このページは、数研出版：数学Ⅱ[709]
第２章 複素数と方程式
第２章 複素数と方程式
教科書の復習から入試の入門まで｜数学入門問題精講
旺文社の入門問題精講シリーズの紹介高校生の皆さん、数学の勉強に困ったことはありませんか？教科書の内容...
yorikuwa.com
リンク
文字数が多く、重くなるのでページを分割しています。
各章は下のリンクまたはページ下の「次へ」をクリックしてください。
数研出版数学Ⅱ 第１章 式と証明
数研出版数学Ⅱ 第２章 複素数と方程式
数研出版数学Ⅱ 第３章 図形と方程式
数研出版数学Ⅱ 第４章 三角関数
数研出版数学Ⅱ 第５章 指数関数と対数関数
数研出版数学Ⅱ 第６章 微分法と積分法
第２章 複素数と方程式
p.42 練習1\({\small (1)}~\)実部 \(-2\)、虚部 \(-3\)
\({\small (2)}~\)実部 \(-\displaystyle \frac{2}{3}\)、虚部 \(\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3}\)
\({\small (3)}~\)実部 \(-4\)、虚部 \(0\)
\({\small (4)}~\)実部 \(0\)、虚部 \(5\)
解法のPoint｜複素数の実部・虚部
\({\small (2)}~\)実部 \(-\displaystyle \frac{2}{3}\)、虚部 \(\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3}\)
\({\small (3)}~\)実部 \(-4\)、虚部 \(0\)
\({\small (4)}~\)実部 \(0\)、虚部 \(5\)
解法のPoint｜複素数の実部・虚部
p.43 練習3\({\small (1)}~10-i\) \({\small (2)}~2-3i\)
\({\small (3)}~-3+i\) \({\small (4)}~12+5i\)
解法のPoint｜複素数の加法・減法
\({\small (3)}~-3+i\) \({\small (4)}~12+5i\)
解法のPoint｜複素数の加法・減法
p.44 練習4\({\small (1)}~12+5i\) \({\small (2)}~-8-6i\)
\({\small (3)}~25\) \({\small (4)}~-i\)
解法のPoint｜複素数の乗法
\({\small (3)}~25\) \({\small (4)}~-i\)
解法のPoint｜複素数の乗法
p.44 練習5\({\small (1)}~3-2i\) \({\small (2)}~-4+5i\)
\({\small (3)}~-\sqrt{3}i\) \({\small (4)}~-5\)
解法のPoint｜共役な複素数
\({\small (3)}~-\sqrt{3}i\) \({\small (4)}~-5\)
解法のPoint｜共役な複素数
p.45 練習6\({\small (1)}~1-2i\) \({\small (2)}~-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}i\)
\({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,13\,}-\displaystyle \frac{\,12\,}{\,13\,}i\)
解法のPoint｜複素数の除法
\({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,13\,}-\displaystyle \frac{\,12\,}{\,13\,}i\)
解法のPoint｜複素数の除法
p.46 練習7\({\small (1)}~-12\) \({\small (2)}~-\sqrt{3}i\)
\({\small (3)}~3\) \({\small (4)}~\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}\,}{\,3\,}i\)
解法のPoint｜負の数の平方根の計算
\({\small (3)}~3\) \({\small (4)}~\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}\,}{\,3\,}i\)
解法のPoint｜負の数の平方根の計算
p.46 深める\({\small (1)}~\)成り立つ
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{-3}\,}=-\sqrt{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}}\)
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{-3}\,}=-\sqrt{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}}\)
p.47 練習8\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,-1\pm\sqrt{3}i\,}{2}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,7\pm\sqrt{11}i\,}{6}\)
\({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,3\pm\sqrt{5}i\,}{2}\) \({\small (4)}~5\pm i\)
解法のPoint｜複素数範囲の2次方程式の解
\({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,3\pm\sqrt{5}i\,}{2}\) \({\small (4)}~5\pm i\)
解法のPoint｜複素数範囲の2次方程式の解
p.49 練習9\({\small (1)}~\)異なる２つの実数解
\({\small (2)}~\)異なる２つの実数解
\({\small (3)}~\)異なる２つの虚数解
\({\small (4)}~\)重解
解法のPoint｜複素数範囲の2次方程式の解の判別式
\({\small (2)}~\)異なる２つの実数解
\({\small (3)}~\)異なる２つの虚数解
