数学Ⅱ｜図形と方程式｜問題一覧 ＞ 問題解説 45
45｜2つの円の交点を通る図形の方程式
45
2つの円 \(x^2+y^2=5~,~\)\(x^2+y^2+4x-4y-9=0\) について、
\({\small (1)}~\)2つの円の交点と点 \((-1~,~4)\) を通る円の方程式は、
\(x^2+y^2+\fbox{ア}\,x-\fbox{イ}\,y-\fbox{ウ}=0\)
\({\small (2)}~\)2つの円の交点を通る直線の方程式は、
\(x-y-\fbox{エ}=0\)
2つの円 \(x^2+y^2=5~,~\)\(x^2+y^2+4x-4y-9=0\) について、
\({\small (1)}~\)2つの円の交点と点 \((-1~,~4)\) を通る円の方程式は、
\(x^2+y^2+\fbox{ア}\,x-\fbox{イ}\,y-\fbox{ウ}=0\)
\({\small (2)}~\)2つの円の交点を通る直線の方程式は、
\(x-y-\fbox{エ}=0\)
共通テスト数学ⅡBC｜図形と方程式
45 数学ⅡBC【解答】
\({\small (1)}~\)\(x^2+y^2+2x-2y-7=0\)
\({\small (2)}~\)\(x-y-1=0\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)2つの円の交点を通る図形の方程式は、定数 \(k\) を用いて、
\(k(x^2+y^2-5)+(x^2+y^2+4x-4y-9)=0~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
点 \((-1~,~4)\) を通るので、\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~k\{(-1)^2+4^2-5\}+\{(-1)^2+4^2+4 \cdot (-1)-4 \cdot 4-9\}&=&0
\\[3pt]~~~k(1+16-5)+(1+16-4-16-9)&=&0
\\[3pt]~~~12k-12&=&0
\\[3pt]~~~12k&=&12
\\[3pt]~~~k&=&1\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~k(1+16-5)+(1+16-4-16-9)&=&0
\\[3pt]~~~12k-12&=&0
\\[3pt]~~~12k&=&12
\\[3pt]~~~k&=&1\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) に \(k=1\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(x^2+y^2-5)+(x^2+y^2+4x-4y-9)&=&0
\\[3pt]~~~x^2+y^2-5+x^2+y^2+4x-4y-9&=&0
\\[3pt]~~~2x^2+2y^2+4x-4y-14&=&0
\\[3pt]~~~x^2+y^2+2x-2y-7&=&0~~~\hspace{10pt}(\,∵~{\, \small \div \,}2\,)\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~x^2+y^2-5+x^2+y^2+4x-4y-9&=&0
\\[3pt]~~~2x^2+2y^2+4x-4y-14&=&0
\\[3pt]~~~x^2+y^2+2x-2y-7&=&0~~~\hspace{10pt}(\,∵~{\, \small \div \,}2\,)\end{eqnarray}\)
したがって、\(x^2+y^2+2x-2y-7=0\)
\({\small (2)}~\)この2つの交点を通る直線の方程式は、\({\small [\,1\,]}\) に \(k=-1\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~-(x^2+y^2-5)+(x^2+y^2+4x-4y-9)&=&0
\\[3pt]~~~-x^2-y^2+5+x^2+y^2+4x-4y-9&=&0
\\[3pt]~~~4x-4y-4&=&0
\\[3pt]~~~x-y-1&=&0\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~-x^2-y^2+5+x^2+y^2+4x-4y-9&=&0
\\[3pt]~~~4x-4y-4&=&0
\\[3pt]~~~x-y-1&=&0\end{eqnarray}\)
したがって、直線 \(x-y-1=0\) となる
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