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47｜放物線の頂点の軌跡
47
定数 \(a\) がすべての実数値をとって変化するとき、放物線 \(y=x^2-2ax+2a^2-2a+3\) の頂点は曲線 \(y=x^2-\fbox{ア}\,x+\fbox{イ}\) 上を動く。
定数 \(a\) がすべての実数値をとって変化するとき、放物線 \(y=x^2-2ax+2a^2-2a+3\) の頂点は曲線 \(y=x^2-\fbox{ア}\,x+\fbox{イ}\) 上を動く。
共通テスト数学ⅡBC｜図形と方程式
47 数学ⅡBC【解答】
\(y=x^2-2x+3\)
【より詳しい解説】
この放物線の頂点を \({\rm P}(x~,~y)\) とおく
放物線を平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&x^2-2ax+2a^2-2a+3
\\[3pt]~~~&=&(x^2-2ax+a^2)-a^2+2a^2-2a+3
\\[3pt]~~~&=&(x-a)^2+a^2-2a+3\end{eqnarray}\)
よって、頂点は \((a~,~a^2-2a+3)\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
x=a\hspace{45pt}~~~\cdots{\small [\,1\,]} \\
y=a^2-2a+3~~~\cdots{\small [\,2\,]}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\(a=x\) として \({\small [\,2\,]}\) に代入し、 \(a\) を消去すると、
\(y=x^2-2x+3~~~\cdots{\small [\,3\,]}\)
よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は放物線 \({\small [\,3\,]}\) 上にある
逆に、放物線 \({\small [\,3\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は放物線 \(y=x^2-2x+3\) である
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