【新課程】東京書籍：Standard数学Ⅱ[702]

p.70 問1　A:第４象限　　B:第２象限
　C:第３象限　　D:第１象限

p.71 問2\({\small (1)}~\sqrt{10}\)　　\({\small (2)}~5\)　　\({\small (3)}~2\sqrt{5}\)　　\({\small (4)}~7\)

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解法のPoint｜平面上の2点間の距離

p.73 問3

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解法のPoint｜直線上の内分点・外分点・中点・線分の長さ

p.74 問4\({\small (1)}~{\rm P}(5)\)　　\({\small (2)}~{\rm Q}(-3)\)　　\({\small (3)}~{\rm M}\left(\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\right)\)

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解法のPoint｜直線上の内分点・外分点・中点・線分の長さ

p.77 問5\({\small (1)}~\)
　\({\rm P}(6~,~5)~,~{\rm Q}(30~,~29)~,~{\rm M}\left(\displaystyle \frac{\,11\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\right)\)
\({\small (2)}~\)
　\({\rm P}\left(\displaystyle \frac{\,18\,}{\,7\,}~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,7\,}\right)~,~{\rm Q}(30~,~-13)~,~{\rm M}(2~,~1)\)

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解法のPoint｜平面上の内分点・外分点・中点

p.77 問6\(~~~(-10~,~-1)\)

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解法のPoint｜平面上の点に関して対称な点

p.78 問7\({\small (1)}~(1~,~2)\)　　\({\small (2)}~\left(\displaystyle \frac{\,7\,}{\,3\,}~,~-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\right)\)

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解法のPoint｜平面上の三角形の重心の座標

p.80 問8\({\small (1)}~y=2x+1\)
\({\small (2)}~y=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x+3\)

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解法のPoint｜点と傾きが条件の直線の方程式

p.80 問9\({\small (1)}~y=2x+7\)　　\({\small (2)}~y=-3x+6\)
\({\small (3)}~x=-4\)　　\({\small (4)}~y=5\)

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解法のPoint｜2点の座標が条件の直線の方程式

p.81 問10\(~~~2x+y-4=0\)

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解法のPoint｜2点の座標が条件の直線の方程式

p.83 問11　互いに平行：②と③
　互いに垂直：①と④

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解法のPoint｜2直線の平行と垂直の判別方法

p.83 問12平行 \(4x-y-13=0\)
垂直 \(x+4y+1=0\)

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解法のPoint｜直線に平行・垂直な直線の方程式

p.84 問13\(~~~(-2~,~2)\)

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■ この問題の詳しい解説はこちら！

p.86 問14\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,2\sqrt{5}\,}{\,5\,}\)　　\({\small (2)}~1\)

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解法のPoint｜点と直線との距離の公式

p.87 問15\({\rm A}(a~,~b)~,~{\rm B}(c~,~d)~,~{\rm C}(e~,~f)\) とすると、文字が６つとなり計算が難しくなる
説明のように、\({\rm A}(a~,~b)~,~{\rm B}(-c~,~0)~,~{\rm C}(c~,~0)\) とすると、文字が３つとなり計算が楽になる

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解法のPoint｜座標でのAB²+AC²=2(AM²+BM²)の証明

p.88 参考 問1\(~~~16x-7y-9=0\)

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解法のPoint｜2直線の交点を通る直線の方程式

p.89 Training 1\({\small (1)}~9\sqrt{2}\)　　\({\small (2)}~4\sqrt{5}\)

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解法のPoint｜平面上の2点間の距離

p.89 Training 2\(~~~{\rm P}\left(-1~,~\displaystyle \frac{\,10\,}{\,7\,}\right)~,~{\rm Q}\left(-\displaystyle \frac{\,23\,}{\,3\,}~,~-10\right)\)

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解法のPoint｜平面上の内分点・外分点・中点

p.89 Training 3\(~~~(-4~,~-1)\)

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解法のPoint｜平面上の点に関して対称な点

p.89 Training 4\(~~~(1~,~3)\)

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解法のPoint｜平面上の三角形の重心の座標

p.89 Training 5\({\small (1)}~y=-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}x+3\)　　\({\small (2)}~x=-2\)

