共通テスト数学ⅡBC｜図形と方程式の基本問題23問【PDF・解説つき】

32 数学ⅡBC【解答】

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\({\small (1)}~\)\({\rm Q}(4~,~7)\)
\({\small (2)}~\)\({\rm B}(3~,~0)\)

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【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)点 \({\rm C}\) に関して、点 \({\rm P}\) と対称な点が \({\rm Q}\) より、点 \({\rm C}\) は線分 \({\rm PQ}\) の中点となる

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点 \({\rm Q}\) の座標を \((x~,~y)\) とおくと、

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線分 \({\rm PQ}\) の中点の \(x\) 座標は、

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　\(\displaystyle \frac{\,0+x\,}{\,2\,}=\frac{\,x\,}{\,2\,}\)

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\(y\) 座標は、

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　\(\displaystyle \frac{\,-1+y\,}{\,2\,}=\frac{\,y-1\,}{\,2\,}\)

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よって、\(\displaystyle \left(\frac{\,x\,}{\,2\,}~,~\frac{\,y-1\,}{\,2\,}\right)\)

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これが、点 \({\rm C}(2~,~3)\) と一致するので、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,x\,}{\,2\,}&=&2
\\[5pt]~~~x&=&4\end{eqnarray}\)

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また、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,y-1\,}{\,2\,}&=&3
\\[5pt]~~~y-1&=&6
\\[3pt]~~~y&=&7\end{eqnarray}\)

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したがって、\({\rm Q}(4~,~7)\) となる

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\({\small (2)}~\)直線 \(x-2y+2=0\) を \(\ell\) 、点 \({\rm B}\) の座標を \((a~,~b)\) とおくと、

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直線 \(\ell\) の傾きは、

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\(\begin{eqnarray}~~~x-2y+2&=&0
\\[3pt]~~~-2y&=&-x-2
\\[5pt]~~~y&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}x+1\end{eqnarray}\)

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よって、\(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\) である

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また、直線 \({\rm AB}\) の傾きは、\(\displaystyle\frac{\,b-4\,}{\,a-1\,}\) であり、直線 \(\ell\) と直線 \({\rm AB}\) は垂直に交わるので、傾きの積は \(-1\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot\displaystyle\frac{\,b-4\,}{\,a-1\,}&=&-1
\\[5pt]~~~\displaystyle\frac{\,b-4\,}{\,2(a-1)\,}&=&-1
\\[5pt]~~~b-4&=&-2(a-1)
\\[3pt]~~~b-4&=&-2a+2
\\[3pt]~~~2a+b&=&2+4
\\[3pt]~~~2a+b&=&6~~~\cdots{\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)

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次に、線分 \({\rm AB}\) の中点 \({\rm M}\) の座標は、

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　\({\rm M}\left(\displaystyle\frac{\,1+a\,}{\,2\,}~,~\displaystyle\frac{\,4+b\,}{\,2\,}\right)\)

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この点 \({\rm M}\) は直線 \(\ell\) 上にあるので、\(x-2y+2=0\) に代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,1+a\,}{\,2\,}-2\cdot\displaystyle\frac{\,4+b\,}{\,2\,}+2&=&0
\\[5pt]~~~(1+a)-2(4+b)+2{\, \small \times \,} 2&=&0~~~(\,∵~{\, \small \times \,} 2\,)
\\[3pt]~~~1+a-8-2b+4&=&0
\\[3pt]~~~a-2b&=&3~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}{\, \small \times \,} 2+{\small [\,2\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~~~
4a+2b&=&12 \\~~
+\big{)}~~~a-2b&=&3\\
\hline 5a&=&15
\\[3pt] a&=&3\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~2{\, \small \times \,} 3+b&=&6
\\[3pt]~~~6+b&=&6
\\[3pt]~~~b&=&0\end{eqnarray}\)

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したがって、点 \({\rm B}\) の座標は \((3~,~0)\) となる