \((1~,~3)~,~\)\((4~,~2)~,~\)\((-3~,~1)\) を通る円は、
\(x^2+y^2-\fbox{ク}\,x+\fbox{ケ}\,y-\fbox{コサ}=0\)
次の円の方程式を求めよ。
\({\small (1)}~\)中心が点 \((-3~,~4)\) で、原点を通る円は、
\((x+\fbox{ア})^2+(y-\fbox{イ})^2=\fbox{ウエ}\)
\({\small (2)}~\)2点 \((1~,~-1)~,~\)\((3~,~3)\) を直径の両端とする円は、
\((x-\fbox{オ})^2+(y-\fbox{カ})^2=\fbox{キ}\)
\({\small (3)}~\)3点 \((1~,~3)~,~\)\((4~,~2)~,~\)\((-3~,~1)\) を通る円は、
\(x^2+y^2-\fbox{ク}\,x+\fbox{ケ}\,y-\fbox{コサ}=0\)
共通テスト数学ⅡBC｜図形と方程式
37 数学ⅡBC【解答】
\({\small (1)}~\)\((x+3)^2+(y-4)^2=25\)
\({\small (2)}~\)\((x-2)^2+(y-1)^2=5\)
\({\small (3)}~\)\(x^2+y^2-2x+4y-20=0\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)中心 \((-3~,~4)\) で原点を通ることより、
原点 \((0~,~0)\) と中心 \((-3~,~4)\) との距離が半径 \(r\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~r&=&\sqrt{\,(-3)^2+4^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,9+16\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,25\,}
\\[3pt]~~~&=&5\end{eqnarray}\)
よって、中心 \((-3~,~4)\) 、半径 \(5\) の円となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\{x-(-3)\}^2+(y-4)^2&=&5^2
\\[3pt]~~~(x+3)^2+(y-4)^2&=&25\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)2点 \((1~,~-1)~,~\)\((3~,~3)\) が直径の両端であることより、
中心は2点を結ぶ線分の中点となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&{\rm M}\left(~\displaystyle\frac{\,1+3\,}{\,2\,}~,~\displaystyle\frac{\,-1+3\,}{\,2\,}~\right)
\\[5pt]~~~&=&{\rm M}\left(~\displaystyle\frac{\,4\,}{\,2\,}~,~\displaystyle\frac{\,2\,}{\,2\,}~\right)
\\[5pt]~~~&=&{\rm M}(2~,~1)\end{eqnarray}\)
また、半径 \(r\) は、中心 \((2~,~1)\) と点 \((1~,~-1)\) の距離であるので、
\(x\) 座標の差が \(2-1=1\)
\(y\) 座標の差が \(1-(-1)=2\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~r&=&\sqrt{\,1^2+2^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,1+4\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,5\,}\end{eqnarray}\)
※ 中心 \((2~,~1)\) と点 \((3~,~3)\) から求めてもよい。
よって、中心 \((2~,~1)\) 、半径 \(\sqrt{\,5\,}\) の円となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~(x-2)^2+(y-1)^2&=&(\sqrt{\,5\,})^2
\\[3pt]~~~(x-2)^2+(y-1)^2&=&5\end{eqnarray}\)
\({\small (3)}~\)この円の方程式を、
\(x^2+y^2+lx+my+n=0~~~\cdots{\small [\,1\,]}\)
とおくと、
点 \((1~,~3)\) を通ることより、
\(\begin{eqnarray}~~~1^2+3^2+l \cdot 1+m \cdot 3+n&=&0
\\[3pt]~~~1+9+l+3m+n&=&0
\\[3pt]~~~l+3m+n&=&-10~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
点 \((4~,~2)\) を通ることより、
\(\begin{eqnarray}~~~4^2+2^2+l \cdot 4+m \cdot 2+n&=&0
\\[3pt]~~~16+4+4l+2m+n&=&0
\\[3pt]~~~4l+2m+n&=&-20~~~\cdots{\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
点 \((-3~,~1)\) を通ることより、
\(\begin{eqnarray}~~~(-3)^2+1^2+l \cdot (-3)+m \cdot 1+n&=&0
\\[3pt]~~~9+1-3l+m+n&=&0
\\[3pt]~~~-3l+m+n&=&-10
\\[3pt]~~~3l-m-n&=&10~~~\cdots{\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~9+1-3l+m+n&=&0
\\[3pt]~~~-3l+m+n&=&-10
\\[3pt]~~~3l-m-n&=&10~~~\cdots{\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\({\small [\,3\,]}-{\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~4l+2m+n&=&-20
\\~-\big{)}~~~l+3m+n&=&-10
\\\hline~~~3l-m&=&-10~~~\cdots{\small [\,5\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}+{\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~l+3m+n&=&-10
\\~+\big{)}~~~3l-m-n&=&10
\\\hline~~~4l+2m&=&0
\\[3pt]~~~2l+m&=&0~~~\cdots{\small [\,6\,]}\end{eqnarray}\)
次に、\({\small [\,5\,]}+{\small [\,6\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~3l-m&=&-10
\\~+\big{)}~~~2l+m&=&0
\\\hline~~~5l&=&-10
\\[3pt]~~~l&=&-2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,6\,]}\) に \(l=-2\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~2 \cdot (-2)+m&=&0
\\[3pt]~~~-4+m&=&0
\\[3pt]~~~m&=&4\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) に \(l=-2~,~m=4\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~-2+3 \cdot 4+n&=&-10
\\[3pt]~~~-2+12+n&=&-10
\\[3pt]~~~10+n&=&-10
\\[3pt]~~~n&=&-20\end{eqnarray}\)
したがって、
\({\small [\,1\,]}\) に \(l=-2~,~m=4~,~n=-20\) を代入すると、
\(x^2+y^2-2x+4y-20=0\) となる
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