\({\small (4)}~\)重解
解法のPoint｜複素数範囲の2次方程式の解の判別式
p.49 練習10\(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\lt m\lt 1\) のとき、
異なる２つの実数解
\(m=1~,~-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) のとき、重解
\(m\lt -\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}~,~1\lt m\) のとき、
異なる２つの虚数解
解法のPoint｜複素数範囲の文字係数の2次方程式
異なる２つの実数解
\(m=1~,~-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) のとき、重解
\(m\lt -\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}~,~1\lt m\) のとき、
異なる２つの虚数解
解法のPoint｜複素数範囲の文字係数の2次方程式
p.50 練習11\({\small (1)}~\)和 \(-3\)、積 \(-5\)
\({\small (2)}~\)和 \(\displaystyle \frac{\,7\,}{\,3\,}\)、積 \(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\)
\({\small (3)}~\)和 \(0\)、積 \(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\)
解法のPoint｜2次方程式の解と係数の関係
\({\small (2)}~\)和 \(\displaystyle \frac{\,7\,}{\,3\,}\)、積 \(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\)
\({\small (3)}~\)和 \(0\)、積 \(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\)
解法のPoint｜2次方程式の解と係数の関係
p.51 練習14\(m=4\)、解は \(-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
または
\(m=-4\)、解は \(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}~,~-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
または
\(m=-4\)、解は \(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}~,~-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.52 練習15\({\small (1)}~(x+4-\sqrt{11})(x+4+\sqrt{11})\)
\({\small (2)}~2\left(x-\displaystyle \frac{\,5+\sqrt{17}\,}{\,2\,}\right)\left(x-\displaystyle \frac{\,5-\sqrt{17}\,}{\,2\,}\right)\)
\({\small (3)}~2\left(x+\displaystyle \frac{\,3-\sqrt{7}i\,}{\,4\,}\right)\left(x+\displaystyle \frac{\,3+\sqrt{7}i\,}{\,4\,}\right)\)
解法のPoint｜複素数範囲での2次式の因数分解
\({\small (2)}~2\left(x-\displaystyle \frac{\,5+\sqrt{17}\,}{\,2\,}\right)\left(x-\displaystyle \frac{\,5-\sqrt{17}\,}{\,2\,}\right)\)
\({\small (3)}~2\left(x+\displaystyle \frac{\,3-\sqrt{7}i\,}{\,4\,}\right)\left(x+\displaystyle \frac{\,3+\sqrt{7}i\,}{\,4\,}\right)\)
解法のPoint｜複素数範囲での2次式の因数分解
p.53 練習16\({\small (1)}~x^2-x-12=0\)
\({\small (2)}~x^2-2x-1=0\)
\({\small (3)}~x^2+4x+5=0\)
解法のPoint｜2数を解とする2次方程式
\({\small (2)}~x^2-2x-1=0\)
\({\small (3)}~x^2+4x+5=0\)
解法のPoint｜2数を解とする2次方程式
p.53 練習17\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,1+\sqrt{3}i\,}{2}~,~\displaystyle \frac{\,1-\sqrt{3}i\,}{2}\)
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,-5+\sqrt{13}\,}{2}~,~\displaystyle \frac{\,-5-\sqrt{13}\,}{2}\)
解法のPoint｜和と積の値と2数
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,-5+\sqrt{13}\,}{2}~,~\displaystyle \frac{\,-5-\sqrt{13}\,}{2}\)
解法のPoint｜和と積の値と2数
p.54 練習18\({\small (1)}~x^2-x+8=0\)
\({\small (2)}~2x^2+3x+5=0\)
\({\small (3)}~4x^2+11x+25=0\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\({\small (2)}~2x^2+3x+5=0\)
