共通テスト数学ⅡBC｜図形と方程式の基本問題23問【PDF・解説つき】

41 数学ⅡBC【解答】

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\(3\sqrt{2}\)

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【より詳しい解説】
この弦の長さを \(\ell\) とおく

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円 \(x^2+y^2=5\) は、中心 \((0~,~0)\)、半径 \(r=\sqrt{5}\) である

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直線 \(y=x+1~\Leftrightarrow~x-y+1=0\) と中心 \((0~,~0)\) との距離 \(d\) は、

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\(\begin{eqnarray}~~~d&=&\displaystyle \frac{\,|\,0-0+1\,|\,}{\,\sqrt{1^2+(-1)^2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,|\,1\,|\,}{\,\sqrt{1+1}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\end{eqnarray}\)

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ここで、\(d\) は弦に垂直に交わり、弦 \(\ell\) を2等分するので、半径 \(r=\sqrt{5}\) を斜辺とした三平方の定理より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\left(\displaystyle \frac{\,\ell\,}{\,2\,}\right)^2+d^2&=&r^2
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,\ell^2\,}{\,4\,}+\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\right)^2&=&\left(\sqrt{5}\right)^2
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,\ell^2\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}&=&5
\\[5pt]~~~\ell^2+2&=&20~~~\hspace{10pt}(\,∵~{\, \small \times \,}4\,)
\\[3pt]~~~\ell^2&=&18
\\[3pt]~~~\ell&=&\sqrt{18}~~~\hspace{10pt}(\,∵~\ell \gt 0\,)
\\[3pt]~~~\ell&=&3\sqrt{2}\end{eqnarray}\)

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したがって、弦の長さは \(3\sqrt{2}\) となる