数学Ⅱ｜図形と方程式｜問題一覧 ＞ 問題解説 33
33｜直線がkの値に関係なく通る点
33
直線 \((k+2)x+(k-1)y-6k-3=0\) は、どんな \(k\) の値に対しても定点 \((\fbox{ア}~,~\fbox{イ})\) を通る。
直線 \((k+2)x+(k-1)y-6k-3=0\) は、どんな \(k\) の値に対しても定点 \((\fbox{ア}~,~\fbox{イ})\) を通る。
共通テスト数学ⅡBC｜図形と方程式
33 数学ⅡBC【解答】
\((3~,~3)\)
【より詳しい解説】
直線の方程式を \(k\) について整理すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(k+2)x+(k-1)y-6k-3&=&0
\\[3pt]~~~kx+2x+ky-y-6k-3&=&0
\\[3pt]~~~kx+ky-6k+2x-y-3&=&0
\\[3pt]~~~k(x+y-6)+(2x-y-3)&=&0\end{eqnarray}\)
この等式が \(k\) の値に関係なく成り立つには、
\(\left\{~\begin{array}{l}x+y-6=0~~~\hspace{5pt}\cdots{\small [\,1\,]}
\\2x-y-3=0~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{array}\right.\)
\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) を同時に満たすと成り立つ
\({\small [\,1\,]}+{\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~
x+y-6&=&0 \\~~
+\big{)}~~~2x-y-3&=&0\\
\hline 3x-9&=&0
\\[3pt] 3x&=&9
\\[3pt] x&=&3\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~3+y-6&=&0
\\[3pt]~~~y-3&=&0
\\[3pt]~~~y&=&3\end{eqnarray}\)
したがって、
\(k\) の値に関係なく通る点は \((3~,~3)\) となる
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