\({\small (3)}~4x^2+11x+25=0\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.55 練習19\({\small (1)}~-3\lt m\lt -2\) \({\small (2)}~m\gt 6\)
\({\small (3)}~m\lt -3\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\({\small (3)}~m\lt -3\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.55 深める\(D\gt 0\) がないとき、
\(-2≦ m ≦ 0\) の範囲に解をもつので、
例えば、\(m=-1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~x^2-2x+1&=&0\\[2pt]~(x-1)^2&=&0\\[2pt]~x&=&1\end{eqnarray}\)
これより、重解をもち異なる２つの正の解をもたない
\(-2≦ m ≦ 0\) の範囲に解をもつので、
例えば、\(m=-1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~x^2-2x+1&=&0\\[2pt]~(x-1)^2&=&0\\[2pt]~x&=&1\end{eqnarray}\)
これより、重解をもち異なる２つの正の解をもたない
p.56 問2[証明] \(P(x)\) を \(ax+b\) で割ったときの商を \(Q(x)\)、余りを \(R\) とすると、
\(P(x)=(ax+b)Q(x)+R\)
ここで、\(x=-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}\) を代入すると、\(P\left(-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}\right)\)
\(~=(-b+b)Q\left(-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}\right)+R\)
\(~=0+R=R\)
したがって、整式 \(P(x)\) を１次式 \(ax+b\) で割った余りは、\(P\left(-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}\right)\) に等しい [終]
解法のPoint｜剰余の定理と余りの値
\(P(x)=(ax+b)Q(x)+R\)
ここで、\(x=-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}\) を代入すると、\(P\left(-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}\right)\)
\(~=(-b+b)Q\left(-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}\right)+R\)
\(~=0+R=R\)
したがって、整式 \(P(x)\) を１次式 \(ax+b\) で割った余りは、\(P\left(-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}\right)\) に等しい [終]
解法のPoint｜剰余の定理と余りの値
p.56 練習21\({\small (1)}~-4\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,134\,}{\,27\,}\)
解法のPoint｜剰余の定理と余りの値
解法のPoint｜剰余の定理と余りの値
p.58 練習24\({\small (1)}~(x-1)(x-2)(x+3)\)
\({\small (2)}~(x+1)(2x-3)(x-3)\)
\({\small (3)}~(x-2)(x+3)(x+4)\)
\({\small (4)}~(x+2)(2x-1)(x-3)\)
解法のPoint｜因数定理を用いた3次式の因数分解
\({\small (2)}~(x+1)(2x-3)(x-3)\)
\({\small (3)}~(x-2)(x+3)(x+4)\)
\({\small (4)}~(x+2)(2x-1)(x-3)\)
解法のPoint｜因数定理を用いた3次式の因数分解
p.60 練習26\({\small (1)}~x=2~,~-1\pm\sqrt{3}i\)
\({\small (2)}~x=-1~,~\displaystyle \frac{\,1\pm\sqrt{3}i\,}{2}\)
解法のPoint｜3次方程式x³=a³の解
\({\small (2)}~x=-1~,~\displaystyle \frac{\,1\pm\sqrt{3}i\,}{2}\)
解法のPoint｜3次方程式x³=a³の解
p.60 問4\({\small (1)}~\)[証明] \(1\) の3乗根は、\(x^3=1\) の解より、
\(\begin{eqnarray}\hspace{30pt}~~~x^3&=&1
\\[3pt]~~~x^3-1^3&=&0\end{eqnarray}\)
公式 \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\{x+(-1)\}\{x^2-x\cdot(-1)+(-1)^2\}&=&0
\\[3pt]~~~(x-1)(x^2+x+1)&=&0\end{eqnarray}\)
よって、\(x-1=0\) または \(x^2+x+1=0\)
\(x-1=0\) より \(x=1\)