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解法のPoint｜2点の座標が条件の直線の方程式

p.89 Training 6\(~~~x+2y=0\)

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解法のPoint｜2点の座標が条件の直線の方程式

p.89 Training 7　平行 \(3x-2y-1=0\)
　垂直 \(2x+3y-18=0\)

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解法のPoint｜直線に平行・垂直な直線の方程式

p.89 Training 8\(~~~(0~,~1)\)

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■ この問題の詳しい解説はこちら！

p.89 Training 9\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,5\sqrt{10}\,}{\,4\,}\)　　\({\small (2)}~2\sqrt{2}\)

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解法のPoint｜点と直線との距離の公式

p.89 Training 10この２直線は、
　\(y=-x+1~,~y=-x+\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\)
となり、傾きが等しく平行であり、切片が異なるので一致はしない
したがって、この２直線は交点をもたないので連立方程式の解をもたない

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解法のPoint｜連立方程式の解と2直線の関係

p.90 問1\({\small (1)}~(x-2)^2+(y+1)^2=9\)　　\({\small (2)}~x^2+y^2=4\)

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解法のPoint｜円の方程式の中心の座標と半径

p.91 問2\(~~~(x-2)^2+(y-3)^2=45\)

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解法のPoint｜中心と通る点・直径の両端と円の方程式

p.91 問3\(~~~(x+1)^2+(y-2)^2=13\)

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解法のPoint｜中心と通る点・直径の両端と円の方程式

p.92 問4\({\small (1)}~\)中心 \((3~,~-2)\)、半径 \(3\) の円
\({\small (2)}~\)中心 \((-1~,~0)\)、半径 \(1\) の円
\({\small (3)}~\)点 \((-2~,~5)\)

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解法のPoint｜x²+y²+lx+my+n=0の表す図形

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解法のPoint｜方程式が円を表す条件

p.93 問5\(~~~x^2+y^2-4x-6=0\)

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解法のPoint｜3点を通る円の方程式

p.94 問6\({\small (1)}~(-3~,~-4)~,~(4~,~3)\)　　\({\small (2)}~(2~,~2)\)

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解法のPoint｜円と直線との共有点の座標

p.95 問7\(~~~k\lt -5\sqrt{2}~,~5\sqrt{2}\lt k\)

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解法のPoint｜円と直線との共有点の条件と判別式

p.96 問8\(~~~k=\pm3\sqrt{2}\)

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解法のPoint｜円と直線との共有点の条件と点と直線との距離

p.96 問9連立すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+(2x+k)^2&=&1\\[2pt]~~~5x^2+4kx+k^2-1&=&0\end{eqnarray}\)
判別式を \(D\) とすると、
　\(\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}=4k^2-5(k^2-1)=-k^2+5\)
接するので \(D=0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~-k^2+5&=&0\\[2pt]~~~k&=&\pm \sqrt{5}\end{eqnarray}\)

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解法のPoint｜円と直線との共有点の条件と判別式

p.97 問10\({\small (1)}~3x+y=10\)　　\({\small (2)}~2x-3y=-13\)　　\({\small (3)}~x=3\)

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解法のPoint｜円上の点における接線の方程式

p.98 問11\(~~~3x+y=10~,~x-3y=-10\)

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p.99 問12\(~~~(x-2)^2+(y+2)^2=2\)

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解法のPoint｜円と外接・内接する円の方程式

p.100 問13\(~~~(1~,~-2)~,~(2~,~1)\)

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解法のPoint｜2つの円の共有点の座標

p.101 参考 問1\({\small (1)}~x^2+y^2-x+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}y-\displaystyle \frac{\,10\,}{\,3\,}=0\)　　\({\small (2)}~3x-y-2=0\)

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解法のPoint｜2つの円の交点を通る図形の方程式

p.102 Training 11\({\small (1)}~(x+4)^2+(y-3)^2=9\)

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解法のPoint｜軸に接する円の方程式

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\({\small (2)}~x^2+(y-2)^2=5\)

