数学Ⅱ｜図形と方程式｜問題一覧 ＞ 問題解説 35
35｜点と直線との距離と三角形の面積
35
3点 \({\rm A}(2~,~3)~,~\)\({\rm B}(-4~,~6)~,~\)\({\rm C}(-1~,~-3)\) を頂点とする三角形 \({\rm ABC}\) について、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)直線 \({\rm BC}\) の方程式は \(\fbox{ア}\,x+y+\fbox{イ}=0\) である。
\({\small (2)}~\)点 \({\rm A}\) と直線 \({\rm BC}\) の距離は \(\displaystyle \frac{\,\fbox{ウ}\sqrt{\,\fbox{エオ}\,}\,}{\,\fbox{カ}\,}\) である。
\({\small (3)}~\)三角形 \({\rm ABC}\) の面積は \(\displaystyle \frac{\,\fbox{キク}\,}{\,\fbox{ケ}\,}\) である。
3点 \({\rm A}(2~,~3)~,~\)\({\rm B}(-4~,~6)~,~\)\({\rm C}(-1~,~-3)\) を頂点とする三角形 \({\rm ABC}\) について、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)直線 \({\rm BC}\) の方程式は \(\fbox{ア}\,x+y+\fbox{イ}=0\) である。
\({\small (2)}~\)点 \({\rm A}\) と直線 \({\rm BC}\) の距離は \(\displaystyle \frac{\,\fbox{ウ}\sqrt{\,\fbox{エオ}\,}\,}{\,\fbox{カ}\,}\) である。
\({\small (3)}~\)三角形 \({\rm ABC}\) の面積は \(\displaystyle \frac{\,\fbox{キク}\,}{\,\fbox{ケ}\,}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜図形と方程式
35 数学ⅡBC【解答】
\({\small (1)}~\)\(3x+y+6=0\)
\({\small (2)}~\)\(\displaystyle \frac{\,3\sqrt{\,10\,}\,}{\,2\,}\)
\({\small (3)}~\)\(\displaystyle \frac{\,45\,}{\,2\,}\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)2点 \({\rm B}(-4~,~6)~,~\)\({\rm C}(-1~,~-3)\) より、
下の図は実際の座標の位置関係とは異なるが、計算の手順を統一するために、常にこの形で図を描くとよい。
\(x\) の増加量が \(-1-(-4)=+3\)
\(y\) の増加量が \(-3-6=-9\)
よって、傾きが \(\displaystyle\frac{\,-9\,}{\,+3\,}=-3\)
これより、点 \({\rm B}(-4~,~6)\) を通り傾き \(-3\) の直線は、
\(\begin{eqnarray}~~~y-6&=&-3\{x-(-4)\}
\\[3pt]~~~y-6&=&-3(x+4)
\\[3pt]~~~y-6&=&-3x-12
\\[3pt]~~~3x+y-6+12&=&0
\\[3pt]~~~3x+y+6&=&0\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)点 \({\rm A}(2~,~3)\) と直線 \({\rm BC}\) との距離 \(d\) は点と直線との距離の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~d&=&\displaystyle\frac{\,|\,3\cdot2+3+6\,|\,}{\,\sqrt{3^2+1^2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,|\,6+3+6\,|\,}{\,\sqrt{9+1}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,15\,}{\,\sqrt{10}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,15{\, \small \times \,}\sqrt{10}\,}{\,\sqrt{10}{\, \small \times \,}\sqrt{10}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,15\sqrt{10}\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,3\sqrt{10}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、点 \({\rm A}\) と直線 \({\rm BC}\) との距離は \(\displaystyle\frac{\,3\sqrt{10}\,}{\,2\,}\) となる
\({\small (3)}~\)三角形 \({\rm ABC}\) は、底辺を \({\rm BC}\) 、高さを \({\small (2)}\) で求めた距離 \(d\) として面積を求める
まず、2点 \({\rm B}(-4~,~6)~,~\)\({\rm C}(-1~,~-3)\) の距離 \({\rm BC}\) は、
\(x\) の増加量が \(-1-(-4)=+3\)
\(y\) の増加量が \(-3-6=-9\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm BC}&=&\sqrt{3^2+(-9)^2}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{9+81}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{90}
\\[3pt]~~~&=&3\sqrt{10}\end{eqnarray}\)
よって、三角形 \({\rm ABC}\) の面積 \(S\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}{\rm BC}{\, \small \times \,}d
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}3\sqrt{10}{\, \small \times \,}\displaystyle\frac{\,3\sqrt{10}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,3\sqrt{10}{\, \small \times \,}3\sqrt{10}\,}{\,2{\, \small \times \,}2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,9{\, \small \times \,}10\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,90\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,45\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、三角形 \({\rm ABC}\) の面積は \(\displaystyle\frac{\,45\,}{\,2\,}\) となる
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