\(x^2+x+1=0\) の解は解の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot 1\cdot 1}\,}{\,2\cdot 1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-1\pm\sqrt{1-4}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-1\pm\sqrt{-3}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-1\pm\sqrt{3}i\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\omega^2&=&\left(\,\displaystyle \frac{\,-1+\sqrt{3}i\,}{\,2\,}\,\right)^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(-1+\sqrt{3}i)^2\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1-2\sqrt{3}i+3i^2\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1-2\sqrt{3}i-3\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-2-2\sqrt{3}i\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-1-\sqrt{3}i\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\omega^2&=&\left(\,\displaystyle \frac{\,-1-\sqrt{3}i\,}{\,2\,}\,\right)^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(-1-\sqrt{3}i)^2\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+2\sqrt{3}i+3i^2\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+2\sqrt{3}i-3\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-2+2\sqrt{3}i\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-1+\sqrt{3}i\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)[証明] \(\omega\) は \(x^2+x+1=0\) の解より、
\(x=\omega\) と代入すると
\(\omega^2+\omega+1=0\) [終]
\({\small (3)}~\)[証明]
\(\omega^3=1\) より、
\(\omega^4=\omega^3\cdot\omega=1\cdot\omega=\omega\)
これより、
\(\omega^4+\omega^2+1=\omega+\omega^2+1\)
(2) より、
\(\omega+\omega^2+1=0\)
したがって、
\(\omega^4+\omega^2+1=0\) [終]
解法のPoint｜1の3乗根とオメガω
\(\begin{eqnarray}\hspace{30pt}~~~x^3&=&1
\\[3pt]~~~x^3-1^3&=&0\end{eqnarray}\)
公式 \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\{x+(-1)\}\{x^2-x\cdot(-1)+(-1)^2\}&=&0
\\[3pt]~~~(x-1)(x^2+x+1)&=&0\end{eqnarray}\)
よって、\(x-1=0\) または \(x^2+x+1=0\)
\(x-1=0\) より \(x=1\)
\(x^2+x+1=0\) の解は解の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot 1\cdot 1}\,}{\,2\cdot 1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-1\pm\sqrt{1-4}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-1\pm\sqrt{-3}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-1\pm\sqrt{3}i\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
ここで、\(\omega=\displaystyle \frac{\,-1+\sqrt{3}i\,}{\,2\,}\) とすると、\(\omega^2\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~\omega^2&=&\left(\,\displaystyle \frac{\,-1+\sqrt{3}i\,}{\,2\,}\,\right)^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(-1+\sqrt{3}i)^2\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1-2\sqrt{3}i+3i^2\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1-2\sqrt{3}i-3\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-2-2\sqrt{3}i\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-1-\sqrt{3}i\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
また、\(\omega=\displaystyle \frac{\,-1-\sqrt{3}i\,}{\,2\,}\) とすると、\(\omega^2\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~\omega^2&=&\left(\,\displaystyle \frac{\,-1-\sqrt{3}i\,}{\,2\,}\,\right)^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(-1-\sqrt{3}i)^2\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+2\sqrt{3}i+3i^2\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+2\sqrt{3}i-3\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-2+2\sqrt{3}i\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-1+\sqrt{3}i\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
