共通テスト数学ⅡBC｜図形と方程式の基本問題23問【PDF・解説つき】

40 数学ⅡBC【解答】

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\({\small (1)}~\)\(x+2y=5\)
\({\small (2)}~\)\(x+2y=5\)、接点 \((1~,~2)\)
\(\hspace{13pt}\)\(2x-y=5\)、接点 \((2~,~-1)\)

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【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)円 \(x^2+y^2=5\) 上の点 \((1~,~2)\) より、

\(\begin{eqnarray}~~~1 \cdot x+2 \cdot y&=&5
\\[3pt]~~~x+2y&=&5\end{eqnarray}\)

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したがって、

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　接線の方程式 \(x+2y=5\)

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\({\small (2)}~\)この円の接線の、接点の座標を \((a~,~b)\) とおくと、

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接点が円上にあるので、
　\(a^2+b^2=5~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)

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また、接線の方程式は、

　\(ax+by=5~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)

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この接線が点 \((3~,~1)\) を通るので、

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\(\begin{eqnarray}~~~a \cdot 3+b \cdot 1&=&5
\\[3pt]~~~3a+b&=&5
\\[3pt]~~~b&=&-3a+5~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)

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次に、\({\small [\,3\,]}\) を \({\small [\,1\,]}\) に代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~a^2+(-3a+5)^2&=&5
\\[3pt]~~~a^2+(9a^2-30a+25)-5&=&0
\\[3pt]~~~10a^2-30a+20&=&0
\\[3pt]~~~a^2-3a+2&=&0
\\[3pt]~~~(a-1)(a-2)&=&0
\\[3pt]~~~a&=&1~,~2\end{eqnarray}\)

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　\(a=1\) のとき、\({\small [\,3\,]}\) より、

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　\(\begin{eqnarray}~~~b&=&-3 \cdot 1+5
\\[3pt]~~~&=&-3+5
\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)

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　\({\small [\,2\,]}\) に代入すると、

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　\(\begin{eqnarray}~~~1 \cdot x+2 \cdot y&=&5
\\[3pt]~~~x+2y&=&5\end{eqnarray}\)

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　\(a=2\) のとき、\({\small [\,3\,]}\) より、

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　\(\begin{eqnarray}~~~b&=&-3 \cdot 2+5
\\[3pt]~~~&=&-6+5
\\[3pt]~~~&=&-1\end{eqnarray}\)

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　\({\small [\,2\,]}\) に代入すると、

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　\(\begin{eqnarray}~~~2 \cdot x+(-1) \cdot y&=&5
\\[3pt]~~~2x-y&=&5\end{eqnarray}\)

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したがって、
　接線 \(x+2y=5\) 、接点 \((1~,~2)\)
　接線 \(2x-y=5\) 、接点 \((2~,~-1)\)