数学Ⅱ｜図形と方程式｜問題一覧 ＞ 問題解説 34
34｜2直線の交点を通る直線、3直線が1点で交わる条件
34
2直線 \(2x-y-3=0~,~\)\(x+y-6=0\) について、
\({\small (1)}~\)2直線の交点と点 \((0~,~9)\) を通る直線の方程式は \(\fbox{ア}\,x+y-\fbox{イ}=0\) である。
\({\small (2)}~\)この2直線と直線 \(x+my+3=0\) が1点で交わるとき、\(m=\fbox{ウエ}\) である。
2直線 \(2x-y-3=0~,~\)\(x+y-6=0\) について、
\({\small (1)}~\)2直線の交点と点 \((0~,~9)\) を通る直線の方程式は \(\fbox{ア}\,x+y-\fbox{イ}=0\) である。
\({\small (2)}~\)この2直線と直線 \(x+my+3=0\) が1点で交わるとき、\(m=\fbox{ウエ}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜図形と方程式
34 数学ⅡBC【解答】
\({\small (1)}~\)\(2x+y-9=0\)
\({\small (2)}~\)\(m=-2\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)2直線 \(2x-y-3=0~,~\)\(x+y-6=0\) の交点を通る直線の方程式は、
\(k\) を定数として、
\(k(2x-y-3)+(x+y-6)=0~~~\cdots{\small [\,1\,]}\)
とおける（ただし、\(2x-y-3=0\) は表せない）
\({\small [\,1\,]}\) は、点 \((0~,~9)\) を通るので、
\(\begin{eqnarray}~~~k(2 \cdot 0-9-3)+(0+9-6)&=&0
\\[3pt]~~~-12k+3&=&0
\\[3pt]~~~-12k&=&-3
\\[5pt]~~~k&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,}(2x-y-3)+(x+y-6)&=&0
\\[5pt]~~~(2x-y-3)+(x+y-6){\, \small \times \,}4&=&0~~~\hspace{10pt}(\,∵~{\, \small \times \,}4\,)
\\[5pt]~~~2x-y-3+4x+4y-24&=&0
\\[5pt]~~~6x+3y-27&=&0
\\[5pt]~~~2x+y-9&=&0~~~\hspace{10pt}(\,∵~{\, \small \div \,}3\,)\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~(2x-y-3)+(x+y-6){\, \small \times \,}4&=&0~~~\hspace{10pt}(\,∵~{\, \small \times \,}4\,)
\\[5pt]~~~2x-y-3+4x+4y-24&=&0
\\[5pt]~~~6x+3y-27&=&0
\\[5pt]~~~2x+y-9&=&0~~~\hspace{10pt}(\,∵~{\, \small \div \,}3\,)\end{eqnarray}\)
したがって、\(2x+y-9=0\) となる
\({\small (2)}~\)2直線 \(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}2x-y-3=0~~~\cdots {\small [\,2\,]}
\\x+y-6=0~~~\hspace{5pt}\cdots {\small [\,3\,]}\end{array}\right.\end{eqnarray}\) の交点は、
\({\small [\,2\,]}+{\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~
2x-y-3&=&0 \\~~
+\big{)}~~~x+y-6&=&0\\
\hline 3x-9&=&0
\\[3pt] 3x&=&9
\\[3pt] x&=&3\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~3+y-6&=&0
\\[3pt]~~~y-3&=&0
\\[3pt]~~~y&=&3\end{eqnarray}\)
よって、交点は \((3~,~3)\) となる
直線 \(x+my+3=0\) もこの交点を通るので、\(x=3~,~y=3\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~3+m \cdot 3+3&=&0
\\[3pt]~~~3m+6&=&0
\\[3pt]~~~3m&=&-6
\\[3pt]~~~m&=&-2\end{eqnarray}\)
したがって、\(m=-2\) となる
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