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解法のPoint｜中心と通る点・直径の両端と円の方程式

p.102 Training 12\({\small (1)}~\)中心 \((-2~,~5)\)、半径 \(6\)
\({\small (2)}~\)中心 \(\left(0~,~-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\right)\)、半径 \(\displaystyle \frac{\,\sqrt{17}\,}{\,2\,}\)

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解法のPoint｜x²+y²+lx+my+n=0の表す図形

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\({\small (3)}~\)点 \((2~,~3)\)

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解法のPoint｜方程式が円を表す条件

p.102 Training 13\(~~~x^2+y^2-8x-8y+12=0\)
　中心 \((4~,~4)\)、半径 \(2\sqrt{5}\)

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解法のPoint｜3点を通る円の方程式

p.102 Training 14\({\small (1)}~(-2~,~3)~,~(3~,~-2)\)　　\({\small (2)}~(-2~,~1)\)

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解法のPoint｜円と直線との共有点の座標

p.102 Training 15\(-3\sqrt{10}\lt k\lt 3\sqrt{10}\) のとき、
　共有点２個
\(k=\pm3\sqrt{10}\) のとき、
　共有点１個
\(k\lt -3\sqrt{10}~,~3\sqrt{10}\lt k\) のとき、
　共有点０個

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解法のPoint｜円と直線との共有点の条件と点と直線との距離

p.102 Training 16\({\small (1)}~x-3y=-10\)　　\({\small (2)}~y=4\)

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解法のPoint｜円上の点における接線の方程式

p.102 Training 17\(~~~x+7y=50~,~x-y=10\)

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p.102 Training 18\({\small (1)}~r=4\)　　\({\small (2)}~4\lt r\lt 6\)

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解法のPoint｜2つの円の位置関係

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解法のPoint｜円と外接・内接する円の方程式

p.102 Training 19\((x-a)^2+(y-b)^2=k\) と式変形して、\(k\gt 0\) であればよい

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解法のPoint｜方程式が円を表す条件

p.104 問1点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) とおく

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点 \({\rm P}\) の満たす条件は、

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\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AP}&=&{\rm BP}\\[3pt]~~~\Leftrightarrow~~~{\rm AP}^2&=&{\rm BP}^2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)

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ここで、2点間の距離より、

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　\({\rm AP}^2=(x-3)^2+y^2\)

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　\({\rm BP}^2=x^2+(y-5)^2\)

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\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、

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※ 数式は横にスクロールできます。

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よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は直線 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、直線 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、直線 \(3x-5y+8=0\) である

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p.104 問2点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) とおく

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点 \({\rm P}\) の満たす条件は、

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　\({\rm AP}^2+{\rm BP}^2=50~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)

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ここで、2点間の距離より、

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　\({\rm AP}^2=(x-3)^2+y^2\)

---

　\({\rm BP}^2=(x+3)^2+y^2\)

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\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、

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※ 数式は横にスクロールできます。

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よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は円 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、円 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、中心 \((0~,~0)\) 、半径 \(4\) の円である

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p.104 問3点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) とおく

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点 \({\rm P}\) の満たす条件は、

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\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AP}:{\rm BP}&=&3:2\\[3pt]~~~\Leftrightarrow\,~~~~2{\rm AP}&=&3{\rm BP}\\[3pt]~\Leftrightarrow~~~4{\rm AP}^2&=&9{\rm BP}^2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)

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ここで、2点間の距離より、

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　\({\rm AP}^2=(x+2)^2+y^2\)

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　\({\rm BP}^2=(x-3)^2+y^2\)

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\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、

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※ 数式は横にスクロールできます。

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よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は円 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、円 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、中心 \((7~,~0)\) 、半径 \(6\) の円である

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p.105 問4点 \({\rm Q}\) の座標を \({\rm Q}(x~,~y)\) と、動く点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(s~,~t)\) とおく。

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点 \({\rm P}\) は直線 \(y=2x+3\) 上にあるので、

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　\(t=2s+3~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)

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点 \({\rm Q}\) の満たす条件は、線分 \({\rm AP}\) の中点より、

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　\(x\) 座標は、

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　\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,5+s\,}{\,2\,}
\\[3pt]~~~2x&=&5+s
\\[3pt]~~~s&=&2x-5\end{eqnarray}\)

