数学Ⅱ｜図形と方程式｜問題一覧 ＞ 問題解説 51
51｜領域と最大値・最小値(線形計画法)
51
\(x~,~\)\(y\) が \(x{\small ~≧~}0~,~\)\(y{\small ~≧~}0~,~\)\(2x+y{\small ~≦~}6~,~\)\(x+2y{\small ~≦~}6\) を満たすとき、\(x+y\) は、
\(x=\fbox{ア}~,~\)\(y=\fbox{イ}\) で最大値 \(\fbox{ウ}\) 、
\(x=\fbox{エ}~,~\)\(y=\fbox{オ}\) で最小値 \(\fbox{カ}\) をとる。
\(x~,~\)\(y\) が \(x{\small ~≧~}0~,~\)\(y{\small ~≧~}0~,~\)\(2x+y{\small ~≦~}6~,~\)\(x+2y{\small ~≦~}6\) を満たすとき、\(x+y\) は、
\(x=\fbox{ア}~,~\)\(y=\fbox{イ}\) で最大値 \(\fbox{ウ}\) 、
\(x=\fbox{エ}~,~\)\(y=\fbox{オ}\) で最小値 \(\fbox{カ}\) をとる。
共通テスト数学ⅡBC｜図形と方程式
51 数学ⅡBC【解答】
\(x=2~,~\)\(y=2\) で最大値 \(4\)
\(x=0~,~\)\(y=0\) で最小値 \(0\)
【より詳しい解説】
不等式 \(2x+y{\small ~≦~}6\) は、
\(y{\small ~≦~}{-2x+6}\)
よって、直線 \(y=-2x+6\) の下側
不等式 \(x+2y{\small ~≦~}6\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~2y&{\small ~≦~}&-x+6\\[5pt]~~~y&{\small ~≦~}&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x+3\end{eqnarray}\)
よって、直線 \(y=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x+3\) の下側
次に、直線 \(2x+y=6\) は、
\(x=0\) のとき \(y=6\)
\(y=0\) のとき \(2x=6\) より \(x=3\)
よって、\((0~,~6)~,~(3~,~0)\) を通る
直線 \(x+2y=6\) は、
\(x=0\) のとき \(2y=6\) より \(y=3\)
\(y=0\) のとき \(x=6\)
よって、\((0~,~3)~,~(6~,~0)\) を通る
さらに、2直線 \(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}2x+y=6~~~\cdots {\small [\,1\,]}
\\x+2y=6~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{array}\right.\end{eqnarray}\) の交点は、
\({\small [\,1\,]}{\, \small \times \,} 2-{\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~
4x+2y&=&12 \\~~
-\big{)}~~~x+2y&=&6\\
\hline 3x&=&6
\\[3pt] x&=&2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~2 \cdot 2+y&=&6\\[3pt]~~~y&=&6-4\\[3pt]~~~y&=&2\end{eqnarray}\)
よって、\((2~,~2)\)
また、\(x{\small ~≧~}0~,~\)\(y{\small ~≧~}0\) より、原点 \((0~,~0)\) も頂点となる
以上より、この連立不等式の領域は4点 \((0~,~0)~,~\)\((3~,~0)~,~\)\((0~,~3)~,~\)\((2~,~2)\) を頂点とする四角形の周および内部となる
ここで、\(x+y=k\) とおくと、
\(y=-x+k\)
傾き \(-1\) 、\(y\) 切片 \(k\) の直線となり、
\(x+y\) の最大値・最小値は、\(y\) 切片 \(k\) の最大値・最小値となる
この直線が領域内で共有点をもつとき、
\(y\) 切片が最大となるのは \((2~,~2)\) を通るときで、
\(k=2+2=4\)
\(y\) 切片が最小となるのは \((0~,~0)\) を通るときで、
\(k=0+0=0\)
したがって、\(x+y\) は、
\(x=2~,~y=2\) のとき最大値 \(4\)
\(x=0~,~y=0\) のとき最小値 \(0\) となる
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