数学Ⅱ｜図形と方程式｜問題一覧 ＞ 問題解説 49
49｜直線と円を境界線とする領域
49
次の不等式の表す領域について
\({\small (1)}~\)\(2x-y+1{\small ~≧~}0\) の表す領域は、
直線 \(y=\fbox{ア}\,x+\fbox{イ}\) の \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ウ}\) の部分で、境界線を \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{エ}\) 。
\({\small (2)}~\)\(x^2+y^2{\small ~≦~}4\) の表す領域は、
原点を中心とする半径 \(\fbox{オ}\) の円の \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{カ}\) の部分で、境界線を \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{キ}\) 。
\({\small (3)}~\)\(x^2+y^2-2x+4y-4 \gt 0\) の表す領域は、
中心 \((\fbox{ク}~,~\fbox{ケコ})\)、半径 \(\fbox{サ}\) の円の \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{シ}\) の部分で、境界線を \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ス}\) 。
選択肢：⓪ 上側 ① 下側 ② 内部
③ 外部 ④ 含む ⑤ 含まない
※ 同じものを繰り返し選んでもよい。
次の不等式の表す領域について
\({\small (1)}~\)\(2x-y+1{\small ~≧~}0\) の表す領域は、
直線 \(y=\fbox{ア}\,x+\fbox{イ}\) の \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ウ}\) の部分で、境界線を \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{エ}\) 。
\({\small (2)}~\)\(x^2+y^2{\small ~≦~}4\) の表す領域は、
原点を中心とする半径 \(\fbox{オ}\) の円の \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{カ}\) の部分で、境界線を \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{キ}\) 。
\({\small (3)}~\)\(x^2+y^2-2x+4y-4 \gt 0\) の表す領域は、
中心 \((\fbox{ク}~,~\fbox{ケコ})\)、半径 \(\fbox{サ}\) の円の \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{シ}\) の部分で、境界線を \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ス}\) 。
選択肢：⓪ 上側 ① 下側 ② 内部
③ 外部 ④ 含む ⑤ 含まない
※ 同じものを繰り返し選んでもよい。
共通テスト数学ⅡBC｜図形と方程式
49 数学ⅡBC【解答】
\({\small (1)}~\)\(y=2x+1\)、①、④
\({\small (2)}~\)半径 \(2\)、②、④
\({\small (3)}~\)中心 \((1~,~-2)\)、半径 \(3\)、③、⑤
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)\(y\) について解くと、
\(\begin{eqnarray}~~~2x-y+1&{\small ~≧~}&0
\\[3pt]~~~-y&{\small ~≧~}&-2x-1
\\[3pt]~~~y&{\small ~≦~}&2x+1\end{eqnarray}\)
※ 両辺を \(-1\) で割るので、不等号の向きが変わる
これより、直線 \(y=2x+1\) の下側の部分となる
ただし、境界線を含む
\({\small (2)}~\)不等式 \(x^2+y^2 {\small ~≦~} 4\) より、
中心 \((0~,~0)\)、半径 \(2\) の円の内部となる
ただし、境界線を含む
\({\small (3)}~\)\(x^2+y^2-2x+4y-4 \gt 0\) は、
\(x\) と \(y\) のそれぞれについて平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(x^2-2x)+(y^2+4y)-4&\gt&0
\\[3pt]~~~(x^2-2x+1)-1+(y^2+4y+4)-4-4&\gt&0
\\[3pt]~~~(x-1)^2+(y+2)^2&\gt&3^2\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~(x^2-2x+1)-1+(y^2+4y+4)-4-4&\gt&0
\\[3pt]~~~(x-1)^2+(y+2)^2&\gt&3^2\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、中心 \((1~,~-2)\)、半径 \(3\) の円の外部となる
ただし、境界線を含まない
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