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　\(y\) 座標は、

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　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,1+t\,}{\,2\,}
\\[3pt]~~~2y&=&1+t
\\[3pt]~~~t&=&2y-1\end{eqnarray}\)

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これらを \({\small [\,1\,]}\) に代入して、\(s~,~t\) を消去すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~2y-1&=&2(2x-5)+3
\\[3pt]~~~2y-1&=&4x-10+3
\\[3pt]~~~2y-1&=&4x-7
\\[3pt]~~~2y&=&4x-6
\\[3pt]~~~y&=&2x-3\end{eqnarray}\)

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よって、条件を満たす点 \({\rm Q}\) は直線 \(y=2x-3\) 上にある

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逆に、直線 \(y=2x-3\) 上の任意の点 \({\rm Q}(x~,~y)\) は条件を満たす

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したがって、求める軌跡は、直線 \(y=2x-3\) である

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p.105 問5点 \({\rm Q}\) の座標を \({\rm Q}(x~,~y)\) と、動く点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(s~,~t)\) とおく。

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点 \({\rm P}\) は円 \(x^2+y^2=8\) 上にあるので、

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　\(s^2+t^2=8~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)

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点 \({\rm Q}\) の満たす条件は、線分 \({\rm AP}\) の中点より、

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　\(x\) 座標は、

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　\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,0+s\,}{\,2\,}
\\[3pt]~~~2x&=&s
\\[3pt]~~~s&=&2x\end{eqnarray}\)

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　\(y\) 座標は、

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　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,6+t\,}{\,2\,}
\\[3pt]~~~2y&=&6+t
\\[3pt]~~~6+t&=&2y
\\[3pt]~~~t&=&2y-6\end{eqnarray}\)

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これらを \({\small [\,1\,]}\) に代入して、\(s~,~t\) を消去すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~(2x)^2+(2y-6)^2&=&8
\\[3pt]~~~4x^2+\{2(y-3)\}^2&=&8
\\[3pt]~~~4x^2+4(y-3)^2&=&8
\\[3pt]~~~x^2+(y-3)^2&=&2~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)

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よって、条件を満たす点 \({\rm Q}\) は円 \({\small [\,2\,]}\) 上にある

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逆に、円 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm Q}(x~,~y)\) は条件を満たす

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したがって、求める軌跡は、中心 \((0~,~3)\) 、半径 \(\sqrt{2}\) の円である

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p.107 問6\({\small (1)}~\)境界線を含まない

\({\small (2)}~\)境界線を含まない

\({\small (3)}~\)境界線を含む

\({\small (4)}~\)境界線を含む

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解法のPoint｜直線が境界線の不等式の領域

p.107 問7\({\small (1)}~\)境界線を含まない

\({\small (2)}~\)境界線を含む

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解法のPoint｜直線が境界線の不等式の領域

p.108 問8\({\small (1)}~\)境界線を含まない

\({\small (2)}~\)境界線を含む

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解法のPoint｜円が境界線の不等式の領域

p.108 問9\({\small (1)}~\)境界線を含まない

\({\small (2)}~\)境界線を含む

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解法のPoint｜円が境界線の不等式の領域

p.109 問10\({\small (1)}~\)境界線を含まない

\({\small (2)}~\)境界線を含む

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解法のPoint｜連立不等式の表す領域

p.109 問11第１象限 \(\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x \gt 0 \\ y \gt 0
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
第２象限 \(\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x \lt 0 \\ y \gt 0
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
第３象限 \(\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x \lt 0 \\ y \lt 0
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
第４象限 \(\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x \gt 0 \\ y \lt 0
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)

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解法のPoint｜連立不等式の領域の図の読み取り

p.110 問12\({\small (1)}~\)境界線を含まない

\({\small (2)}~\)境界線を含む

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解法のPoint｜連立不等式の表す領域

p.110 問13境界線を含む

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解法のPoint｜積の形の不等式の表す領域

p.111 問14　\(x=3~,~y=3\) のとき最大値 \(6\)
　\(x=0~,~y=0\) のとき最小値 \(0\)

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p.112 challenge 問1[証明] 不等式 \(x^2+y^2 \lt 2\) は、

