共通テスト数学ⅡBC｜図形と方程式の基本問題23問【PDF・解説つき】

29 数学ⅡBC【解答】

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\({\small (1)}~\)\({\rm P}(-2~,~5)~,~{\rm Q}(-10~,~9)\)
\({\small (2)}~\)\({\rm OA}=\sqrt{13}~,~{\rm AB}=3\sqrt{5}\)
\({\small (3)}~\)\({\rm G}(-1~,~2)\)
\({\small (4)}~\)\((2~,~0)\)

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【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)線分 \({\rm AB}\) の内分点は、

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内分点の \(x\) 座標は、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,1 \cdot 2+2 \cdot (-4)\,}{\,2+1\,}&=&\displaystyle\frac{\,2-8\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,-6\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&-2\end{eqnarray}\)

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\(y\) 座標は、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,1 \cdot 3+2 \cdot 6\,}{\,2+1\,}&=&\displaystyle\frac{\,3+12\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,15\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&5\end{eqnarray}\)

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したがって、内分点 \((-2~,~5)\)

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線分 \({\rm AB}\) の外分点は、

外分点の \(x\) 座標は、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,-1 \cdot 2+2 \cdot (-4)\,}{\,2+(-1)\,}&=&\displaystyle\frac{\,-2-8\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&-10\end{eqnarray}\)

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\(y\) 座標は、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,-1 \cdot 3+2 \cdot 6\,}{\,2+(-1)\,}&=&\displaystyle\frac{\,-3+12\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&9\end{eqnarray}\)

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したがって、外分点 \((-10~,~9)\)

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\({\small (2)}~\)線分 \({\rm OA}\) の長さは、

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\(x\) 座標の差は \(|\,2-0\,|=2\)
\(y\) 座標の差は \(|\,3-0\,|=3\)

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よって、

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\(\begin{eqnarray}~~~{\rm OA}&=&\sqrt{2^2+3^2}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{4+9}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{13}\end{eqnarray}\)

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線分 \({\rm AB}\) の長さは、

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\(x\) 座標の差は \(|\,-4-2\,|=|\,-6\,|=6\)
\(y\) 座標の差は \(|\,6-3\,|=3\)

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よって、

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\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AB}&=&\sqrt{6^2+3^2}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{36+9}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{45}
\\[3pt]~~~&=&3\sqrt{5}\end{eqnarray}\)

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したがって、\({\rm OA}=\sqrt{13}~,~{\rm AB}=3\sqrt{5}\) となる

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\({\small (3)}~\)\(\triangle{\rm ABC}\) の重心の \(x\) 座標は、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,2+(-4)+(-1)\,}{\,3\,}&=&\displaystyle\frac{\,-3\,}{\,3\,}\\[5pt]~~~&=&-1\end{eqnarray}\)

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\(y\) 座標は、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,3+6+(-3)\,}{\,3\,}&=&\displaystyle\frac{\,6\,}{\,3\,}\\[5pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)

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したがって、重心の座標は \((-1~,~2)\) となる

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\({\small (4)}~\)\(x\) 軸上の点 \({\rm F}\) の座標を \({\rm F}(a~,~0)\) とおくと、

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点 \({\rm D}\) との距離 \({\rm DF}\) は、

\(x\) 座標の差は \(|\,a-(-2)\,|=|\,a+2\,|\)
\(y\) 座標の差は \(|\,0-2\,|=|\,-2\,|=2\)

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よって、

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　\({\rm DF}=\sqrt{(a+2)^2+2^2}~~~\cdots{\small [\,1\,]}\)

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次に、点 \({\rm E}\) との距離 \({\rm EF}\) は、

\(x\) 座標の差は \(|\,a-4\,|\)
\(y\) 座標の差は \(|\,0-4\,|=|\,-4\,|=4\)

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よって、

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　\({\rm EF}=\sqrt{(a-4)^2+4^2}~~~\cdots{\small [\,2\,]}\)

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点 \({\rm F}\) は2点 \({\rm D}~,~\)\({\rm E}\) から等距離にあるので、

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　\({\rm DF}={\rm EF}\)
　\(\Leftrightarrow~{\rm DF}^2={\rm EF}^2\)

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\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) をそれぞれ2乗して代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~(a+2)^2+2^2&=&(a-4)^2+4^2
\\[3pt]~~~a^2+4a+4+4&=&a^2-8a+16+16
\\[3pt]~~~a^2+4a+8&=&a^2-8a+32
\\[3pt]~~~4a+8a&=&32-8
\\[3pt]~~~12a&=&24
\\[3pt]~~~a&=&2\end{eqnarray}\)

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したがって、点 \({\rm F}(2~,~0)\) となる