数学Ⅱ｜図形と方程式｜問題一覧 ＞ 問題解説 43
43｜円と直線の共有点と定数の条件
43
円 \(x^2+y^2=5\) と次の直線について、定数 \(k\) の条件を求めよ。
\({\small (1)}~\)直線 \(y=-x+k\) と異なる2点で交わるとき、\(y\) を消去した2次方程式は、
\(\fbox{ア}\,x^2-\fbox{イ}\,kx+k^2-\fbox{ウ}=0\) であり、
\(-\sqrt{\,\fbox{エオ}\,}\lt k\lt\sqrt{\,\fbox{エオ}\,}\) である。
\({\small (2)}~\)直線 \(x-3y+k=0\) との共有点が1個であるとき、
円の中心と直線との距離を \(d\) とすると、
\(d=\displaystyle\frac{\,|\,k\,|\,}{\,\sqrt{\,\fbox{カキ}\,}\,}\) であり、
\(k=\pm\fbox{ク}\sqrt{\,\fbox{ケ}\,}\) である。
円 \(x^2+y^2=5\) と次の直線について、定数 \(k\) の条件を求めよ。
\({\small (1)}~\)直線 \(y=-x+k\) と異なる2点で交わるとき、\(y\) を消去した2次方程式は、
\(\fbox{ア}\,x^2-\fbox{イ}\,kx+k^2-\fbox{ウ}=0\) であり、
\(-\sqrt{\,\fbox{エオ}\,}\lt k\lt\sqrt{\,\fbox{エオ}\,}\) である。
\({\small (2)}~\)直線 \(x-3y+k=0\) との共有点が1個であるとき、
円の中心と直線との距離を \(d\) とすると、
\(d=\displaystyle\frac{\,|\,k\,|\,}{\,\sqrt{\,\fbox{カキ}\,}\,}\) であり、
\(k=\pm\fbox{ク}\sqrt{\,\fbox{ケ}\,}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜図形と方程式
43 数学ⅡBC【解答】
\({\small (1)}~\)\(2x^2-2kx+k^2-5=0\)
\(\hspace{13pt}\)\(-\sqrt{10}\lt k\lt\sqrt{10}\)
\({\small (2)}~\)\(d=\displaystyle\frac{\,|\,k\,|\,}{\,\sqrt{10}\,}\)、\(k=\pm5\sqrt{2}\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}x^2+y^2=5~~~\cdots {\small [\,1\,]}
\\y=-x+k~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) より、\(y\) を消去すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+(-x+k)^2&=&5
\\[3pt]~~~x^2+(x^2-2kx+k^2)-5&=&0
\\[3pt]~~~2x^2-2kx+k^2-5&=&0\end{eqnarray}\)
この2次方程式の判別式を \(D\) とすると、
\(x\) の係数が偶数で、\(2x^2+2 \cdot (-k)x+(k^2-5)=0\) とできるので、\(\displaystyle\frac{\,D\,}{\,4\,}={b^{\prime}}^2-ac\) を用いる。
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,D\,}{\,4\,}&=&(-k)^2-2(k^2-5)
\\[5pt]~~~&=&k^2-2k^2+10
\\[3pt]~~~&=&-k^2+10\end{eqnarray}\)
異なる2点で交わるのは \(D \gt 0\) のときなので、
\(\begin{eqnarray}~~~-k^2+10&\gt&0
\\[3pt]~~~k^2-10&\lt&0
\\[3pt]~~~(k+\sqrt{10})(k-\sqrt{10})&\lt&0\end{eqnarray}\)
したがって、\(-\sqrt{10} \lt k \lt \sqrt{10}\) となる
\({\small (2)}~\)円 \(x^2+y^2=5\) は、中心 \((0~,~0)\)、半径 \(r=\sqrt{5}\) の円となる
ここで、中心 \((0~,~0)\) と直線 \(x-3y+k=0\) との距離 \(d\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~d&=&\displaystyle\frac{\,|\,0-3 \cdot 0+k\,|\,}{\,\sqrt{1^2+(-3)^2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,|\,k\,|\,}{\,\sqrt{1+9}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,|\,k\,|\,}{\,\sqrt{10}\,}\end{eqnarray}\)
共有点が1個となるのは \(d=r\) のときなので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,|\,k\,|\,}{\,\sqrt{10}\,}&=&\sqrt{5}
\\[5pt]~~~|\,k\,|&=&\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}
\\[5pt]~~~|\,k\,|&=&\sqrt{50}
\\[3pt]~~~|\,k\,|&=&5\sqrt{2}\end{eqnarray}\)
したがって、\(k=\pm 5\sqrt{2}\) となる
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