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中心 \((0~,~0)\)、半径 \(\sqrt{\,2\,}\) の円の内部で、この領域を \({\rm P}\) とする

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不等式 \(x+y \lt 2\) は、

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\(\begin{eqnarray}~~~x+y&\lt&2
\\[3pt]~~~y&\lt&-x+2\end{eqnarray}\)

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直線 \(y=-x+2\) の下側の領域で、この領域を \({\rm Q}\) とする

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また、直線 \(x+y-2=0\) と原点 \((0~,~0)\) との距離 \(d\) は、

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\(\begin{eqnarray}~~~d&=&\displaystyle \frac{\,|\,0+0-2\,|\,}{\,\sqrt{\,1^2+1^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}=\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)

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図より、\({\rm P} \subset {\rm Q}\)（ \({\rm P}\) が \({\rm Q}\) の部分集合 ）であるから、

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\(x^2+y^2 \lt 2\) ならば \(x+y \lt 2\) である [終]

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p.113 Training 20点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) とおく

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点 \({\rm P}\) の満たす条件は、

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　\({\rm AP}^2-{\rm BP}^2=16~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)

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ここで、2点間の距離より、

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　\({\rm AP}^2=(x+3)^2+y^2\)

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　\({\rm BP}^2=(x-5)^2+y^2\)

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\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、

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※ 数式は横にスクロールできます。

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よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は直線 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、直線 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、直線 \(x=2\) である

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p.113 Training 21点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) とおく

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点 \({\rm P}\) の満たす条件は、

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\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AP}:{\rm BP}&=&1:3\\[3pt]~~~\Leftrightarrow\,~~~~3{\rm AP}&=&{\rm BP}\\[3pt]~\Leftrightarrow~~~9{\rm AP}^2&=&{\rm BP}^2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)

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ここで、2点間の距離より、

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　\({\rm AP}^2=(x+2)^2+y^2\)

---

　\({\rm BP}^2=(x-6)^2+y^2\)

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\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、

---

※ 数式は横にスクロールできます。

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よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は円 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、円 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、中心 \((-3~,~0)\) 、半径 \(3\) の円である

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p.113 Training 22\({\small (1)}~\)動く点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(s~,~t)\) と、点 \({\rm Q}\) の座標を \({\rm Q}(x~,~y)\) とおく。

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点 \({\rm P}\) は円 \(x^2+y^2=12\) 上にあるので、

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　\(s^2+t^2=12~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)

---

点 \({\rm Q}\) の満たす条件は、線分 \({\rm AP}\) の中点より、

---

　\(x\) 座標は、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,5+s\,}{\,2\,}
\\[3pt]~~~2x&=&5+s
\\[3pt]~~~s&=&2x-5\end{eqnarray}\)

---

　\(y\) 座標は、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,2+t\,}{\,2\,}
\\[3pt]~~~2y&=&2+t
\\[3pt]~~~t&=&2y-2\end{eqnarray}\)

---

これらを \({\small [\,1\,]}\) に代入して、\(s~,~t\) を消去すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~(2x-5)^2+(2y-2)^2&=&12
\\[3pt]~~~\left\{2\left(x-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\right)\right\}^2+\{2(y-1)\}^2&=&12
\\[3pt]~~~4\left(x-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\right)^2+4(y-1)^2&=&12
\\[3pt]~~~\left(x-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\right)^2+(y-1)^2&=&3~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)

---

よって、条件を満たす点 \({\rm Q}\) は円 \({\small [\,2\,]}\) 上にある

---

逆に、円 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm Q}(x~,~y)\) は条件を満たす

---

したがって、求める軌跡は、中心 \(\left(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}~,~1\right)\) 、半径 \(\sqrt{3}\) の円である

 

\({\small (2)}~\)動く点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(s~,~t)\) と、点 \({\rm Q}\) の座標を \({\rm Q}(x~,~y)\) とおく。

---

点 \({\rm P}\) は直線 \(x-2y+6=0\) 上にあるので、

---

　\(s-2t+6=0~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)

