数学Ⅱ｜図形と方程式｜問題一覧 ＞ 問題解説 46
46｜条件を満たす点Pの軌跡
46
2定点 \({\rm A}(1~,~0)~,~\)\({\rm B}(4~,~0)\) からの距離の比が \(1:2\) である点 \({\rm P}\) の軌跡は、中心が点 \((\fbox{ア}~,~\fbox{イ})\)、半径が \(\fbox{ウ}\) の円である。
2定点 \({\rm A}(1~,~0)~,~\)\({\rm B}(4~,~0)\) からの距離の比が \(1:2\) である点 \({\rm P}\) の軌跡は、中心が点 \((\fbox{ア}~,~\fbox{イ})\)、半径が \(\fbox{ウ}\) の円である。
共通テスト数学ⅡBC｜図形と方程式
46 数学ⅡBC【解答】
中心 \((0~,~0)\)、半径 \(2\) の円
【より詳しい解説】
点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) とおく
点 \({\rm P}\) の満たす条件は、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AP}:{\rm BP}&=&1:2
\\[3pt]~~~\Leftrightarrow\,~~~~2{\rm AP}&=&{\rm BP}
\\[3pt]~~~\Leftrightarrow~~~4{\rm AP}^2&=&{\rm BP}^2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
ここで、2点間の距離より、
\({\rm AP}^2=(x-1)^2+y^2\)
\({\rm BP}^2=(x-4)^2+y^2\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~4\left\{(x-1)^2+y^2\right\}&=&(x-4)^2+y^2
\\[3pt]~~~4(x^2-2x+1+y^2)&=&x^2-8x+16+y^2
\\[3pt]~~~4x^2-8x+4+4y^2-x^2+8x-16-y^2&=&0
\\[3pt]~~~3x^2+3y^2-12&=&0
\\[3pt]~~~x^2+y^2-4&=&0
\\[3pt]~~~x^2+y^2&=&2^2~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~4(x^2-2x+1+y^2)&=&x^2-8x+16+y^2
\\[3pt]~~~4x^2-8x+4+4y^2-x^2+8x-16-y^2&=&0
\\[3pt]~~~3x^2+3y^2-12&=&0
\\[3pt]~~~x^2+y^2-4&=&0
\\[3pt]~~~x^2+y^2&=&2^2~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は円 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、円 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、中心 \((0~,~0)\) 、半径 \(2\) の円である
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