よって、虚数解の \(1\) つを \(\omega\) とすると、\(\omega^2\) がもう \(1\) つの虚数解となる
したがって、\(1\) の3乗根は \(1~,~\omega~,~\omega^2\) となる [終]
\({\small (2)}~\)[証明] \(\omega\) は \(x^2+x+1=0\) の解より、
\(x=\omega\) と代入すると
\(\omega^2+\omega+1=0\) [終]
\({\small (3)}~\)[証明]
\(\omega^3=1\) より、
\(\omega^4=\omega^3\cdot\omega=1\cdot\omega=\omega\)
これより、
\(\omega^4+\omega^2+1=\omega+\omega^2+1\)
(2) より、
\(\omega+\omega^2+1=0\)
したがって、
\(\omega^4+\omega^2+1=0\) [終]
解法のPoint｜1の3乗根とオメガω
p.61 練習27\({\small (1)}~x=\pm\sqrt{5}~,~\pm\sqrt{2}i\)
\({\small (2)}~x=\pm1~,~\pm i\)
解法のPoint｜x²=tと置き換える4次方程式
\({\small (2)}~x=\pm1~,~\pm i\)
解法のPoint｜x²=tと置き換える4次方程式
p.61 練習28\({\small (1)}~x=1~,~\displaystyle \frac{\,-1\pm\sqrt{13}\,}{2}\)
\({\small (2)}~x=-2~,~\displaystyle \frac{\,2\pm\sqrt{2}\,}{2}\)
\({\small (3)}~x=-2~,~3\)
\({\small (4)}~x=-1~,~-1\pm i\)
解法のPoint｜因数定理を用いた3次方程式の解
\({\small (2)}~x=-2~,~\displaystyle \frac{\,2\pm\sqrt{2}\,}{2}\)
\({\small (3)}~x=-2~,~3\)
\({\small (4)}~x=-1~,~-1\pm i\)
解法のPoint｜因数定理を用いた3次方程式の解
p.62 練習29\({\small (1)}~x=-1~,~2~,~\pm i\)
\({\small (2)}~x=\pm1~,~-1\pm\sqrt{2}i\)
\({\small (3)}~x=1~,~-3\)
解法のPoint｜因数定理を用いた4次方程式の解
\({\small (2)}~x=\pm1~,~-1\pm\sqrt{2}i\)
\({\small (3)}~x=1~,~-3\)
解法のPoint｜因数定理を用いた4次方程式の解
p.63 深める\(x^3+4x^2+ax+b\) を
\((x+3)(x-1)=x^2+2x-3\) で割ったとき、
商 \(x+2\)、余り \((a-1)x+b+6\)
となる
余りが \(0\) となるので、
\(a-1=0\) かつ \(b+6=0\)
したがって、
\(a=1~,~b=-6\)
\((x+3)(x-1)=x^2+2x-3\) で割ったとき、
商 \(x+2\)、余り \((a-1)x+b+6\)
となる
余りが \(0\) となるので、
\(a-1=0\) かつ \(b+6=0\)
したがって、
\(a=1~,~b=-6\)
p.65 研究 練習1[証明] \(a~,~b~,~c~,~d\) を実数として、\(\alpha=a+bi~,~\beta=c+di\) とすると、\(~\alpha+\beta=(a+c)+(b+d)i\)
よって、\(\begin{split}&\overline {\alpha+\beta}\\[2pt]=~&(a+c)-(b+d)i\\[2pt]=~&(a-bi)+(c-di)\\[2pt]=~&\overline {\alpha}+\overline {\beta}\end{split}\)
[終]
[証明] \(a~,~b~,~c~,~d\) を実数として、\(\alpha=a+bi~,~\beta=c+di\) とすると、\(\begin{split}&\overline {\alpha\beta}\\[2pt]=~&\overline {(a+bi)(c+di)}\\[2pt]=~&(ac-bd)-(ad-bc)i\end{split}\)
また、\(\begin{split}&\overline {\alpha}\overline {\beta}\\[2pt]=~&(a-bi)(c-di)\\[2pt]=~&(ac-bd)-(ad-bc)i\end{split}\)
したがって、\(~~~\overline {\alpha\beta}=\overline {\alpha}\overline {\beta}\)
[終]
よって、\(\begin{split}&\overline {\alpha+\beta}\\[2pt]=~&(a+c)-(b+d)i\\[2pt]=~&(a-bi)+(c-di)\\[2pt]=~&\overline {\alpha}+\overline {\beta}\end{split}\)
[終]
[証明] \(a~,~b~,~c~,~d\) を実数として、\(\alpha=a+bi~,~\beta=c+di\) とすると、\(\begin{split}&\overline {\alpha\beta}\\[2pt]=~&\overline {(a+bi)(c+di)}\\[2pt]=~&(ac-bd)-(ad-bc)i\end{split}\)
また、\(\begin{split}&\overline {\alpha}\overline {\beta}\\[2pt]=~&(a-bi)(c-di)\\[2pt]=~&(ac-bd)-(ad-bc)i\end{split}\)