---

点 \({\rm Q}\) の満たす条件は、線分 \({\rm AP}\) を \(2:1\) に内分する点より、

---

　\(x\) 座標は、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,1 \cdot 6+2 \cdot s\,}{\,2+1\,}
\\[3pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,6+2s\,}{\,3\,}
\\[3pt]~~~3x&=&6+2s
\\[3pt]~~~s&=&\displaystyle \frac{\,3x-6\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

---

　\(y\) 座標は、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,1 \cdot 0+2 \cdot t\,}{\,2+1\,}
\\[3pt]~~~y&=&\displaystyle \frac{\,2t\,}{\,3\,}
\\[3pt]~~~3y&=&2t
\\[3pt]~~~t&=&\displaystyle \frac{\,3y\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

---

これらを \({\small [\,1\,]}\) に代入して、\(s~,~t\) を消去すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,3x-6\,}{\,2\,}-2 \cdot \displaystyle \frac{\,3y\,}{\,2\,}+6&=&0
\\[3pt]~~~\displaystyle \frac{\,3x-6\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,6y\,}{\,2\,}+6&=&0
\\[3pt]~~~3x-6-6y+12&=&0
\\[3pt]~~~3x-6y+6&=&0
\\[3pt]~~~x-2y+2&=&0~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)

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よって、条件を満たす点 \({\rm Q}\) は直線 \({\small [\,2\,]}\) 上にある

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逆に、直線 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm Q}(x~,~y)\) は条件を満たす

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したがって、求める軌跡は、直線 \(x-2y+2=0\) である

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p.113 Training 23\({\small (1)}~\)境界線を含まない

\({\small (2)}~\)境界線を含む

\({\small (3)}~\)境界線を含まない

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解法のPoint｜直線が境界線の不等式の領域

p.113 Training 24\({\small (1)}~\)境界線を含まない

\({\small (2)}~\)境界線を含む

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解法のPoint｜円が境界線の不等式の領域

p.113 Training 25\({\small (1)}~\)境界線を含む

\({\small (2)}~\)境界線を含まない

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解法のPoint｜連立不等式の表す領域

p.113 Training 26　\(x=2~,~y=4\) のとき最大値 \(2\)
　\(x=5~,~y=1\) のとき最小値 \(-4\)

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p.113 Training 27(イ) ②、(ウ) ③

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解法のPoint｜連立不等式の領域の図の読み取り

p.114 Level Up 1\(~~~(3~,~0)\)

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解法のPoint｜平面上の2点から等距離にある点

p.114 Level Up 2\(~~~(-3~,~1)\)

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p.114 Level Up 3\(~~~a=1\)

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解法のPoint｜3点が一直線上にある条件

p.114 Level Up 4\(a_1x+b_1y+c_1=0\) の傾きは、\(b_1\neq 0\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~b_1y&=&-a_1x-c_1
\\[3pt]~~~y&=&-\displaystyle\frac{\,a_1\,}{\,b_1\,}x-\displaystyle\frac{\,c_1\,}{\,b_1\,}\end{eqnarray}\)

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　傾き \(\displaystyle -\frac{\,a_1\,}{\,b_1\,}\) となる

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\(a_2x+b_2y+c_2=0\) の傾きは、\(b_2\neq 0\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~b_2y&=&-a_2x-c_2
\\[3pt]~~~y&=&-\displaystyle\frac{\,a_2\,}{\,b_2\,}x-\displaystyle\frac{\,c_2\,}{\,b_2\,}\end{eqnarray}\)

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　傾き \(\displaystyle -\frac{\,a_2\,}{\,b_2\,}\) となる

 

2直線が平行のとき傾きが等しいので、

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\(\begin{eqnarray}~~~-\displaystyle\frac{\,a_1\,}{\,b_1\,}&=&-\displaystyle\frac{\,a_2\,}{\,b_2\,}
\\[5pt]~~~a_1\,b_2&=&a_2\,b_1
\\[3pt]~~~a_1\,b_2-b_1\,a_2&=&0\end{eqnarray}\)

