共通テスト数学ⅡBC｜図形と方程式の基本問題23問【PDF・解説つき】

48 数学ⅡBC【解答】

---

中心 \((3~,~0)\)、半径 \(\sqrt{2}\) の円

---

---

---

【より詳しい解説】
点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) と、動く点 \({\rm Q}\) の座標を \({\rm Q}(s~,~t)\) とおく。

---

点 \({\rm Q}\) は円 \(x^2+y^2=8\) 上にあるので、

---

　\(s^2+t^2=8~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)

---

点 \({\rm P}\) の満たす条件は、線分 \({\rm AQ}\) の中点より、

---

　\(x\) 座標は、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,6+s\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~2x&=&6+s
\\[3pt]~~~6+s&=&2x
\\[3pt]~~~s&=&2x-6\end{eqnarray}\)

---

　\(y\) 座標は、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,0+t\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~2y&=&t
\\[3pt]~~~t&=&2y\end{eqnarray}\)

---

これらを \({\small [\,1\,]}\) に代入して、\(s~,~t\) を消去すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~(2x-6)^2+(2y)^2&=&8
\\[3pt]~~~\{2(x-3)\}^2+4y^2&=&8
\\[3pt]~~~4(x-3)^2+4y^2&=&8
\\[3pt]~~~(x-3)^2+y^2&=&2
\\[3pt]~~~(x-3)^2+y^2&=&(\sqrt{2})^2~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)

---

よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は円 \({\small [\,2\,]}\) 上にある

---

逆に、円 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす

---

したがって、求める軌跡は、中心 \((3~,~0)\) 、半径 \(\sqrt{2}\) の円である