したがって、\(~~~\overline {\alpha\beta}=\overline {\alpha}\overline {\beta}\)
[終]
p.65 研究 練習2\(x^3-3x^2+ax+b\) を \(x^2-2x+10\) で割ったとき、
商 \(x-1\)、余り \((a-12)x+b+10\)
となる
余りが \(0\) となるので、
\(a-12=0\) かつ \(b+10=0\)
したがって、
\(a=12~,~b=-10\)
商 \(x-1\)、余り \((a-12)x+b+10\)
となる
余りが \(0\) となるので、
\(a-12=0\) かつ \(b+10=0\)
したがって、
\(a=12~,~b=-10\)
問題
p.67 問題 1\({\small (1)}~\) \(-9\sqrt{3}+\sqrt{30}\,i\)
解法のPoint｜複素数の加法・減法
\({\small (2)}~\) \(-2+2i\)
解法のPoint｜複素数の乗法
\({\small (3)}~\) \(-i\)
解法のPoint｜複素数の除法
\({\small (4)}~\) \(\displaystyle\frac{\,6\,}{\,5\,}\)
解法のPoint｜負の数の平方根の計算
解法のPoint｜複素数の加法・減法
\({\small (2)}~\) \(-2+2i\)
解法のPoint｜複素数の乗法
\({\small (3)}~\) \(-i\)
解法のPoint｜複素数の除法
\({\small (4)}~\) \(\displaystyle\frac{\,6\,}{\,5\,}\)
解法のPoint｜負の数の平方根の計算
p.67 問題 3\({\small (1)}~\) \(x=\displaystyle\frac{\,\sqrt{2}\pm\sqrt{2}\,i\,}{\,2\,}\)
\({\small (2)}~\) \(x=\displaystyle\frac{\,1\pm\sqrt{2}\,i\,}{\,2\,}\)
解法のPoint｜複素数範囲の2次方程式の解
\({\small (2)}~\) \(x=\displaystyle\frac{\,1\pm\sqrt{2}\,i\,}{\,2\,}\)
解法のPoint｜複素数範囲の2次方程式の解
p.67 問題 5\({\small (1)}~\) \(29\) \({\small (2)}~\) \(-\displaystyle\frac{\,100\,}{\,3\,}\) \({\small (3)}~\) \(13\)
解法のPoint｜解と係数の関係と対称式の値
解法のPoint｜解と係数の関係と対称式の値
p.67 問題 7\({\small (1)}~\) \(x=\pm2i~,~\pm\sqrt{3}\,i\)
解法のPoint｜x²=tと置き換える4次方程式
\({\small (2)}~\) \(x=-1~,~-2~,~\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\)
解法のPoint｜因数定理を用いた3次方程式の解
解法のPoint｜x²=tと置き換える4次方程式
\({\small (2)}~\) \(x=-1~,~-2~,~\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\)
解法のPoint｜因数定理を用いた3次方程式の解
演習問題
p.68 演習問題A 5\({\small (1)}~\) \(x=1~,~-2\pm\sqrt{2}\,i\)
\({\small (2)}~\) \(x=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}~,~1\pm\sqrt{2}\)
解法のPoint｜因数定理を用いた3次方程式の解
\({\small (3)}~\) \(x=1~,~2~,~-2~,~-3\)
解法のPoint｜x²=tと置き換える4次方程式
\({\small (2)}~\) \(x=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}~,~1\pm\sqrt{2}\)
解法のPoint｜因数定理を用いた3次方程式の解
\({\small (3)}~\) \(x=1~,~2~,~-2~,~-3\)
解法のPoint｜x²=tと置き換える4次方程式
p.68 演習問題B 7\({\small (1)}~\)[証明] \( x=1+\sqrt{2}\,i \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&1+\sqrt{2}\,i
\\[3pt]~~~\hspace{40pt}x-1&=&\sqrt{2}\,i\end{eqnarray}\)
両辺を2乗すると、
\({\small (2)}~\) \(-27+2\sqrt{2}\,i\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&1+\sqrt{2}\,i
\\[3pt]~~~\hspace{40pt}x-1&=&\sqrt{2}\,i\end{eqnarray}\)
両辺を2乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(x-1)^2&=&(\sqrt{2}\,i)^2
\\[3pt]~~~x^2-2x+1&=&2i^2
\\[3pt]~~~x^2-2x+1&=&2\cdot(-1)\hspace{15pt}(\,∵~i^2=-1\,)
\\[3pt]~~~x^2-2x+1+2&=&0
\\[3pt]~x^2-2x+3&=&0\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~x^2-2x+1&=&2i^2
\\[3pt]~~~x^2-2x+1&=&2\cdot(-1)\hspace{15pt}(\,∵~i^2=-1\,)
\\[3pt]~~~x^2-2x+1+2&=&0
\\[3pt]~x^2-2x+3&=&0\end{eqnarray}\)
[終]
\({\small (2)}~\) \(-27+2\sqrt{2}\,i\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
次のページ「第３章 図形と方程式」