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2直線が垂直のとき、傾きの積が \(-1\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\left(-\displaystyle\frac{\,a_1\,}{\,b_1\,}\right)\times\left(-\displaystyle\frac{\,a_2\,}{\,b_2\,}\right)&=&-1
\\[5pt]~~~\displaystyle\frac{\,a_1\,a_2\,}{\,b_1\,b_2\,}&=&-1
\\[5pt]~~~a_1\,a_2&=&-b_1\,b_2
\\[3pt]~~~a_1\,a_2+b_1\,b_2&=&0\end{eqnarray}\)

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したがって、

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　2直線が平行のとき、\(a_1\,b_2-b_1\,a_2=0\)

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　2直線が垂直のとき、\(a_1\,a_2+b_1\,b_2=0\)

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p.114 Level Up 5\(~~~2x-y-4=0\)

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解法のPoint｜垂直二等分線の方程式

p.114 Level Up 6\({\small (1)}~5\)　　\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,22\,}{\,5\,}\)　　\({\small (3)}~11\)

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p.114 Level Up 7\({\small (1)}~(x-3)^2+(y-2)^2=5\)

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解法のPoint｜直線に接する円の方程式

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\({\small (2)}~(x-1)^2+(y-1)^2=1\)
　または
　\((x-5)^2+(y-5)^2=25\)

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解法のPoint｜軸に接する円の方程式

p.115 Level Up 8\(~~~m\lt -\sqrt{15}~,~\sqrt{15}\lt m\)

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解法のPoint｜円と直線との共有点の条件と判別式

p.115 Level Up 9\(~~~\sqrt{6}\)

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解法のPoint｜直線が円によって切り取られる線分

p.115 Level Up 10\(~~~y=x~,~y=-x\)

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解法のPoint｜y軸上の点から円に引いた接線の方程式

p.115 Level Up 11点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) とおく

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点 \({\rm P}\) の満たす条件は、

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　\({\rm AP}^2+{\rm BP}^2+{\rm CP}^2=37~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)

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ここで、2点間の距離より、

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　\({\rm AP}^2=(x-1)^2+y^2\)

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　\({\rm BP}^2=x^2+(y-2)^2\)

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　\({\rm CP}^2=(x-2)^2+(y-4)^2\)

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\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、

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※ 数式は横にスクロールできます。

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よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は円 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、円 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、中心 \((1~,~2)\) 、半径 \(3\) の円である

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p.115 Level Up 12動く点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(s~,~t)\) と、点 \({\rm G}\) の座標を \({\rm G}(x~,~y)\) とおく。

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点 \({\rm P}\) は円 \(x^2+y^2=9\) 上にあるので、

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　\(s^2+t^2=9~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)

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点 \({\rm G}\) の満たす条件は、\(\triangle{\rm ABP}\) の重心より、

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　\(x\) 座標は、

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　\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,6+6+s\,}{\,3\,}
\\[3pt]~~~3x&=&12+s
\\[3pt]~~~s&=&3x-12\end{eqnarray}\)

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　\(y\) 座標は、

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　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,3+(-3)+t\,}{\,3\,}
\\[3pt]~~~3y&=&t
\\[3pt]~~~t&=&3y\end{eqnarray}\)

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これらを \({\small [\,1\,]}\) に代入して、\(s~,~t\) を消去すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~(3x-12)^2+(3y)^2&=&9
\\[3pt]~~~\{3(x-4)\}^2+9y^2&=&9
\\[3pt]~~~9(x-4)^2+9y^2&=&9
\\[3pt]~~~(x-4)^2+y^2&=&1~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)

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よって、条件を満たす点 \({\rm G}\) は円 \({\small [\,2\,]}\) 上にある

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逆に、円 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm G}(x~,~y)\) は条件を満たす

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したがって、求める軌跡は、中心 \((4~,~0)\) 、半径 \(1\) の円である

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p.115 Level Up 13\({\small (1)}~\)\(\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
y\lt x+1\\y\gt 4x-8 \\y\gt -\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x+1
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)

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\({\small (2)}~\)\(\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x^2+y^2\gt 1\\(x-1)^2+y^2\lt 4
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)

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解法のPoint｜連立不等式の領域の図の読み取り

p.115 Level Up 14　\(x=4~,~y=-3\) のとき最大値 \(11\)
　\(x=-2~,~y=1\) のとき最小値 \(-5\)

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